Transcript Chapitre 2 - Arithmétique modulaire 1 Division euclidienne

Lycée Maximilien Sorre
Année 2014-2015
BTS SIO 1
Chapitre 2 - Arithmétique modulaire
1
1.1
Division euclidienne
Définition, existence, unicité
Définition. Soient deux entiers naturels a et b, avec b > 0. Effectuer la division euclidienne
de a par b consiste à déterminer les deux entiers q et r tels que :
a=b×q+r
et
0≤r<b.
a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient, et r est le reste.
Exemple. Effectuons la division euclidienne de 21 par 4 :
21 = 4 × 5 + 1 .
Théorème 1. Le quotient et le reste existent toujours et sont uniques :
pour tous entiers naturels a et b, il existe un unique couple (q, r) d’entiers naturels tels que
a=b×q+r
1.2
avec
0≤r<b.
Comment faire une division euclidienne
Méthode 1 - poser la division :
Cette méthode consiste à calculer le quotient chiffre par chiffre en commençant par la gauche.
Exemple. Effectuons la division euclidienne de 1789 par 3 :
Exercice 1.
a) Effectuer la division euclidienne de 932 par 7.
b) Effectuer la division euclidienne de 3456 par 19.
Méthode 2 - méthode naïve :
Une manière naturelle de calculer le quotient est de se demander combien de fois peut-on
mettre b dans a. Pour répondre à cette question, on commence par regarder si a est strictement
inférieur à b. Si c’est le cas, alors q = 0 et r = a. Sinon, on soustrait b à a autant de fois que
nécessaire pour que le résultat devienne strictement inférieur à b. Le nombre de soustractions
effectuées est alors q, et le résultat obtenu après soustraction est r.
Remarque. En algorithmique, on peut utiliser cette façon de procéder pour écrire un algorithme de division euclidienne.
1
2
Multiples et diviseurs
2.1
Définitions, exemples
Définition. Soient a et b des entiers naturels. On dit que :
• a est un multiple de b
• b est un diviseur de a
si il existe un entier naturel q tel que : a = b × q.
Exemples.
a) 48 est un multiple de 6.
b) 7 est un diviseur de 56.
c) Tout entier naturel est multiple de 1.
Remarque. Tout entier naturel n admet au moins comme diviseurs n et 1.
Propriétés 2.
• Un nombre est multiple de 2 si :
• Un nombre est multiple de 3 si :
• Un nombre est multiple de 5 si :
Exercice 2.
a) Donner la liste des multiples de 0.
b) Donner la liste des diviseurs de 56.
c) Déterminer le chiffre x pour que le nombre 712x soit divisible par 9.
2.2
PGCD
On note PGCD(a,b) le plus grand diviseur commun à a et à b.
Exemple. Calculons le PGCD de 35 et de 49 :
• 35 a pour diviseurs 1, 5, 7 et 35.
• 49 a pour diviseurs 1, 7, et 49.
On a donc : PGCD(35, 49) = 7.
Exercice 3. Déterminer le PGCD de :
a) 13 et 39,
b) 30 et 42.
Définition. Deux entiers naturels sont dits premiers entre eux si leur PGCD vaut 1.
Exemple. 21 et 8 sont premiers entre eux.
Algorithme d’Euclide :
L’algorithme d’Euclide permet de calculer le PGCD de deux entiers a et b. Pour cela, on
effectue la division euclidienne de a par b, puis de b par le reste obtenu et ainsi de suite
jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD de a et b.
2
Exemple. Calculons le PGCD de 48 et 56 (par les deux méthode) :
Méthode 1 :
Les diviseurs de 48 sont :
Les diviseurs de 56 sont :
PGCD(56, 48) =
Méthode 2 :
Exercice 4. Calculer le PGCD de :
a) 245 et 120,
b) 336 et 70.
3
3.1
Nombres premiers
Définition
Définition. Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs
distincts positifs : 1 et lui même.
Exemples.
• 1 n’est pas premier.
• 2 est premier. C’est le seul nombre premier pair.
• 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19 sont premiers.
• 6 n’est pas premier.
Remarque. Il existe une infinité de nombres premiers.
