Transcript Ecole Nationale Polytechnique ACEE Commande par

Ecole Nationale Polytechnique
Département Automatique
Analyse et Commande dans l’Espace d’État
TP 2
ACEE
Commande des systèmes dans l’Espace d’Etat
Commande par retour d’´état - Placement des pôles
Présentation du TP
•
Un des buts principaux de l’automatique est d’établir des lois de commande pour qu’un système
évolue selon un objectif prédéterminé. La représentation d’état permet de poser le problème de la
commande d’un système dans les termes suivants : Trouver la commande u(t) qui permet
d’amener le système d’un état initial x(t0) vers un état final désiré x(t)
•
Ce TP a pour objectif d'illustrer les concepts de commande par retour d'état1 appliqués aux
systèmes linéaires mono variables. Les principes et propriétés d'une commande par retour d'état
sont étudiés en simulation dans l'environnement logiciel Matlab/Simulink.
Préparation : (à remettre au début du TP)
•
On considère le système LTI décrit par la fonction de
transfert G(s), qu’on peut représenter dans l’espace
d’état par :
A. COMMADABILITE, OBSERVABILITE ET FORMES CANONIQUES
1-1 Qu’est-ce que la commandabilité / observabilité pour un système ?
1-2 Comment peut-on savoir si un système est complètement commandable (resp. observable) ?
1-3 Evaluer la commandabilité et l’observabilité du système G
1-4 La commandabilité et l’observabilité dépendent-elles de la représentation d’état ?
1-5 A partir de G(s), déduire les formes de compagne de commandabilité et d’observabilité
1-6 Calculer à nouveau les matrices de commandabilité et d’observabilité et comparer avec (1-3)
1-7 Donner la matrice de passage T entre la forme d’état donnée et la forme de compagne.
B. MODES
2-1 Qu’est-ce que les modes d’un signal ou un système LTI ?
2-2 comment les obtenir à partir de la fonction de transfert et de la représentation d’état ?
2-3 Comment agit un mode sur la réponse temporelle du système ? Donner la relation entre la
partie réelle et imaginaire du mode ainsi que les caractéristiques physiques de la réponse :
• temps de réponse - amortissement - pulsation propre - pulsation de résonance
2-4 Le système G, est-il stable en boucle ouverte ?
1
Cette technique s’appelle également commande par placement de pôles car elle permet de placer les pôles de la boucle
fermée n’importe où dans le plan complexe.
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Analyse et Commande dans l’Espace d’État
Équipe pédagogique: : M. Chakir L. Abdelouel
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C. COMMANDE PAR RETOUR D’ETAT : Soit la commande ( )= ( )– ( )= ( )−
()
3-1 Expliquer la forme de cette commande et en donner le schéma
3-2 Quelles sont les conditions d’existence d’une telle commande ?
3-3 Sur quel principe repose cette technique de commande ?
3-4 Ces conditions sont-elles réunies pour le système G ?
3-5 Expliquer brièvement la méthode de calcul du gain K
3-6 Cette commande permet-elle d’assurer un asservissement de la sortie ? quelle est la solution ?
3-7 En cas d’existence de perturbations à l’entrée du système, on ajoute une action intégrale afin
d’éliminer leur effet sur la sortie
• Donner le schéma augmenté, ainsi que les nouvelles matrices
• Quels sont les avantages et les inconvénients de cette approche.
Exercice : Commande
ommande d’un moteur à courant continu
On rappelle les données du Moteur à Courant Continu étudié lors du 1er TP et qu’on a modélisé dans
l’objectif de commander la vitesse du rotor par la tension d’entrée.
R=0.5 Ω ; L= 10mH ; Bm=0.01 N.m.s ; J=0.02 Kg.m2 ; Ka= 0.1 ; Kb=0.1
Fonction de transfert :
Ω(
500
(
(
50.5
Equation différentielle
Représentation d’état (E):
#$ %# &'
"
( )# *'
4
678
23
3
=
5
5 <
3>? 3@?
