Transcript Diaporama de la formation

Mathématiques au cycle 3
Les divisions
15 avril 2011- G. Kérouanton
Auto-Evaluation
1. Résoudre des problèmes multiplicatifs permet de donner du
sens à la multiplication et à la division.
2. La technique opératoire de la division est indispensable pour
résoudre des problèmes de division.
3. Les problèmes de proportionnalité ne sont pas des problèmes
qui se résolvent en cycle 2, de toutes les façons ce ne sont pas
des problèmes multiplicatifs.
4. Plusieurs procédures de résolution sont recevables pour un
problème multiplicatif donné.
5. Il y a quatre catégories de problèmes multiplicatifs rencontrés à
l’école élémentaire .
Sommaire
 1-
Les programmes
 2. Rappel mathématique rapide à
usage des enseignants

A - Le champ multiplicatif
 B- Typologie de problèmes multiplicatifs
 C- Les divisions
Qu’est-ce qu’enseigner la
division au cycle 3 ?
 3
A- Améliorer le sens
 B- Améliorer la technique
1.Les Programmes 2008
Du CE2 au CM2, dans les quatre domaines du
programme,
l’élève enrichit ses connaissances,
acquiert de nouveaux outils,
continue d’apprendre à résoudre des problèmes.
Il renforce ses compétences en calcul mental.
Il acquiert de nouveaux automatismes. L’acquisition
des mécanismes en mathématiques est toujours
associée à une intelligence de leur signification.
Nombres et calculs
Le calcul mental
Tables d’addition et de multiplication.
L’entraînement quotidien au calcul mental
portant sur les quatre opérations favorise
une appropriation des nombres et de
leurs propriétés.
Nombres et calculs
Le calcul posé
La maîtrise d’une technique opératoire
pour chacune des quatre opérations est
indispensable.
Nombres et calculs
Le calcul à la calculatrice
La calculatrice fait l’objet d’une utilisation
raisonnée en fonction de la complexité
des calculs auxquels sont confrontés les
élèves.
Résolution de problèmes
La résolution de problèmes liés à la vie courante
permet
•d’approfondir la connaissance des nombres
étudiés,
•de renforcer la maîtrise du sens et de la
pratique des opérations,
•de développer la rigueur et le goût du
raisonnement.
Progressions
Seules des connaissances et compétences nouvelles sont mentionnées dans
chaque colonne.
Pour chaque niveau, les connaissances et compétences acquises dans la
classe antérieure sont à consolider.
CE2
CM1
Connaître
Connaître
une
technique opératoire
de la division et la
mettre en œuvre
avec un diviseur à
un chiffre.
une
technique opératoire de
la division et la mettre
en œuvre avec un
diviseur à un chiffre .
Division euclidienne
de deux entiers.
Division décimale de
deux entiers.
CM2
Connaître
une
technique opératoire de
la division et la mettre
en œuvre avec un
diviseur à un chiffre.
Division euclidienne
de deux entiers.
Division décimale de
deux entiers.
Division d’un
nombre décimal par
un nombre entier.
Le socle commun des connaissances
et des compétences
•Restituer les tables d’addition et de multiplication de 2
à9;
•Utiliser les techniques opératoires des quatre
opérations sur les nombres entiers et décimaux (pour
la division, le diviseur est un nombre entier) ;
•Calculer mentalement en utilisant les quatre
opérations ;
•Estimer l’ordre de grandeur d’un résultat ;
•Utiliser une calculatrice ;
•Résoudre des problèmes relevant des quatre
opérations, de la proportionnalité, et faisant intervenir
différents objets mathématiques : nombres, mesures,
“règle de trois”, figures géométriques, schémas.
2.Rappel mathématique
rapide à usage des
enseignants
A- le champ multiplicatif
La question de la division s’inscrit dans
un champ conceptuel (défini par
Vergnaud) plus vaste qui est le champ
multiplicatif.
 Il recouvre l’ensemble des situations dont
le traitement requiert l’utilisation de la
multiplication ou de la division.
 La multiplication ou la division sont des
notion à être interprétées dans le cadre
de la proportionnalité.

