Transcript Partiel corrigé

Licence, 2e année, 2e semestre
Année 2013/2014
ALGÈBRE 2 (Math204)
A. C HAMBERT-L OIR
Partiel du jeudi 13 mars 2014 (2h)
L’examen se compose de trois exercices indépendants. Les calculs devront figurer sur la copie et être
expliqués succinctement. S’il est possible de faire d’abord les calculs au brouillon, je conseille de ne
pas en abuser car recopier des calculs prend du temps.
Barème approximatif : exercice 1 : 8 points ; exercices 2 et 3 : 5 points ; rédaction, orthographe, soin
de la copie : 2 points.
Aucun document, calculatrice, téléphone...
EXERCICE 1 (Questions de cours)
1 Donner la définition d’un anneau.
2 Soit A un anneau et soit I un idéal de A. Donner la définition de la relation de congruence modulo I .
Démontrer que c’est une relation d’équivalence.
3 Soit A un anneau. Énoncer le théorème de division euclidienne dans l’anneau A[X ] des polynômes en
une indéterminée à coefficients dans A.
4 Donner la définition d’une jauge euclidienne j dans un anneau intègre A.
5 Si j est une jauge euclidienne sur un anneau intègre A, démontrer que la fonction j ∗ : A\{0} → N donnée
par j ∗ (a) = min{ j (ax) ; x 6= 0} est encore une jauge euclidienne.
6 Donner la définition d’un élément irréductible d’un anneau intègre.
7 Énoncer le lemme d’Euclide.
EXERCICE 2
Soit a et b les entiers relatifs définis par a = 29898 et b = 15246.
1 Décrire l’algorithme d’Euclide étendu.
2 Appliquer l’algorithme d’Euclide étendu à a et b.
3 En déduire le pgcd d de a et b.
4 Décomposer l’entier d en facteurs premiers.
5 Donner la décomposition en facteurs premiers de a et b. (On pourra commencer par calculer les quotients de a et b par d .)
EXERCICE 3
Soit a un nombre complexe. On considère les deux polynômes A = X 4 − 2X 2 + 1 et B = X 2 − X − a en
une indéterminée X et à coefficients dans C.
1 Calculer la division euclidienne de A par B .
2 Démontrer que, quelle que soit la valeur de a, le polynôme B ne divise jamais le polynôme A.
3 Calculer le pgcd des polynômes A et B . (En appliquant l’algorithme d’Euclide, vous aurez besoin de
traiter séparément certaines valeurs particulières de a.)
1
ALGÈBRE 2 (Math204)
Corrigé du sujet du jeudi 13 mars 2014 (2h)
Sujet proposé (et corrigé) par A. Chambert-Loir
SOLUTION DE L’EXERCICE 1.
1
Un anneau est un ensemble A muni de deux lois, une addition notée + et une multiplication notée ×,
vérifiant les propriétés suivantes :
(1) Pour l’addition, A est un groupe abélien :
(a) La loi + est associative : pour a, b, c ∈ A, on a (a + b) + c = a + (b + c) ;
(b) La loi + est commutative : pour a, b ∈ A, on a a + b = b + a ;
(c) La loi + possède un élément neutre 0 : pour a ∈ A, on a a + 0 = 0 + a = a ;
(d) Tout élément de A possède un symétrique (opposé) pour la loi + : pour tout a ∈ A, il existe
b ∈ A tel que a + b = b + a = 0 ;
(2) La multiplication est associative, commutative, et possède un élément neutre 1 ;
(3) La multiplication est distributive par rapport à l’addition : pour a, b, c ∈ A, on a a ×(b +c) = a ×b +
a × c.
2
Soit A un anneau, soit I un idéal de A. On dit que deux éléments a et b de A sont congrus modulo I (et
on note a ≡ b mod I ) si a − b ∈ A.
C’est une relation d’équivalence :
(1) Elle est réflexive : pour tout a ∈ A, a − a = 0 ∈ I , donc a ≡ b mod I ;
(2) Elle est symétrique : si a ≡ b mod I , alors a − b ∈ I , donc b − a = −(a − b) ∈ I , donc b ≡ a mod I ;
(3) Elle est transitive : si a ≡ b mod I et b ≡ c mod I , alors a − b ∈ I et b − c ∈ I , donc a − c = (a − b) +
(b − c) ∈ I , donc a ≡ c mod I .
