Transcript ALCL Lymphomes à grandes cellules

La structure d’anneau
Applications directes du cours
1) Soit p un nombre premier. Montrer que l’ensemble
Zp = {x ∈ Q, ∃ (a, b) ∈ Z × Z∗ , x =
a
et b ∧ p = 1}
b
est un sous-anneau de Q. Montrer que si un sous-anneau A de Q contient Zp , on a soit A = Zp , soit A = Q.
2) Déterminer le groupe des inversibles de l’anneau Z/9Z et trouver un groupe simple qui lui est isomorphe.
3) Déterminer les polynômes P ∈ C[X] tels que XP (X + 1) = (X + 4)P (X).
4) Montrer qu’il existe un et un seul polynôme P de degré au plus 3 tel que P0 (0) = 1, P � (0) = −1, P (1) = 2 et
P (−1) = 2. Donner une expression de P .
7
5) Déterminer les chiffres des unités de 77 et de 20082009 .
6) Montrer que si P ∈ R[X] est scindé sur R, P � l’est également.
7) Déterminer les couples (p, q) ∈ Z2 tels que 7 divise 2p + 3q.
8) Montrer que A = {a+j b, a, b ∈ Z} (ou j = e2iπ/3 ) est un sous-anneau de C. Quels sont ses éléments inversibles ?
9) Montrer qu’un entier p ≥ 2 est premier si et seulement s’il divise (p − 1)! + 1.
Exercices CCP-Mines-Centrale
La structure d’anneau
1) Soit K un corps commutatif et A une K-algèbre de dimension finie. Montrez que si A est intègre, A est un
corps.
2) Soit K un corps commutatif et A un sous-anneau de K tel que pour tout x élément non nul de K, on ait x ∈ A
ou 1/x ∈ A. On note I l’ensemble des éléments de A non inversible dans A. Montrer que I est un idéal de A
(on montrera la stabilité de I par somme par l’absurde). Montrer ensuite que les idéaux de A distincts de A sont
contenus dans I.
3) Soit L un corps et K un sous-corps de L. Montrez que L est canoniquement un espace vectoriel sur K. Nous
noterons [L : K] la dimension de cet espace vectoriel. En déduire que si L est fini, son cardinal est une puissance
d’un nombre premier. Montrez que si H est un sous-corps de K, alors [L : H] = [L : K] × [K : H]. Que valent
[C : R], [R : Q] et [C : Q] ?
4) Montrez que le seul automorphisme de corps de R est l’identité.
Indication : on montrera qu’un tel automorphisme coïncide avec l’application identité sur Q, puis qu’il est strictement croissant.
5) On munit K = Z/7Z × Z/7Z des lois :
+ :
K2
−→
K
((a, b), (c, d)) �−→
• :
K2
(a + c, b + d)
−→
K
(ac + 4 bd, ad + bc + bd)
((a, b), (c, d)) �−→
où 4 représente la classe de 4 modulo 7.
Montrer que ces deux lois font de K un corps commutatif de cardinal 49.
6) Soit A un anneau commutatif (unitaire). Montrez que A est un corps si et seulement si ses seuls idéaux sont
{0} et A.
7) Soit K un corps fini de cardinal q et soit Φ l’application qui a tout élément de K[X] associe sa fonction polynôme.
a) Montrez que Φ est surjective.
b) Montrez que l’idéal Ker(Φ) est engendré par X q − X =
�
x∈K (X
− x).
8) Montrez que Z+iZ est un sous-anneau de C, que l’on note Z[i]. Montrer que cet anneau est euclidien, c’est-à-dire
qu’on peut le munir d’une division euclidienne. En déduire qu’il est principal.
Indication : pour diviser dans Z[i] un élément a par un élément b non nul, on pourra utiliser le quotient complexe
a/b.
9) Soit A un anneau commutatif et I un idéal de A. Le radical de I est la partie :
√
I = {x ∈ A, ∃n ∈ N, xn ∈ I}.
�√
I est un idéal de A contenant I. Que vaut
I?
�
�
√
√
√
√
√
√
b) Si J est un second idéal de A, montrer que I + J =
I + J et I ∩ J =
I ∩ J.
a) Montrer que
√
c) Déterminer les idéaux de Z et leurs radicaux.
L’anneau des polynômes

x+y+z =3


10) Résoudre dans R le système xy + yz + zx = 2 .

