Transcript Equations Non Linéaires

Equations Non Linéaires
Equations linéaires, non-linéaires
Il n’est guère difficile de trouver la solution de l’équation linéaire a*x - b = 0 où a et b
sont connus et x est l’inconnue. On écrit a*x = b et chaque membre de l’expression est
divisé par a:
a*x = b  a\a*x = a\b  x = a\b
(division à gauche, mldivide(a, b) en Matlab)
x*a = b  x*a/a = b/a  x = b/a
(division à droite, , mrdivide(a, b) en Matlab)
3 x1
x1
x1
 11x2
 2 x3


 2 x3
 x3
x2
x2

3 11  2  x1   7 
 4  1 1  2 *  x2    4 
1  1 1   x3  19
 19
 x1 
3 11  2
  x2   1 1  2
 x3 
1  1 1 
7
\
7
 13.22 
 4    2.34
 


19
 3.44 
Que faire avec un système non-linéaire comme celui-ci:
3 log( x1 )  11sin( x2 )  7
x1  abs ( x2  x12 )  4
Des méthodes adaptées doivent être mises en œuvre.
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Equations Non Linéaires
Méthode de la bissection (dichotomie)
Trouver les « zéros » de fonctions non linéaires, les valeurs réelles  telles que f()=0
Avantage: l’algorithme
n’utilise que des
évaluations de la fonction f
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Equations Non Linéaires
Cette méthode s’applique à des équations du type
peut calculer ou estimer la dérivée de f : f’(x).
Méthode de Newton
pour lesquelles on
Soit x1 une valeur initiale approchée de la racine  inconnue:  = x1 + h, on a
et comme
on en tire l’estimation de h la quantité à ajouter à x1 pour s’approcher de  et
générer une valeur x2 = x1 + h :
On en déduit la méthode:
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Equations Non Linéaires
Méthode de Newton, interprétation géométrique
f(x)
xn
xn+1
x
xn+2

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Equations Non Linéaires
La méthode ne
converge pas toujours
vers la solution. Dans
l’exemple ci-contre il
existe un changement
de concavité qui amène
à une oscillation des
termes xn
Méthode de Newton, convergence, arrêt
f(x)
x1
x3
x2

x
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Equations Non Linéaires
Méthode de Newton: contrôle sur le résidu
e(k) = erreur = |x(k) - |
résidu = f(x(k))
résidu
résidu
|f ’(x)| >> 1 (à gauche) critère trop restrictif: alors que l’erreur est faible, les
itérations se poursuivent puisque le résidu est grand.
|f ’(x)| << 1 (à droite) critère trop faible: ici le résidu est faible et conduit à l’arrêt
des itérations alors que l’erreur est grande.
On utilisera donc préférentiellement le contrôle sur l’incrément.
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Equations Non Linéaires
Méthode de Newton: systèmes d’équations non linéaires
La méthode Newton peut s’appliquer à la résolution
d’un système de plusieurs équations non linéaires :
A partir d’un couple de valeurs approchées (x1, y1) d’une
solution (, ) du système, on peut déterminer deux
accroissements h et k à donner à x1 et y1 de manière à ce que :
En développant en 1er ordre,
il vient :
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Equations Non Linéaires
Méthode de Newton: systèmes d’équations non linéaires
Les quantités h et k s’obtiennent donc, en résolvant le système linéaire suivant :
Sous forme matricielle, en posant J la matrice Jacobienne:
h 
 f ( x1 , y1 )
J(x ,y )      
k 
 g ( x1 , y1 )
1 1
 

Généralisation:




J(x1, y1) =
 x2   x1 
      J(x ,y ) \
y  y 
1 1
 2  1 
 xn1   xn 

     J(x ,y )
y  y 
n n
 n1   n 
On peut noter de façon condensée (vectorielle):
 f ( x1 , y1 ) 


 g(x , y ) 
1
1 

 f ( xn , yn ) 

\ 

g
(
x
,
y
)
n
n 

u n 1  u n  Ju \ f (u n )
n
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Equations Non Linéaires
Méthode de Newton: résumé
RR
On veut : f(x+h)=f(x) + h.f’(x) = 0 
h = - f(x) / f’(x)
À partir de x1, on calcule x2=x1+h1, puis x3, …
Rn

Rn
 x   f1 ( x; y; z ) 
  

