Transcript DIDACTIQUE SUR LES MESURES - Maths et Tice en Polynésie
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David Rolland, formateur en Mathématiques
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Plan du cours
- Préambule
- Classification et analyse des différents modes
de calcul
- Addition et soustraction
- Multiplication et division
- Calculs sur les radicaux
- Calculs sur les puissances
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Préambule :
Indiquez comment vous effectueriez ces 5 calculs suivant :
- 38 x 25
- 60 + 16
- 38 x 0,25
- 326,25 x 82,75
- 2332 - 568
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I / Classification des différents modes de calcul
Remarque préalable : calculer nécessite la mémorisation de résultats et de techniques.
Calcul automatisé : fait appel
à un résultat déjà mémorisé
et se limite à exécuter un
algorithme
Calcul écrit
Calcul mental
Calcul instrumenté
(on utilise une
calculatrice ou un
tableur)
Exemple : ayant à faire une
soustraction, on utilise
toujours la même technique
de calcul posé.
Calcul réfléchi ou raisonné :
ayant à faire un certain type de
calcul, on utilise une procédure
dépendant des nombres en jeu.
Exemples :
64 - 5 = 64 - 4 - 1 = 60 - 1 = 59
64 - 59 = 64 - 60 + 1 = 5
Exemple : ayant à diviser par
25, mentalement, on
multiplie par 4 et on divise
par 100.
Exemple :
Exemple : ayant à calculer le
produit de deux nombres,
on utilise la touche × de la
calculatrice.
Exemple : pour calculer la valeur
exacte de 128 000 618 × 514 avec une
calculatrice, on effectue à la
calculatrice les calculs 128 × 514 et
618 x 514.
12×25 = 3×4 ×25
= 3×100 = 300
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1/ Caractéristiques propres au calcul automatisé et au calcul réfléchi
Calcul automatisé
Calcul réfléchi
Le calcul posé met en œuvre des propriétés
des opérations, même si ces propriétés ne
sont pas nécessairement toujours visibles pour
le calculateur.
Le calcul réfléchi s’appuie sur des relations
entre nombres et sur des propriétés des
opérations que le calculateur décide de
mobiliser.
Le calcul automatisé est impersonnel : il est
conduit de la même façon par tous les
individus.
Le calcul réfléchi est très personnalisé. Le
même calcul peut être réalisé de plusieurs
manières selon les individus, notamment en
fonction de leurs connaissances sur les
nombres et les opérations.
Le calcul automatisé nécessite peu d’effort, car
il est exécuté par réflexe : il peut être réalisé
rapidement.
Pour un calcul réfléchi, la charge mentale de
travail peut être importante… ainsi que le
temps nécessaire pour répondre.
Le calcul automatisé s’apparente à un exercice
routinier : il suffit d’exécuter une procédure
connue.
Le calcul réfléchi s’apparente davantage à la
résolution de problèmes : il faut d’abord
imaginer une procédure possible, puis la
mener à son terme.
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2/ Analyse des différents modes de calcul
a/ Résultats et procédures mémorisés.
Pour exécuter un calcul sans machine, il est indispensable de pouvoir disposer
immédiatement de certains résultats ou de certaines procédures.
Citons quelques facteurs favorables à la mémorisation :
-On mémorise mieux ce qui a du sens : mieux vaut donc travailler sur le sens des
opérations que sur la mémorisation des tables.
-Les conditions d’apprentissage retentissent sur les conditions de récupération en
mémoire (ex : réciter le début de la table de 8 pour retrouver le résultat de 8x7).
-Certains résultats sont plus faciles à mémoriser et constituent des points d’appui
pour la suite de la mémorisation (ex : les doubles, la table de 5…).
-La connaissance de relations entre les résultats à mémoriser ou de propriétés
réduit le coût de la mémorisation.
-La répétition est un facteur qui n’est pas à négliger, surtout si elle s’inscrit dans un
contexte motivant (ex : dans le cadre des jeux)
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b/ Algorithmes opératoires et calculatrices.
-Les algorithmes écrits de calcul ont longtemps
constitué un objectif primordial de l’école primaire.
-La diffusion de nouveaux instruments de calculs
(calculatrice, ordinateur) en réduit l’usage social.
-L’école ne peut pas rester à l’écart de ce
phénomène.
-L’apprentissage des techniques opératoires demeure
un objectif important de l’école primaire, mais ses
finalités sont en partie à reconsidérer.
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c/ Calculatrices et tableurs.
- L’apprentissage d’une utilisation intelligente des calculatrices est prévue
dès le cycle 2 de l’école primaire et l’initiation au tableur figure au
programme du collège.
- Pour les calculatrices, vous devez être capables d’utiliser une calculatrice
d’usage courant et de maîtriser certaines fonctionnalités comme la mémoire
(touches [M+], [M-], [MR]…).
- Reportez vous au document d’accompagnement des programmes de
mathématiques de l’école primaire « Utiliser les calculatrices en classe »
disponible sur le site internet : http://www.cndp.fr/ecole/.