 3
x + y3 + z3 = 9
11) Trouvez un polynôme réel de degré minimal égal à X 2 + X + 1 modulo X 4 − 2X 3 − 2X 2 + 10X − 7 et à 2X 2 − 3
modulo X 4 − 2X 3 − 3X 2 + 13X − 10.
12) Déterminer les polynômes P non nuls tels que P (X 2 ) = P (X)P (X + 1) (on remarquera que les racines d’un
tel polynôme sont de module 1).
1
(X + 1)(X + 2) . . . (X + k).
k!
a) Montrez que Z est stable par chaque Pk .
13) Pour k ∈ N∗ , soit Pk =
2
b) Montrez que si A est un polynôme à coefficients réels et si A(Z) ⊂ Z, alors est combinaison linéaire à
coefficients entiers des Pk .
c) Montrez que si A ∈ R[X] et si A(Q) ⊂ Q, alors A ∈ Q[X].
14) Soient a1 , a2 , . . . , an entiers relatifs distincts. Montrez que le polynôme (X − a1 )(X − a2 ) . . . (X − an ) − 1 est
irréductible dans Z[X], puis dans Q[X].
15) Soit n ∈ N∗ .
a) Montrer qu’il existe un unique An ∈ C[X] tel que X n +
b) Montrer, pour tout k ∈ {0, . . . , n − 1}, que 2 cos
�
�
1
1
=
A
X
+
.
n
Xn
X
(2k + 1)π
est racine de An . Factoriser An .
2n
16) Soient A, B ∈ C[X] Trouver les polynômes complexes C tels que C | AB, A | BC et B | CA.
17) Soient (p, q) ∈ C2 et a, b les racines de X 2 + pX + q. Trouver les polynômes complexes de racines c, d tels que
a, b, c, d soient les affixes des sommets d’un carré.
18) Trouver les (λ, µ) ∈ C2 tels que P = X 5 + λX 3 + µX + 1 ait une racine d’ordre 3.
19) Soit P = X 3 − 2X 2 + 7X + k un polynôme complexe. Trouver k, sachant que l’une des racines de P a pour
carré la somme des carrés des deux autres racines de P .
20) Que peut-on dire d’un polynôme P ∈ Rn [X] pour lequel il existe n + 1 réels y0 < y1 < . . . < yn tels que
(−1)i P (yi ) ≥ 0 pour tout i ?
21) Soit p ∈ N∗ . Montrer que les racines de pX p −
p−1
�
X p autres que 1 sont de module strictement inférieur à 1.
k=0
22) Pour P ∈ C[X] et a ∈ C, on note E(a, P ) = {z ∈ C, P (z) = a}. Montrer que si P et Q sont deux polynômes
non constants et si a et b sont deux complexes distincts tels que E(a, P ) = E(a, Q) et E(b, P ) = E(b, Q), alors
P = Q.
23) (Mines 2012) Pour n ∈ N∗ , soit En l’ensemble des polynômes unitaires de degré n à coefficients entiers et de
racines de module 1.
a) Pour n = 1, 2, 3, 4 et 5, donner deux éléments de En .
b) Montrer que En est fini et majorer son cardinal.
c) Soit P ∈ En de racines x1 , . . . , xn . Montrer que
racines de l’unité.
n
�
i=1
(X − x2i ) est élément de En . En déduire que les xi sont des
L’anneau des entiers relatifs
24) Montrez qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n − 1, 4n + 1 et 6n − 1.
25) Soit n ∈ N∗ , Écrire une relation liant le nombre N de diviseurs de n et le produit P de ces diviseurs.
26) Résoudre dans Z :
3
a) 22n + 2n + 1 ≡ 0 (mod 21)
d) 4n2 + 1 ≡ 0 (mod 65)
�
n ≡ 2 (mod 65)
g)
n ≡ 3 (mod 13)
b) n2 + (n + 1)2 + (n + 3)2 ≡ 0 (mod 10) c) n2 + 3n + 5 ≡ 0 (mod 121)
e) 3 × 52n+1 + 23n+1 = 0 (mod 7)
�
n ≡ 15 (mod 78)
h)
n ≡ 18 (mod 91)
j) x3 − 21x2 + 29x ≡ 9 (mod 41) k) x3 ≡ 1 (mod 19)
f) nn − 3 ≡ 0 (mod 7)
�
n ≡ 18 (mod 78)
i)
n ≡ 31 (mod 91)
27) Combien l’anneau Z/p2 Z (avec p premier) possède-t-il d’éléments inversibles ? En déduire k 127×126 modulo
1272 .
28) Soit p un nombre premier impair et soit q un diviseur de 2p − 1. Montrer que q ≡ 1 mod 2p.