3
4
5
6
7
Soit U et V des polynômes en une indéterminée X à coefficients dans l’anneau A. On suppose que le
coefficient dominant de V est inversible. Alors, il existe un unique couple (Q, R) de polynômes de A[X ]
tel que U = V Q + R et deg(R) < deg(V ).
Soit A un anneau intègre. Une jauge euclidienne dans A est une application de A \ {0} dans N vérifiant
la propriété suivante : pour tous a et b ∈ A tels que b 6= 0, il existe q, r ∈ A tels que a = bq + r et tels que
r = 0 ou j (r ) < j (b).
Soit j une jauge euclidienne sur l’anneau intègre A. Démontrons que j ∗ est une jauge euclidienne.
C’est une fonction de A \ {0} dans N. Soit a, b ∈ A, avec b 6= 0. Soit x ∈ A \ {0} tel que j ∗ (b) = j (bx) ; alors
bx 6= 0. Appliquons l’hypothèse que j est une jauge euclidienne au couple (a, bx) : soit q et r ∈ A tels
que a = (bx)q + r et r = 0 ou j (r ) < j (bx). Alors, a = b(xq) + r ; de plus, si r 6= 0, alors j ∗ (r ) 6 j (r ) <
j (bx) = j ∗ (b). Cela prouve que j ∗ est une jauge euclidienne.
Soit A un anneau intègre et soit a un élément non nul de A. On dit que a est irréductible s’il n’est pas
inversible et si pour tout couple (u, v) d’éléments de A tels que a = uv, alors a divise u ou a divise v.
Soit A un anneau principal, soit p un élément irréductible de A, soit a et b des éléments de A tels que
p divise ab. Alors, p divise a ou p divise b.
1
SOLUTION DE L’EXERCICE 2.
1
2
Étant donné deux entiers non nuls a et b, l’algorithme d’Euclide étendu construit trois suites finies (a n ),
(u n ), (v n ) définies par récurrence de la façon suivante. On pose a 0 = a, u 0 = 1, v 0 = 0 et a 1 = b, u 1 = 0,
v 1 = 1. Ensuite, si ces suites sont définies jusqu’au rang n > 1 et que a n 6= 0, on introduit la division
euclidienne a n−1 = a n q + r de a n−1 par a n ; on pose alors a n+1 = a n−1 − q a n = r , u n+1 = u n−1 − qu n ,
v n+1 = v n−1 − q v n . Si m > 1 est le plus petit entier tel que a m = 0, alors a m−1 est un pgcd de a et b, et on
a la relation de Bézout a m−1 = au m−1 + bv m−1 .
On présente l’algorithme d’Euclide étendu sous la forme d’un tableau :
n
0
1
2
3
4
5
6
3
4
an
un
vn
29898
1
0
15246
0
1
14652
1
−1
594
−1
2
396
25
−49
198
−26
51
0
77 −151
29898 = 15246 × 1 + 14652
15246 = 14652 × 1 + 594
14652 = 594 × 24 + 396
594 = 396 × 1 + 198
396 = 198 × 2 + 0
D’après la question précédente, le pgcd de 29898 et 15246 est 198.
On reconnaît des facteurs premiers de 198 :
198 = 2 × 99 = 2 × 9 × 11 = 2 × 32 × 11.
5
On reconnaît a = 29898 = 198×151 et b = 15246 = 198×77. L’entier 151 n’est pas multiple de 2 (impair),
3 (somme des chiffres égale à 7), 5 (ne se termine pas par 0 ou 5), 7 (car 151 = 7 × 21 + 3), 11 (car 151 =
11 × 13 + 8), 13 (car 151 = 13 × 11 + 8) et n’est pas non plus multiple d’un nombre premier supérieur ou
égal à 13 car les quotients seraient < 11, donc seraient divisibles par un nombre premier < 11. Ainsi, 151
est un nombre premier et la décomposition en facteurs premiers de a est
a = 29898 = 2 × 32 × 11 × 151.
