Transcript Exercice 1 - C.P.G.E. Brizeux

PSI
MATHEMATIQUES
Septembre 2014
Feuille d’Exercices
Séries Numériques
Exercice 1 : Nature des séries de terme général :
2
a) ln(n)
Z 2n + aln(n + 1) + bln(n + 2) où (a, b) ∈ IR .faire un développement limité
dx
.encadrer
b)
1 + x3/2
n
1
c) (e − (1 + )n )a où a ∈ IR. faire un développement limité
n
an n!
d) n .
n
1
1
et u2n+1 = − √
. Regarder les sommes partielles
e) u2n = √
2+n−1
2+n+1
Exercice 2 : (CCP)
Montrer que les séries suivantes convergent et calculer leurs sommes :
X
1
1)
.
n(n + 1)(n + 2)
n≥1
X (−1)n
2)
.
3n
+
2
n≥
X th an
2
3)
, a ∈ IR.
n
2
n≥0
a
X
4)
ln cos n , a ∈]0, π2 [
2
n≥0
X 2n sin2n (a)
Exercice 3 : Nature de
où a ∈ [0, π/2].
n2
n≥1
Exercice 4 :
1.3.5...(2n − 1)
.
2.4.6....(2n)
a) Peut-on appliquer le critère de d’Alembert ?
b) Montrer que (nun )n est croissante et conclure sur la nature de la série.
1.3.5...(2n − 3)
2) Soit un =
.
2.4.6...(2n)
Soit α ∈]1, 23 [.
a) Peut-on appliquer le critère de d’Alembert ?
(n + 1)α un+1
b) Faire un développement limité à l’ordre 1 quand n tend vers +∞ de
.
n α un
Conclure qu’à partir d’un certain rang (nα un ) est décroissante, puis conclure sur la nature
de la série.
1) Soit un =
Exercice 5 :(TPE)
Si la série de terme
général un positif est convergente, de quelle nature est la série de
√
un
terme général
?
n
1
Exercice 6 :(CCP 13)
Pour n ∈ IN ∗ , On pose H(n) =
n
X
1
1
et an = P
n
k
k=1
.
k2
k=1
1. Montrer que
X
an converge
n≥1
2. Montrer que lim H2n+1 − Hn = ln2 et en déduire
n→+∞
+∞
X
an .
n=1
Exercice 7 :(CCP 09)
n
X
1
.
k
k=1
1. Montrer que H(n) = ln(n) + γ + o(1).
1
1
2. Montrer que la série de terme général − ln(1 + ) et calculer la somme en fonction
n
n
de γ.
X
1
et déterminer sa somme.
2. Montrer la convergence de
(2n + 1)n
n≥1
Pour n ∈ IN ∗ , On pose H(n) =
Exercice 8 :(CCP 13)
1. Déterminer la limite de la suite définie par :
u0 ≥ 0 et ∀n ∈ IN, un+1 =
e−un
n+1
2. Déterminer un équivalent de P
un et un développement
limité en +∞ à deux termes.
P
n
3. Donner la nature de la série
un et celle de (−1) un .
Exercice 9 :(ENSAM 09)
√
Soit la série de terme général un = sin(π n2 + 1)
Expriner sin(θ −Pnπ) en fonction de n et sin θ.
Démontrer que
un est une série alternée et étudier la convergence de cette série.
Exercice 10 : On pose, pour tout entier n ≥ 2, un =
n Q
2−e
1
k
.
k=2
1) Nature de la suite (un )n≥2 ?
2) Nature de la série Σun ?
Exercice 11 : Soit a ∈ IR.
X (ln(n))a
1. Donner la nature de
.
n
n≥2
X
√
2. En déduire la nature de
(ln(n))a sin(2π 1 + n2 ).
n≥2
Exercice 12 : Pour x ∈] − 1, 1[ et n ∈ IN , on pose Fn (x) =
n
X
(−1)k xk et Un =
k=0
R1
Fn (x)dx.
0
1. Montrer que les suites (Fn (x))n et (Un )n convergent et donner leur limite.
+∞
X
(−1)n
2. En déduire
.
n
+
1
n=0
3. Que se passe-t-il si on remplace xk par xkp , avec p entier positif. Etudier les cas particuliers p ∈ {1, 2, 3}.
2
Exercice 13 : Pour α > 1 et n ∈ IN ∗ , on pose :
n
+∞
X
X
1
1
Sn =
et
R
=
n
kα
kα
k=1
k=n+1
1. Donner un équivalent de Rn .
X Rn
suivant la valeur de α.
2. Etudier la convergence de
Sn
Exercice 14 : Pour n ∈ IN , on pose
un =
+∞
X
k=n+1
(−1)k
√
k+1
Justifier l’existence des un et étudier la convergence de
n
X
1
Exercice 15 : Pour n ∈ IN , On pose H(n) =
.
k
k=1
Montrer que
+∞
+∞
X
(−1)n−1 X Hn
=
e
n.n!
n!
n=1
n=1
∗
3
X
un .