29) a) Si p est premier, montrer que (p − 1)! ≡ −1 mod p.
b) Calculer, si n ∈ N∗ , le reste de la division de (n − 1)! par n.
30) Soit Z[i] = {a + ib, (a, b) ∈ Z2 } et Σ = {x2 + y 2 , x, y ∈ Z}.
a) Vérifier que Z[i] est un sous-anneau de C ; déterminer le groupe (multiplicatif) G de ses inversibles.
b) Montrer que Σ est stable par produit.
c) Soit p un nombre premier. Montrer que p est élément de Σ si et seulement s’il existe u, v dans Z[i] \ G tels que
p = uv.
d) Montrer que si p ∈ Σ, alors p = 2 ou p ≡ 1 mod 4.
31) Soient a et n deux entiers, avec a > 1 et n > 0. Montrer que si an + 1 est premier, alors n est une puissance
de 2.
32) Calcul d’une relation de Bézout
a) Écrire une fonction récursive en Python qui, appliquée à un couple d’entiers (a, b) tel que 1 ≤ b ≤ a, renvoie un
triplet (d, u, v) tel que d = a ∧ b = au + bv.
b) Nous souhaitons maintenant écrire une procédure itérative qui fait le même travail. Notons
r0 = a, r1 = b, . . . , rk+2 = rk mod rk+1 , . . . , rN = a ∧ b, rN +1 = 0
les restes successifs donnés par l’algorithme d’Euclide. Pour chaque k, il existe un couple d’entiers relatifs (uk , vk )
tels que auk + bvk = uk . Comment peut-on calculer (uk+2 , vk+2 ) en fonction de (uk , vk , uk+1 , vk+1 ) ? En déduire un
algorithme
itératif qui
�
� calcule une relation de Bézout entre a et b. On pourra travailler matriciellement en posant
uk
vk
Uk =
.
uk+1 vk+1
c) Modifier les deux fonctions précédentes pour les adapter à des calculs sur les polynômes.
33) Montrer que la somme de deux nombres premiers consécutifs n’est pas le produit de deux nombres premiers.
34) Quel est le reste de la division de 20142015 par 25 ?
35) Résoudre dans N2 l’équation n(n + 1)(n + 2) = m2 .
4
Exercices X-ENS
36) (P) Soient P, Q ∈ Z[X] sans racine complexe commune. Montrer que la suite (P (n) ∧ Q(n))n≥0 est périodique.
37) (P) Peut-on écrire X 2 Y 2 (X 2 + Y 2 − 3) + 1 comme somme de carrés d’éléments de R[X, Y ] ?
38) Formules de Newton.
Soit P = c0 X n + c1 X n−1 + · · · + cn−1 X + cn =
j-ème somme de Newton de P est :
�n
k=1 (X
Sj =
− λk ) ∈ C[X] avec c0 = 1. Pour tout entier non nul j, la
n
�
λjk
k=1
a) Montrez que pour m ≥ n, Sm + c1 Sm−1 + · · · + cn Sm−n = 0.
b) Montrer que
P =
�
n �
n n−k−1
�
�
j=1 k=0
ck λn−k−1−i
Xi
j
i=0
puis que pour tout couple (m, n) d’entiers vérifiant 1 ≤ m ≤ n, on a
Sm + c1 Sm−1 + · · · + cm−1 S1 + mcm = 0.
En déduire que S1 , S2 , . . . , Sn déterminent entièrement P .
39) Soit A un anneau commutatif intègre.
a) Montrer que la relation (a, b) ∼ (a� , b� ) ⇐⇒ ab� = a� b est une relation d’équivalence sur A × (A \ {0}). On note
K l’ensemble quotient associé à ∼.
b) Montrer que l’application ϕ qui à tout a de A associe la classe du couple (a, 1) est injective. Cette injection
permet donc de plonger A dans K, en identifiant a et ϕ(a).
c) Montrer qu’il existe une structure de corps sur K prolongeant la structure d’anneau de A. On dit que K est le
corps des fractions de A.
d) Montrez que si L est un corps commutatif et si ψ : A → L est un morphisme d’anneau injectif , alors ψ se
prolonge de manière unique en un morphisme injectif de K dans L. Que peut-on dire quand ψ(A) engendre le corps
L?
40) (PLC) Soit n ∈ N∗ et n + 2 réels a1 < a2 < . . . < an < u < v. On pose

