Séries GEII.ppt
Download
Report
Transcript Séries GEII.ppt
SÉRIES
JEAN-MARC GINOUX
BRUNO ROSSETTO
[email protected]
[email protected]
http://ginoux.univ-tln.fr
http://rossetto.univ-tln.fr
Laboratoire PROTEE, I.U.T. de Toulon
Université du Sud,
B.P. 20132, 83957, LA GARDE Cedex, France
PLAN
A.
Séries Numériques
1. Définitions
2. Condition nécessaire de convergence
3. Série géométrique
B.
Séries à termes positifs
1. Théorèmes de comparaison
2. Règle de Cauchy
3. Règle de d'Alembert
4. Comparaison avec une intégrale
5. Série de Riemann
G.E.I.I.
Séries
2
PLAN
C.
Séries à termes de signes quelconques
1. Convergence absolue
2. Semi-convergence
3. Séries alternées
D.
Séries de fonctions
1. Convergence simple et uniforme
2. Propriétés
G.E.I.I.
Séries
3
A.
Séries Numériques - Convergence
A.
Séries Numériques
1.
Définition
Soit la suite (Un). On appelle série de terme
n
général Un la suite des sommes partielles Sn : Sn U k
k 0
Si (Sn) admet une limite finie S,
on dit que la série est convergente et a pour somme :
S lim S n U n
n
n 0
Si (Sn) n'admet pas de limite ou une limite infinie,
on dit que la série est divergente
G.E.I.I.
Séries
4
A.
2.
Séries Numériques - Convergence
Condition nécessaire de convergence
Pour qu'une série converge il faut que son terme
général Un tende vers 0 quand n
En effet, si la série converge S n et
limite U S S
0 lorsque
n
n
n 1
Sn 1 admettent une
n
Cette condition n'est pas suffisante !
Sa réciproque est fausse !
La contraposée de cette condition permet de démontrer
la divergence d'une série.
G.E.I.I.
Séries
5
A.
Séries Numériques - Convergence
Ex 1 : Soit la série de terme général U n 1 n appelée
série harmonique. Son terme général tend bien vers 0
*
lorsque n Supposons n
la quantité :
1
1
1
n
U n S2 n Sn
...
n 1 n 2
2n 2n
U n S2 n Sn 1 2
Soit,
Or si la série convergeait S n tendrait vers une limite S
lorsque n et il en serait de même pour S 2n et
alors lim S2 n Sn 0 ce qui est en contradiction
n
avec U n S2 n Sn 1 2 donc la série diverge !
G.E.I.I.
Séries
6
A.
3.
Séries Numériques - Convergence
Série géométrique
Soit la série de terme général
q n1 1
Sn a
q 1
si
U n aq n
q 1
On vérifie que :
q 1
q 1
G.E.I.I.
a
lim Sn S
n
1 q
la série converge
la série diverge
Séries
7
B. Séries à termes positifs – Convergence
B.
Séries à termes positifs
1.
Théorèmes de comparaison
Théorème 1 :
Soit
U
n
et
V
n
deux séries à termes positifs tels que
0 U n Vn à partir d'un certain rang.
Si
Si
G.E.I.I.
V
U
U alors converge
V alors diverge
n
converge
n
diverge
n
n
Séries
8
B. Séries à termes positifs – Convergence
Théorème 2 :
Soit
U
n
et
V
n
deux séries à termes positifs telles que
Un
lim
k 0 i.e., U n
n V
n
Alors les séries
U
n
et
kVn lorsque n
V
n
sont de même nature, i.e.,
toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes
G.E.I.I.
Séries
9
B. Séries à termes positifs – Convergence
2.
Soit
Règle de Cauchy
nU L
lim
une
série
à
terme
positifs
et
soit
U
n
n
n
Si à partir d'un certain rang L< 1
Alors la série
U
est convergente
n
Si à partir d'un certain rang L> 1
Alors la série
U
n
est divergente
Si L=1, on ne peut conclure à l'aide du critère de Cauchy
G.E.I.I.
Séries
10
B. Séries à termes positifs – Convergence
3.
Règle de d'Alembert
U n 1
L
Soit U n une série à terme positifs et soit lim
n U
n
Si à partir d'un certain rang L< 1
Alors la série
U
est convergente
n
Si à partir d'un certain rang L> 1
Alors la série
U
n
est divergente
Si L=1, on ne peut conclure à l'aide du critère de d'Alembert
G.E.I.I.
Séries
11
B. Séries à termes positifs – Convergence
4. Comparaison avec une intégrale
Soit f x une fonction positive sur I a, , a 0
décroissante à partir d'une certaine valeur de x
Alors l'intégrale
f x dx
et
a
la série de terme général U n f n sont de même nature
G.E.I.I.
Séries
12
B. Séries à termes positifs – Convergence
5.
Série de Riemann
1
La série de Riemann de terme général U n avec n
n
1
définie par : est
n 1 n
G.E.I.I.
convergente si
1
divergente si
1
Séries
13
*
C. Séries à termes de signes quelconques
C.
Séries à termes de signes quelconques
1.
Convergence absolue – Semi-convergence
U est absolument convergente
si la série U est convergente.
La série
n
n
U est absolument convergente
alors la série U est convergente.
Si la série
n
n
La réciproque est fausse !
G.E.I.I.
Séries
14
C. Séries à termes de signes quelconques
2.
Semi-convergence
Si la série
U
n
diverge et si la série
U
n
est
néanmoins convergente, alors on dit que la série
U
est semi-convergente.
G.E.I.I.
Séries
15
n
C. Séries à termes de signes quelconques
3.
Séries alternées
La série
U
n
est dite alternée si son terme général
est alternativement positif et négatif à partir d'un certain
rang, i.e., telle que n , U n 1 Vn
n
Théorème 3 : Pour qu'une série alternée converge,
il suffit que la valeur absolue de son terme général
tende vers 0 en décroissant, i.e., telle que :
G.E.I.I.
U n soit décroissante
lim U n 0
n
Séries
16
D. Séries de fonctions
D.
Séries de fonctions
1.
Convergence simple et uniforme
La série de fonctions
f
n
converge simplement sur
un intervalle I si la suite S n x
simplement sur I.
La série de fonctions
f
n
n
f x
k 0
k
converge
converge uniformément sur
un intervalle I si la suite S n x
n
f x
k 0
k
converge
uniformément sur I.
G.E.I.I.
Séries
17
D. Séries de fonctions
2.
Propriétés
P1 :
Si la série
f
n
de fonctions continues sur I converge
uniformément sur I, alors la fonction définie par :
S:x
f x est continue sur I
k 0
G.E.I.I.
k
Séries
18
D. Séries de fonctions
2.
Propriétés
P2 : Intégration terme à terme
Si la série
f
n
de fonctions continues sur a, b
converge uniformément sur a, b alors
b
k 0 a
G.E.I.I.
f k x dx f k x dx
a k 0
b
Séries
19
D. Séries de fonctions
2.
Propriétés
P3 : Dérivation terme à terme
Si la série
f
n
de fonctions dérivables sur I
converge simplement sur I alors la fonction
S:x
f x est dérivable sur I et sa dérivée
k 0
k
est la fonction :
S:x
k 0
G.E.I.I.
f k' x
Séries
20
Chaotic Snail Shell
G.E.I.I.
Séries
21