3.2
Recherche de nombres premiers
Remarque. Les nombres premiers jouent un rôle crucial, notamment en cryptographie. Par
exemple, le système de cryptage RSA, très utilisé dans le commerce électronique, et plus généralement pour échanger des données confidentielles sur Internet (protocoles d’identification
SSL (Secure Sockets Layer), etc), repose sur les nombres premiers. Plus les nombres premiers
utilisés pour le cryptage sont grands, plus le cryptage est sûr. C’est pour cela qu’on s’intéresse
aux méthodes permettant d’identifier les nombres premiers.
Méthode par essais de division :
La méthode repose sur le théorème suivant :
Théorème 3.
a) Tout entier naturel n ≥ 2 admet au moins un diviseur premier.
b) Si n n’est pas premier, alors il admet un diviseur p premier tel que :
√
2≤p≤ n.
3
Par conséquent, pour savoir si un nombre est premier, on regarde si il est divisible par
un nombre inférieur ou égal à sa racine : si il n’est divisible par aucun de ces nombres, il est
premier.
√
Exemple. On cherche à savoir si 133 est premier. 133 ≈ 11.54. Donc si 133 n’est pas
premier, il est divisible par un nombre entre 2 et 11. Il suffit alors d’essayer de diviser 133 par
ces nombres.
On trouve que :
Exercice 5. Déterminer si les nombres suivants sont premiers : 119 ; 149 ; 209.
Le crible d’Ératosthène :
Le crible d’Ératosthène repose sur la même idée que la méthode ci-dessus et permet de
déterminer la liste des premiers nombres premiers.
Exemple. On souhaite déterminer tous les nombres premiers inférieurs à 50 :
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
3.3
Décomposition en produit de facteurs premiers
Théorème 4. Tout nombre entier n ≥ 2 peut s’écrire comme un produit de nombres premiers :
n = pn1 1 × pn2 2 × · · · × pnk k ,
où les pi sont tous premiers, et où les ni sont des entiers positifs.
Cette écriture s’appelle la décomposition en produit de facteurs premiers.
Exemple. 56 = 23 × 7.
Remarques.
• Pour casser un système de cryptage RSA (voir plus haut), il faut savoir décomposer un
nombre (appelé clé) en un produit de facteurs premiers. C’est pour cette raison que de
nombreux organismes s’intéressent à la factorisation en nombres premiers.
• Pour vérifier la sécurité de leur système de cryptage, des organismes ont même proposé
des récompenses (de plusieurs dizaines de milliers de dollars) à qui saurait factoriser un
nombre donné (utilisé comme clé).
• La décomposition en facteurs premiers permet aussi de déterminer facilement des PGCD.
On s’en sert également pour simplifier les fractions, etc...
Exercice 6.
a) Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres suivants : 160, 126.
b) Donner les diviseurs de 126.
c) Calculer PGCD(160,12).
4
4
Congruences
4.1
Définition
Définition. Soient n un entier supérieur ou égal à 2, et a et b deux nombres entiers naturels.
On dit que a et b sont congrus modulo n (ou que a est congru à b modulo n) si a et b ont le
même reste dans la division euclidienne par n. On note alors :
a ≡ b[n] .
Exemples.
• 10 ≡ 31[3].
• 16 ≡ 1[5].
• pour tout entier naturel a, a ≡ 0[2] si et seulement si a est pair (c’est-à-dire si et seulement
si 2 divise n).
4.2
Propriétés
Propriété 5. Pour tout entier naturel a et tout entier naturel n ≥ 2, on a que :
a ≡ 0[n] si et seulement si n divise a.
Théorème 6. Soient a, a0 , b, b0 et n des entiers naturels tels que :
a ≡ a0 [n]
et
b ≡ b0 [n] .
Alors :
a) a + b ≡ a0 + b0 [n].
b) a × b ≡ a0 × b0 [n].
c) ak ≡ (a0 )k [n].
Exercice 7.
a) Montrer que 155 − 273 est un multiple de 12.
b) Montrer que 88 − 68 est un multiple de 7.
Le mot de la fin : 8, 9, 10, 11 et 12 font la course, qui gagne ?
11, parce qu’il est premier.
5