F ( X )  F  y    f 2 ( x; y; z )   0
 z   f ( x; y; z ) 
   3

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Equations Non Linéaires
fzero, poignée de fonction
La fonction fzero résout les équations non-linéaires du type : mafonction(x) = 0. Elle
possède 2 entrées: a) une poignée* de la fonction dont on recherche le zéro et b) une
valeur x0 initiale supposée proche du zéro de la fonction. Sa sortie est la valeur x= qui
annule mafonction.
>> fzero('cos', 2)
% ou écrire: fzero(@cos, 2)
ans = 1.5708
On peut évidemment affecter la sortie à une nouvelle variable:
>> un_zero_de_cos = fzero(@cos, 2) % ceci résout: cos(x)=0
un_zero_de_cos = 1.5708
Essayons avec ma fonction
>> u=fzero(@mafonction, 2)
u=1
>> u=fzero(@mafonction, -10)
u = -1.0000
function y=mafonction(x)
y=x.^2-1;
end
% ces 2 dernières commandes résolvent: x.^2-1 = 0
* Une poignée est un type de variable désignant les fonctions. Elle est construite en ajoutant un ‘@’ davant le nom de la fonction, ou
en la créant comme une fonction anonyme.
Equations Non Linéaires
fzero, fonctions paramétrées
Les choses peuvent se compliquer si la fonction cible function y=mafonction(p, x)
est paramétrée, et possède donc plus d’une entrée
y = x.*cos(x)+p;
comme dans la version ci-contre:
end
Une façon d’utiliser fzero (qui n’accepte que des fonction à une seule entrée) est de
créer une fonction anonyme en fixant d’abord la valeur du paramètre:
>> p = 5;
>> mafonction2 = @(x) mafonction(p, x);
% mafonction2 possède une seule entrée
>> ezplot(mafonction2, [-10, 2])
mafonction(p,x)
>> grid
>> fzero(mafonction2, -5)
10
ans = -5.3125
>> fzero(mafonction2, 0)
5
ans = 3.0217
0
-10
-8
-6
-4
x
-2
0
2
Equations Non Linéaires
fzero, options, optimset
En réalité, fzero peut posséder 2 ou 3 entrées:
>> x = fzero(fun, x0, options)
où options est une entrée qui va permettre, par
exemple d’indiquer avec quelle tolérance la
recherche du zéro doit être réalisée.
Pour connaitre les options disponibles avec fzero,
on utilise la commande optimset. On voit que par
défaut, fzero recherche le zéro d’une fonction
jusqu’à une tolérance égale à eps(1).
Pour changer la valeur de l’option ‘param’, il faut
utiliser la syntaxe suivante pour optimset:
options = optimset(old_options, ‘param', new_value)
Ainsi, pour changer le critère d’arrêt, on écrira:
>> new_opt = optimset(options, 'tolx', 1e-6)
On pourra par la suite exécuter fzero avec les
nouvelles options qu’on lui passera:
>> x = fzero(fun, x0, new_opt )
>> options = optimset(@fzero)
options =
Display: 'notify'
MaxFunEvals: []
MaxIter: []
TolFun: []
TolX: 2.2204e-016
…
new_opt =
Display: 'notify'
MaxFunEvals: []
MaxIter: []
TolFun: []
TolX: 1.0000e-006
…
Equations Non Linéaires
Exercice: erreur de la méthode de dichotomie
En observant que l’erreur est bornée:
Etablir
le nombre d’itérations minimal qui garantisse:
où  est une tolérance donnée.
Equations Non Linéaires
Exercice: Volume d’un gaz réel
On considère le dioxyde de carbone (CO2), pour lequel a=0.401 Pa.m6 et b=42.7 10-6 m3.
Donner le volume occupé par N=1000 molécules de CO2 à la température T=300 K et à
la pression p=3.5 107 Pa et avec une tolérance de 10-9. On donne k=1.38 10-23 Joule.K-1.
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Equations Non Linéaires
Soit la fonction F de R2  R2:
Calculer l’expression de sa matrice
jacobienne JF (X).
En déduire JF([1; 2]).
La fonction jacobimatrice ci-contre
évalue numériquement la matrice
jacobienne d’une fonction fun. Etudier
chaque ligne de cette fonction.
Appliquer la à la fonction F définie audessus et vérifier le résultat obtenu
pour JF([1; 2]).
Pourquoi a t’il été ajouté « eps » dans
la définition de dx ?
Exercice: matrice jacobienne
function [J, y0]=jacobimatrice(fun, x0)
% Jacobimatrice calcule la matrice jacobienne J de la
% fonction fun évaluée au point x0.
% y0 = fun(x0).
% fun est une poignée de fonction.
% Exemple pour une fonction R^3 ==> R^2:
% >> f=@(x) [x(1)*x(2)^2+x(3); x(1)*x(3)^2-x(2)];
% >> x0 = [1, 2, 3];
% [J, y0]=jacobimatrice(f, x0)
%J=
% 4 4 1
% 9 -1 6
% y0 =