B- Typologie de problèmes
multiplicatifs
Selon la typologie de Vergnaud
1. Problème quaternaire

Multiplication

Division-quotition

Division-partition

Quatrième de proportionnelle
2. Problème ternaire

n fois plus ou n fois moins

Produit cartésien AxB

Configuration rectangulaire
Problème quaternaire
Dans les cas où un des nombre est égal à 1

Les problèmes de multiplication
J’ai collé 32 timbres sur chaque page d’un album de
14 pages. Combien y a-t-il de timbres dans l’album ?
 Les problèmes de division-partition (recherche de la
valeur d’une part)
J’ai collé 448 timbres dans un album de 14 pages. Il y
a le même nombre de timbres sur chaque page.
Combien y a-t-il de timbres sur chaque page ?
 Les problèmes de division-quotition (recherche du
nombre de parts)
J’ai collé 448 timbres dans un album. Il y a 14 timbres
sur chaque page. Combien de pages ont été
remplies ?
Dans le cas où aucun des nombres n’est pas égal à 1
6 mètres de tissu coûtent 21€ . Quel est le prix de 9
mètres du même tissu ?
Problème ternaire
n
fois plus ou n fois moins
Pierre a 9 ans et son père est 4 fois plus âgé que
lui. Quel âge a son père ?
Produit
cartésien AxB
Je possède 3 vestes et 4 pantalons. Combien
puis-je former de tenues différentes ?
Configuration
rectangulaire
Une feuille de cahier a 12 carreaux sur sa largeur et
21 carreaux sur sa longueur. Combien y a-t-il de
carreaux sur la feuille ?
C. Les divisions
•La division euclidienne dans l’ensemble
des naturels N
a = (b x q) + r
appelée division avec reste
•La division dans l’ensemble des
rationnels positifs Q
a:b = a/b
appelée division sans reste
Vocabulaire et symbolisme
•Quotient entier
•Quotient euclidien
:
÷
2. Qu’est-ce qu’enseigner la
division au cycle 3?
Améliorer le sens
Pour les élèves
Division avec ou sans reste
•Division euclidienne ou division avec reste
–La potence
–L’égalité caractéristique
–Quotient euclidien
•Division sans reste
–Les deux points
–L’égalité caractéristique
–Quotient
La division euclidienne
•La division quotition: recherche du nombre de
parts.
Le jardinier a 167 tomates. Il prépare des caisses de 36
tomates. Combien de caisses remplit-il?
•La division partition: recherche de la valeur
d’une part.
Le voisin a 167 tomates. Il les distribue équitablement
entre ses 8 enfants. Combien de tomates aura chaque enfant?
Les grandeurs en jeu
Des cardinaux
 Des longueurs
 Des prix
 Des ordinaux (cases numérotées,
repères sur un segment)

Améliorer la technique opératoire
Les procédures
•Niveau 1: simulation de l’action
•Matériel, dessins, représentations
•Niveau 2: calculs
•Additifs, soustractifs, multiplicatifs, mixtes
•Niveau 3: expert
•Recherche des meilleurs multiples du diviseur T1
•Partage des groupements de numération du
dividende T2
•Calcul mental
•Calcul instrumenté
Les deux techniques opératoires
usuelles de la division euclidienne
Donner du sens à la technique pour permettre aux
élèves de bien la comprendre, avant de l’utiliser de
manière automatique. Ceci nécessite une
contextualisation souvent indispensable.
•T1 Recherche des meilleurs
multiples
•T2 Partage des groupements de
numération
T1 Recherche des meilleurs multiples
Situations de division quotition et partition.
1.
2.
Recherche d’un encadrement du
quotient euclidien par une puissance
de dix.
Construction de tableaux de multiples
(complets ou partiels. Utilisant les propriétés de linéarité.)
3.
4.
Calculs avec poses des soustractions
Écriture de l’égalité caractéristique.
Exemple T1
6658 billes à partager entre 27 enfants.
Quelle est la part de chacun?
 6658 billes à ranger dans des sachets
de 27 billes.
Quel est le nombre de sachets?