1
%
+
., &
6
:
>
3?. >
1 78
<
3
0 9
9 ;
,
+ . ,
Entrée ' et Sortie ( #/
vecteur d’état : #
@
B5 C
?
@??
+
., )
?
D?
@E ,
*
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D?E
TRAVAIL DE PREPARATION (à remettre au début du TP)
1.
Commandabilité, Observabilité et Formes Canoniques
1-1 A partir de sa FT, obtenir les formes de compagne de commandabilité et d’observabilité du MCC
1-2 Vérifier la commandabilité et l’observabilité du MCC par les commandes ctrb et obsv de Matlab
2. Modes
2-1 Déterminer les pôles et les constantes de temps du MCC
3. COMMANDE PAR RETOUR D’ETAT
3-1 Peut-on réaliser une commande par retour d’état
3-2 Augmenter la forme d’état (E) pour ajouter une action intégrale.
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Commande par retour d’´état - Placement des pôles
Manipulations
Manip 1(Etude d’un Exemple)
•
On considère le système LTI décrit par sa fonction de
transfert G(s) / représentation dans l’espace d’état :
A) Simulation en boucle ouverte :
Le système G, est-il stable en boucle ouverte ? Simuler la réponse indicielle.
B) Stabilisation et Changement de Dynamique
1) Calculer la commande par retour d’état permettant d’imposer les pôles suivants en Boucle fermée :
F1=−1 , F2=−1−2GG , F3=−1+2GG
2) Gain =K, Pour la représentation d’état donnée
3) Gain =KT, Pour la représentation de compagne de commande
4) Vérifier la relation entre K et KT
5) Simuler et commenter l’allure de la réponse indicielle unitaire du système bouclé.
C) Pré-Compensation
1) Pour les deux représentations d’état, calculer et insérer un pré-compensateur afin d’obtenir une sortie égale
à la consigne.
2) Simuler et vérifier
D) Perturbation sur l’entrée – Action intégrale
1) Simuler pendant 20s l’effet des perturbations additives au niveau de l’entrée sur système bouclé :
2) C'est-à-dire ( )= − ( ) + σ , avec les cas suivants
- σ1 = Impulsion de 25% entre t=8s et t=10s
- σ2= Echelon de 25% à t=8s
- σ3 = Une sinusoïde d’amplitude 25% et de pulsation 50Htz à t=8s
3) Calculer la commande pour le système incluant une action intégrale (ajouter un pole F4=−4)
4) Simuler et vérifier le rejet des trois perturbations additives σi
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Manipulations
Manip 2 (étude du MCC)
On rappelle les données du Moteur à Courant Continu :
R=0.5 Ω ;
Bm=0.01 N.m.s ;
Ka= 0.1 ;
Vecteur d’état : #
L= 10mH ;
J=0.02 Kg.m2 ;
Kb=0.1
,
+ . ,
Entrée ' et Sortie ( #/
A) Simulation en boucle Ouverte
B) Simulation en boucle fermée
1) Calculer par la commande place, le gain du retour d’état afin d’imposer les pôles [-3 - 48.9]
2) Calculer le pré-compensateur pour éliminer l’erreur statique et simuler pour la consigne « 12 »
3) On veut maitriser le « pic de courant » à imax ≤ 5 A,
• Sélectionner la paire de pôles qui convient : [-3 , -48.9] ; [-5 , -30] ; [-2.5 , -30]; [-1.5 , -50]
• Sinon proposer une paire de pôles
C) Perturbation sur l’entrée – Action intégrale
Soit une consigne de « 12 » qu’on augmente à t=5s d’un échelon de 0.5
1) Simuler pendant 20s pour étudier l’effet des perturbations additives au niveau de l’entrée :
• σ3
• σ1 Impulsion de 25% entre t=8s et t=10s
Une sinusoïde d’amplitude 25%
et de pulsation 50Htz à t=8s
• σ2 Echelon de 25% à t=8s
2) Calculer la commande pour le système incluant une action intégrale (ajouter un pole F4=−55)
3) Simuler et vérifier le rejet des trois perturbations additives σi
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