% 7
% 7
y0 = fun(x0);
n = length(x0); m = length(y0);
J = zeros(m, n);
dx = x0/1000 + eps;
for k=1:n
x0p=x0; x0m=x0;
x0p(k)=x0p(k)+dx(k);
x0m(k)=x0m(k)-dx(k);
J(:,k)=(fun(x0p)-fun(x0m))/2/dx(k);
end
end
Equations Non Linéaires
function [x, niter]=newton(f, x0, tolx, maxiter)
% trouve la solution par la méthode de Newton
% d’un système d’équations non-linéaires pouvant
% se mettre sous la forme
% f(x)=0 où f est une fonction de R^n dans R^n
% X = valeur telle que f(X) = 0 à TOLX prés
% NITER = nombre d'itérations effectuées
%
% F = poignée de la fonction
% X0 = valeur initiale des itérations
% TOLX = tolérance sur l'incrément:
% si norm(x(k+1)-x(k))< tolx alors arrêt
% MAXITER = nombre maximal d'itérations à effectuer
%
% exemple dans R^1:
% f=@(x) sin(2*x) -1 + x;
% [x, niter]=newton(f, 0.5, 1e-8, 100)
%x=
% 0.3523
% niter =
% 4
%
% exemple dans R^3
% f=@(x)[x(1)+x(2)^2+x(3);x(1)+x(3)^2-x(2); sum(x)];
% x0 = [1; 2; 3];
% [x, niter]=newton(f, x0, 1e-8, 100)
%x=
% -3.0000
% 1.0000
% 2.0000
% niter =
% 6
Exercice: écrire une fonction newton
Copier, tester et débugger la fonction NEWTON
donnée ici. Elle fait appel à la fonction
jacobimatrice étudiée plus haut dans ce
chapitre.
x0=x0(:);
continuer=true;
niter=0;
while continuer
xold=x;
J=jacobimatrice(f, xold);
x=xold-J\f(xold);
niter=niter+1;
if niter>maxiter, continuer=false; end
if norm(x-xold)<tolx, continuer=false; end
end
end
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Equations Non Linéaires
Exercice: modifier une fonction newton
function [x, niter]=newton(f, x0, tolx, maxiter)
% trouve la solution par la méthode de Newton
% d’un système d’équations non-linéaires pouvant
% se mettre sous la forme
% f(x)=0 où f est une fonction de R^n dans R^n
% X = valeur telle que f(X) = 0 à TOLX prés
% NITER = nombre d'itérations effectuées
%
% F = poignée de la fonction
% X0 = valeur initiale des itérations
% TOLX = tolérance sur l'incrément:
% si norm(x(k+1)-x(k))< tolx alors arrêt
% MAXITER = nombre maximal d'itérations à effectuer
%
% exemple dans R^1:
% f=@(x) sin(2*x) -1 + x;
% [x, niter]=newton(f, 0.5, 1e-8, 100)
%x=
% 0.3523
Suite du fichier
% niter =
% 4
%
% exemple dans R^3
% f=@(x)[x(1)+x(2)^2+x(3);x(1)+x(3)^2-x(2); sum(x)];
% x0 = [1; 2; 3];
% [x, niter]=newton(f, x0, 1e-8, 100)
%x=
% -3.0000
% 1.0000
% 2.0000
% niter =
% 6
• Modifier la fonction newton ci-contre de façon à ce
quelle renvoie le vecteur x =[x0, x1, ..., xn] des itérations
successives et où x0 est la valeur initiale et xn est la
solution à tolx prés.
• newton peut-elle résoudre x^3-1=0 ? (voir
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fractale_de_Newton)
x0=x0(:);
continuer=true;
niter=0;
while continuer
xold=x;
J=jacobimatrice(f, xold);
x=xold-J\f(xold);
niter=niter+1;
if niter>maxiter, continuer=false; end
if norm(x-xold)<tolx, continuer=false; end
end
end
Equations Non Linéaires
Exercice: Recherche d’une valeur initiale
Objectif: résoudre le système ci-contre, avec la méthode de Newton.
On prendra tolx=10-12
{
Soit
x 2  2xy  2
x  y2  1
f1(x, y) = x2 – 2xy – 2 = 0
f2(x, y) = x + y2 + 1 = 0
Selon la valeur initiale donnée à l’algorithme itératif, la convergence vers la solution
peut échouer. De même, on ne sait pas si il existe zéro, une ou plusieurs solutions.
Une approche graphique est possible pour les systèmes à 2 variables.
a) Représenter la surface z(x,y)=f12(x,y) +f22(x,y) en utilisant les fonctions meshgrid
et surf. Pourquoi est-il plus efficace de représenter z=log10(f12(x,y) +f22(x,y)) ? En
déduire une estimation de la ou des solutions.
b) Appliquer la méthode de Newton avec cette ou ces estimations comme valeur(s)
initiale(s).
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Equations Non Linéaires
Exercice: applications pour la fonction newton.m
a) Résoudre le système ci-dessous, avec la méthode de Newton. On prendra tolx=10-6.
2x1 - x2 = exp(-x1)
-x1 + 2x2 = exp(-x2)
b) Trouver la matrice X telle que X * X * X =
1 2
3 4


 0.129 0.860
Sol: X = 

1
.
290
1
.
161


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