P (X) = (X − a1 ) . . . (X − an )(X − u)




 Q(X) = (X − a1 ) . . . (X − an )(X − v)

P � (X) = (n + 1)(X − b1 ) . . . (X − bn )



 �
Q (X) = (n + 1)(X − c1 ) . . . (X − cn )
avec b1 < b2 < . . . < bn et c1 < c2 < . . . < cn . Étudier le signe de ci − bi .
Indication : Poser R = (X − a1 ) . . . (X − an ) et R� = n(X − α1 ) . . . (X − αn ), puis démontrer que bi < αi pour
tout i.
41) (P) Soit P =
n
�
k=0
ak X k ∈ R[X]. On suppose qu’il existe k ∈ {1, . . . , n − 1} tel que : ak−1 ak+1 > 0 et ak = 0.
Montrer que P n’est pas scindé sur R.
5
Indication : Montrer le résultat pour k = 1, puis remarquer que P � est scindé sur R dès que P l’est.
42) Montrer qu’un polynôme réel possédant exactement k coefficients non nuls a au plus 2k − 1 racines réelles
distinctes. Montrer que cette majoration est optimale.
Indication : Pour P ∈ R[X] non nul, on note Z(P ) le nombre de racines non nulles de P et c(P ) le nombre de
coefficients non nul de P . On montrera que Z(P ) ≤ 2c(P ) − 2 si P (0) �= 0 et Z(P ) ≤ 2c(P ) − 1 si P (0) = 0.
43) (L) Soit (Pn )n≥0 une suite de polynômes non nuls de R[X1 , X2 , . . . , Xp ]. Montrer qu’il existe x1 , x2 , . . . xp ∈ R
tels que Pn (x1 , x2 , . . . , xp ) �= 0 pour tout n ∈ N.
44) (L) Existe-t-il une suite réelle (an )n≥0 telle que pour tout n, le polynôme
n
�
ak X k possède n racines réelles
k=0
distinctes ?
45) (X) Soit p un nombre premier ≥ 5. On écrit 1 +
1
a
1
+ ··· +
=
. Montrer que p2 divise a.
2
p−1
(p − 1)!
46) (X) Pour n ∈ N, on note Pn l’ensemble des nombres premiers inférieurs ou égaux à n et an son cardinal.
�
�
2n
a) Soit p ∈ P2n \ Pn . Montrer que p divise
.
n
b) Montrer que aa2n −an ≤ 22n .
c) Montrer qu’il existe C > 0 tel que an ≤
n
pour tout n ≥ 2.
ln n
47) (X 2012) Soit p un nombre premier.
� �
p
a) Montrer que p divise
pour tout k ∈ {1, 2, . . . , p − 1}.
k
b) En déduire que pour tout m ∈ N, (1 + X)p = 1 + X p
m
m
dans l’anneau Z/pZ[X].
c) Soient r et c deux entiers naturels non nuls d’écritures respectives r = r0 . . . rk p et c = c0 . . . ck p en base p.
Montrer :
�
� � �
k �
r
ri
mod p.
≡
c
ci
i=0
48) (X 2012) Soit A l’ensemble des entiers naturels qui ne s’écrivent en base 10 qu’avec le chiffre 1. Déterminer les
polynômes réels P tels que P (A) ⊂ A.
49) (X 2012) On note A l’ensemble des polynômes réels dont les coefficients non nuls sont égaux à 1. Montrer que
l’application P �−→ P (−2) est une bijection de A sur Z.
50) (PLC 2012) Soit d ∈ Z \ {0, 1}. On note δ l’une des deux racines carrées complexes de d.
a) On note Q[δ] la sous-Q-algèbre de C engendrée par δ. Montrer que Q[δ] = Q + δQ et que cette sous-algèbre est
un corps.
b) On note A = {x ∈ Q[δ], ∃(m, n) ∈ Z2 , x2 = mx + n}. Étant donné (a, b) ∈ Q2 , montrer que x = a + bδ
appartient à A si et seulement si 2a ∈ Z et a2 − d b2 ∈ Z.
c) Avec les notations précédentes, montrer que si x = a + bδ ∈ A, alors (a, b) ∈ Z2 ou (2a, 2b) ∈ Z2 .
d) Montrer que A est un sous-anneau de C.
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