Transcript 1 Rappels 2 Arithmétique - imj

Université Pierre et Marie Curie
Master de Mathématiques
Professeur: L. Zapponi
Année 2013-2014
MM067 Cryptologie algébrique
D. Bernardi
Feuille 1 - Énoncés
Certains des exercices énoncés dans le cours sont repris dans ces feuilles. La
référence est alors indiquée entre parenthèses après le numéro de l’exercice. Les
exercices marqués d’une astérisque (*) sont plus difficiles.
1
Rappels
Exercice 1 (1.20) Montrer que l’ensemble des éléments nilpotents d’un anneau (commutatif) A forme un idéal, appelé nilradical de A.
Exercice 2 Énumérer, à isomorphisme près, tous les anneaux de cardinal au
plus 4. Indication : il y en a 7.
2
Arithmétique
Arithmétique des entiers
Exercice 3 (2.3) Soit n un entier. Montrer que la complexité du calcul de n!
est O(n2 log2 (n)) et que celle du passage de l’écriture de n en base 10 à celle en
base 2 (ou vice-versa) est O(log 2 (n)).
Exercice 4 (*)
a) Monter que le seul entier positif n pour lequel n divise 2n
1 est n = 1.
b) Soient a > 2 et k 1 deux entiers. Montrer que l’ensemble des entiers n qui
sont le produit d’exactement k nombres premiers (comptés avec multiplicité) et
pour lesquels n divise an 1 est fini et non vide.
Exercice 5 Soient n > 0 et k > 1 des entiers. Montrer qu’il existe n entiers
consécutifs qui sont tous divisibles par des puissances k-ièmes. Traiter explicitement le cas n = 5 et k = 2.
Exercice 6
a) On a 8906252 = 793212890625, un entier dont l’écriture décimale se termine
par 890625. De même 1093762 = 11963109376. Montrer que pour chaque n il
existe exactement 4 entiers qui s’écrivent avec au plus n chiffres et qui sont
congrus à leur carré modulo 10n . Trouver un moyen de calculer ces 4 entiers.
b) Soit n > 1 un entier. Déterminer le nombre de solutions x 2 Z/nZ de l’équation x2 = 1.
Exercice 7 Soient a, b, u, v des entiers tels que au + bv = 1.
a) Déterminer deux entiers x et y tels que a2 x + b2 y = 1.
b) Déterminer deux entiers z et t tels que (a + b)z + abt = 1.
c) (*) Soient a, b, c, u, v, w des entiers tels que au + bv + cw = 1. Montrer que si
b 6= 0, il existe k, U, V 2 Z tels que (a + kc)U + bV = 1. Attention, il y a un
piège : on ne demande pas de déterminer k, U, V , et Bézout est un leurre...
1
Algorithme d’Euclide
Exercice 8 Soient a et b deux entiers naturels. On définit une suite un par la
récurrence u0 = a,u1 = b et un = |un 1 un 2 | pour n > 1. Montrer que la
suite vn = sup(un , un+1 ) converge vers d = pgcd(a, b).
Exercice 9 Le but de cet exercice est de présenter une modification de l’algorithme d’Euclide étendu, qui converge un peu plus vite.
Soient a et b 6= 0 deux entiers. Montrer qu’il existe un entier q et un entier r
avec |r|  |b|
2 tels que a = bq + r.
l’algorithme se déroule comme l’algorithme classique, en remplaçant la division
euclidienne par la version modifiée ci-dessus : étant donnés deux entiers a et
b 6= 0, on définit les suites rn , qn , un et vn de la manière suivante :
8
8
8
>
>
>
< r0 = a,
< u0 = 1,
< v0 = 0,
r1 = b,
u1 = 0,
v1 = 1,
>
>
>
:
:
:
ri 1 = qi ri + ri+1 .
ui+1 = ui 1 ui qi .
vi+1 = vi 1 vi qi .
a) Montrer qu’il existe un plus petit entier n tel que rn+1 = 0 et que dans ce
cas, on a |rn | = pgcd(a, b) = |aun + bvn |.
b) Montrer que l’on a n  log2 (b) + 1.
c) Calculer le pgcd des entiers a = 5159 et b = 2010 en utilisant d’abord l’algorithme d’Euclide classique, puis l’algorithme modifié.
Nombres premiers
Exercice 10 Montrer qu’il n’existe pas de polynômes f, g 2 C[X] tels que
⇡(n) =
f (n)
g(n)
pour tout entier positif n.