Puisque 77 = 7 × 11 et que 7 et 11 sont premiers, on a
b = 15246 = 2 × 32 × 7 × 112 .
SOLUTION DE L’EXERCICE 3.
1
−
X4
X4
−X
3
3
−
−2X 2
−aX 2
+1
X 2 + X + (a − 1)
2
X
X3
+(a − 2)X
−X 2
−
(a − 1)X 2
(a − 1)X 2
X2−X −a
+1
−a X
+a X
−(a − 1)X
+1
−a(a − 1)
(2a − 1)X
+(a 2 − a + 1)
de sorte que le quotient Q et le reste R de la division demandée valent
Q = X 2 + X + (a − 1) et R = (2a − 1)X + (a 2 − a + 1).
2
3
Pour que B divise A, il faut et il suffit que le reste de la division euclidienne de A par B soit nul, c’est-àdire R = 0. On obtient donc 2a−1 = a 2 −a+1 = 0. Nécessairement a = 1/2, mais alors a 2 −a+1 = 3/4 6= 0.
Ainsi, B ne divise jamais A.
Comme on ne demande que le pgcd des polynômes A et B , il suffit de leur appliquer l’algorithme d’Euclide. Il consiste à écrire une suite de polynômes commençant par A, B et où chaque terme est le reste
de la division euclidienne de l’avant-dernier par le dernier. On s’arrête lorsqu’un reste est nul et le pgcd
est le polynôme précédent.
Cette suite commence donc par A 0 = A, A 1 = B , A 2 = R. On a vu que A 2 n’est pas nul.
2
Ensuite, on doit calculer le reste de la division de A 1 par A 2 .
Il y a deux cas à distinguer. Si a = 1/2, A 2 = R = −3/4 est inversible, donc le reste de la division euclidienne de A 1 par A 2 est nul. Dans ce cas, A 2 = −3/4 est un pgcd. Le pgcd unitaire est donc égal à
1.
Supposons maintenant a 6= 1/2, de sorte que A 2 est de degré 1. Calculons la division euclidienne de A 1
par A 2 .
X2
−X
a −a +1
X
+
2a − 1
−a
2
− X2
=
1
a2 + a
X−
2a − 1
(2a − 1)2
−2a + 1 − a 2 + a − 1
X
2a − 1
=
−
a2 + a
X
2a − 1
a2 + a
−
X
2a − 1
−a
−a
−
=
(2a − 1)X + (a 2 − a + 1)
−
(a 2 + a)(a 2 − a + 1)
(2a − 1)2
a 2 (a − 2)2
(2a − 1)2
Dans le dernier reste, on a fait le calcul :
−a +
(a 2 + a)(a 2 − a + 1) −a(4a 2 − 4a + 1) + (a 4 − a 3 + a 2 + a 3 − a 2 + a)
=
(2a − 1)2
(2a − 1)2
a 4 − 4a 3 + 4a 2 a 2 (a − 2)2
=
=
.
(2a − 1)2
(2a − 1)2
On a donc A 3 = a 2 (a −2)2 /(2a −1)2 . C’est un polynôme constant (qui dépend du paramètre a). Il est nul
si et seulement si a 2 (a − 2)2 = 0, c’est-à-dire si a = 0 ou a = 2. Dans ce cas, le polynôme A 2 qu’on avait
calculé à la première question est un pgcd :
— Cas a = 0 : on trouve R = −X + 1 = −(X − 1) ; pour obtenir un pgcd unitaire, on divise par le
coefficient dominant et on obtient que le polynôme X − 1 est un pgcd.
— Cas a = 2 : on trouve R = 3X + 3 = 3(X + 1) ; là encore, on divise par le coefficient dominant pour
obtenir un pgcd unitaire, à savoir X + 1.
Sinon : A 3 est inversible, donc le reste A 4 de la division de A 2 par A 3 est nul et A 3 est un pgcd. Le pgcd
unitaire est donc égal à 1.
Conclusion : Le pgcd unitaire de A et B vaut X − 1 si a = 0, X + 1 si a = 2, et 1 sinon.
3