T2 Partage des groupements
de numération
Situations de division partition
Recherche du nombre de chiffres du
quotient euclidien
 Recherche des chiffres successifs du
quotient euclidien
 Écriture de l’égalité caractéristique

Exemple T2

Un groupe de 27 enfants va à la loterie.
Ensemble ils ont gagné 6658 points. Ils
se les répartissent. Quelle est la part de
chacun?
Choix





Introduire la division euclidienne dans des
situations de type quotition à chaque niveau.
Étendre rapidement à d’autres contextes.
Enseigner la technique T1 en CE2.
En CM1 les deux techniques peuvent
coexister. Enseigner T2 pour introduire la
division décimale de deux entiers.
En CM2 enseigner T2 pour introduire la
division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Dispositif d’apprentissage
1.
2.
Approche
Construction
1.
2.
3.
4.
3.
Familiarisation
Appropriation
Apprentissage
Institutionnalisation
Consolidation
1. Entraînement
2. Réinvestissement
…
Exploitation des manuels
scolaire sur la division
euclidienne
-
-
-
Période
Titre
Nombre de séances
Objectif
Situation retenue pour la construction
Sens
Procédures envisagées
Retour aux programmes et au cycle 2
Compétences à acquérir au cycle 2
Ecrire, nommer, comparer, ranger les nombres entiers naturels inférieurs à 1 000
Connaître une technique opératoire de la multiplication et l’utiliser pour effectuer des
multiplications par un nombre à un chiffre.
Diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient exact entier).
Restituer et utiliser les tables d’addition et de multiplication par 2, 3, 4 et 5
Calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions et des
multiplications simples
Résoudre des problèmes très simples relevant de l’addition, de la soustraction et de
la multiplication.
Observer et décrire pour mener des investigations
Approcher la division de deux nombres entiers à partir d’un problème de
partage ou de groupements, pour des nombres inférieurs à 100
4- La progression dans les différents
niveaux d’approche du concept de
division au cycle 2


L’enseignement de la division est bien envisagé
depuis le début du cycle 2 (et même depuis la fin de
l’école maternelle), puisque dès ce moment de la
scolarité, les élèves sont confrontés à des
situations de partage ou de distribution qu’ils
résolvent par des solutions personnelles qui
évoluent en même temps que les connaissances
élaborées par les élèves.
C’est une progressivité des apprentissages qui est à
l’œuvre, avec « le souci d’asseoir le sens et la
structuration des notions sur les expériences et les
savoirs capitalisés antérieurement. »
La place des « concepts quotidiens »



Les élèves ne s’approprient pas les concepts
arithmétiques à partir de rien.
Avant tout enseignement des opérations
arithmétiques, ils sont susceptibles de résoudre un
grand nombre de problèmes à l’aide des seuls
concepts quotidiens d’ajout, de retrait, de partage,
de groupement qui, pour l’essentiel, trouvent leur
origine dans l’action sur les objets.
Ils progressent dans la résolution de ces problèmes à
l’aide de ces seuls concepts quotidiens. Une partie
du progrès s’effectue donc en continuité avec le
progrès des connaissances “ quotidiennes ” des
enfants.
Passer à des concepts mathématiques


En revanche, envisager l’appropriation des concepts
arithmétiques dans cette seule continuité des
concepts quotidiens, c’est sous-estimer les ruptures
nécessaires à la conceptualisation arithmétique. En
effet, à strictement parler, enseigner une opération
arithmétique, c’est créer des situations
pédagogiques favorisant la prise de conscience
de l’équivalence entre procédures qui fonde cette
opération et c’est introduire les écritures
appropriées pour symboliser cette équivalence
(“a x b” pour la multiplication et “a : b” pour la
division).
Conséquences pédagogiques


Les séquences pédagogiques correspondantes
représentent une rupture parce que leur enjeu n’est
pas d’obtenir la solution d’un problème mais de
prendre conscience que l’introduction d’un nouveau
symbole, un « signe opératoire », va offrir la
possibilité, selon le contexte, d’obtenir cette solution
de diverses manières.
Il s’agit moins d’y résoudre des problèmes que de
théoriser leur résolution.
Conséquences pédagogiques



Il faut souligner l’importance du moment où le maître
commence à enseigner l’équivalence entre le partage
et le groupement et où il enseigne la symbolisation
de cette équivalence en introduisant le mot “division”
et l’écriture correspondante.
C’est ce moment qui, en toute rigueur, est le point de
départ de l’enseignement mathématique de la
division à l’école.
Sans enseignement de l’équivalence entre le partage
et le groupement et sans symbolisation et
verbalisation de cette équivalence ( avec l’écriture
“a:b” et le mot “division”), il n’y a pas de
conceptualisation de la division.
Introduction et mise en œuvre de la technique
opératoire de la division euclidienne


Elle est introduite au CE2, avec un chiffre au diviseur
et elle est mise en œuvre dans le cadre de situations
variées; de partage et de quotition.
Elle est consolidée au CM1. La division décimale est
introduite.