Exercice 11 Montrer qu’il n’existe pas de polynôme f 2 Z[X] non constant
tel que f (n) est premier pour tout entier positif n.
Exercice 12 Soit f 2 Z[X] un polynôme non constant. Montrer qu’il existe
une infinité de nombres premiers p tels que f possède une racine modulo p.
Exercice 13 Montrer qu’il y a une infinité de nombres premiers p ⌘ 3 (mod 4).
Exercice 14
a) Soient a1 , . . . , an des entiers non nuls tels qu’il existe un nombre premier qui
divise un seul d’entre eux. Montrer que la somme
1
1
1
+
+ ··· +
a1
a2
an
n’est pas un entier.
2
b) Montrer que pour tout nombre entier n, la somme
1 1
1
+ + ··· +
2 3
n
1+
n’est pas un entier.
Exercice 15 On considère la suite de Fibonacci définie par F0 = 0, F1 = 1 et
Fn+2 = Fn+1 + Fn pour tout n 0.
a) Montrer que pour tout n, on a
Fn =
p
1+ 5
où ↵ =
⇡ 1.618 et
2
2
X
X 1.
=
p
1
↵n
↵
5
2
⇡
n
0.618 sont les racines du polynôme
◆
Fn+1
. Montrer que pour
Fn
tout n 1, on a Vn+1 = AVn où A est une matrice 2 ⇥ 2 que l’on explicitera.
✓
◆
Fn+1
Fn
n
c) Montrer que l’on a A =
.
Fn
Fn 1
b) On définit la suite de vecteurs (Vn )n2N par Vn =
d) En déduire que pour tout n
2, on a Fn+1 Fn
1
✓
Fn2 = ( 1)n .
e) Montrer que pour tout n 0 et tout m 1, on a Fn+m = Fn+1 Fm + Fn Fm
3
En déduire que F2n 1 = Fn2 + Fn2 1 et F3n = Fn+1
+ Fn3 Fn3 1 .
1.
f) Montrer que Fn et Fn+1 sont premiers entre eux pour tout n.
g) Plus généralement, montrer que pgcd(Fa , Fb ) = Fpgcd(a,b) .
h) Décrire un algorithme pour calculer Fm (mod N ) en temps polynomial (en
log(m) et log(N )).
arithmétique modulaire
Exercice 16
a) Combien d’opérations élémentaires faut-il effectuer pour calculer x15 par la
méthode d’exponentiation rapide ?
b) Peut-on faire mieux ?
c) La complexité de l’exponentiation rapide est O(log(n)). Est-elle optimale ?
Exercice 17 Soit p > 2 un nombre premier.
a) Montrer que si p ⌘ 3 (mod 4), la congruence
x2 ⌘
1
(mod p)
n’a pas de solution. On suppose désormais p ⌘ 1 (mod 4). Montrer qu’il existe
a 2 (Z/pZ)⇥ tel que a(p 1)/2 6= 1. En déduire qu’il existe b 2 (Z/pZ)⇥ tel que
b2 = 1.
b) Montrer que l’on peut trouver x et y entiers naturels tels que x2 + y 2 = mp,
avec m < p/2.
3
c) Supposons que m > 1 et posons x0 ⌘ x (mod m) et y 0 ⌘ y (mod m), avec
|x0 |  m/2 et |y 0 |  m/2. Montrer que
X=
xx0 + yy 0
m
et
Y =
xy 0
yx0
m
sont des entiers et que l’on a X 2 + Y 2 = pm0 , avec m0  m/2.
d) En déduire qu’il existe deux entiers naturels a et b tels que a2 + b2 = p.
Exercice 18 Un nombre de Carmichael est un entier m > 1 non premier, et
tel que, pour tout a premier à m on ait
am
1
⌘1
(mod m).
Soit m un nombre de Carmichael.
a) Montrer que m est impair et sans facteur carré.
b) Montrer que m a au moins trois facteurs premiers distincts. Montrer que 1105
et 1729 sont des nombres de Carmichael.
c) On suppose désormais que m = pqr, avec p < q < r premiers. On pose
s = (pq 1)/(r 1). Montrer que s est un entier et que l’on a 1 < s < p.
d) Montrer que l’on a (pq 1 + s)p ⌘ s (mod s(q 1)) et en déduire que q 1
divise (p 1)(p + s). En déduire qu’à p fixé, il n’y a qu’un nombre fini de valeurs
possibles pour m. Trouver toutes ces valeurs pour p = 3 et p = 5.
e) Quel est le plus petit nombre de Carmichael ?
4