- Exemple d’utilisation des calculatrices en classe : dans les problèmes
complexes, l’effort de l’élève devrait être en priorité centré sur le
raisonnement. Si la charge mentale de travail due aux calculs est trop
importante, certains élèves peuvent perdre le fil de leur raisonnement ou
même renoncer à utiliser tel calcul, jugé par eux comme trop difficile.
La mise à disposition de calculatrices permet de surmonter cette
difficulté.
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d/ Divers aspects du calcul réfléchi.
Calcul réfléchi exact :
Il fait appel à 3 types de connaissances :
- des résultats et procédures de base stockés en mémoire
: tables, relations entre certains nombres, procédures pour certains calculs
comme « multiplier par 10 »…
- des connaissances relatives à la numération écrite ou
orale
- des connaissances relatives aux propriétés des
opérations (ex : associativité de l’addition et de la multiplication …).
Ce type de calcul peut être conduit de façon purement mentale mais peut
aussi être accompagné de traces écrites : résultats partiels, traces de la
procédure mise en œuvre…
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Exemples de traces écrites pour le calcul de
857 – 438 (élève de CE2):
a/ Traces de calculs auxiliaires effectués mentalement :
800 – 400 = 400
57 – 30 = 27
27 – 8 = 19
857 – 438 = 419
b/ support de la droite numérique :
+ 420
______|_______________|____|________
438
857
+ 419
858
-1
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Calcul approché:
Tout calcul approché est un calcul réfléchi qui exige
toutes les compétences mises en œuvre dans ce type de
calcul, auxquelles il faut en ajouter d’autres :
- Déterminer l’ordre de grandeur, souvent en
fonction du contexte de la situation dans lequel le calcul est
conduit
- Déterminer, en conséquence, les arrondis
choisis pour les nombres en jeu, ces arrondis étant euxmêmes fonction de l’ordre de grandeur recherché et des
possibilités de calcul mental.
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II/ Addition et soustraction
1/ Introduction
Trouvez différentes procédures pour effectuer mentalement les calculs suivants :
a/ 14 + 19 + 16 +11
b/ 85 + 39
c/ 85 – 39
d/ 94 – 46
e/ 205 – 198
f/ 17,45 + 49,55
g/ 6 - 2,75
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Solutions :
a/ 14 + 19 + 16 +11
On réorganise le calcul proposé :
14 + 19 + 16 + 11 = 14 + 16 + 19 + 11
=
=
Utilisation de la
commutativité de
l’addition puis de
l’associativité de
l’addition
30 + 30
60
b/ 85 + 39
1ère méthode :
85 + 39 = (80 + 5) + (30 + 9)
=
80 + 30 + 5 + 9
=
110 + 14
= 124
Utilisation des propriétés
de l’addition relatives aux
regroupements possibles
des termes et des
connaissances relatives à
la numération
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2ème méthode :
85 + 39 = 85 + (40 - 1)
= (85 + 40) - 1
=
Utilisation de la propriété
de « déplacement des
parenthèses »
125 - 1
= 124
c/ 85 – 39
1ère méthode :
85 - 39 = 85 - (30 + 9)
=
85 - 30 - 9
=
55 - 9
=
46
Les parenthèses ont été
déplacées, entraînant la
modification de certains
signes opératoires
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2ème méthode :
85 - 39 = (85 + 1) - (39 + 1)
=
=
86
46
40
On a ajouté 1 aux deux termes
de la différence, ce qui permet
d’obtenir une différence égale à
la première.
d/ 94 - 46
1ère méthode
94 - 46 = 94 - (50 - 4)
=
94 - 50 + 4
=
44 + 4
=
48
Les parenthèses ont été
déplacées, entraînant la
modification de certains signes
opératoires
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2ème méthode :
94 - 46 = (94 + 4) - (46 + 4)
=
98
=
-
50
48
On a ajouté 4 aux deux termes
de la différence, ce qui permet
d’obtenir une différence égale à
la première.
e/ 205 - 198
1ère méthode
205 - 198 = 205 – 200 + 2
On remplace 198 par 200 – 2.
= 5+2
=
2ème méthode
205 - 198
7
On calcule par sauts le complément de 198 à
205 :
de 198 à 200, puis de 200 à 205
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f/ 17,45 + 49,55
On utilise le fait que 45 + 55 = 100,
donc 0,45 + 0,55 = 1
Puis on calcule 17 + 49, puis, 17 + 49 + 1 d’où 67
g/ 6 – 2,75
1ère méthode
On enlève 2 puis 0,75.
On obtient : 4 – 0,75 = 3,25
2ème méthode
Aller de 2,75 à 3, puis de 3 à 6.
On utilise le fait mémorisé que l’écart
entre 0,75 et 1 est égal à 0,25.
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2/ Apports théoriques
a/ Quelques définitions
Somme et addition
Définition 1 :
La somme de a + b de 2 nombres entiers naturels est définie à partir d’un point de vue
ensembliste : a et b sont respectivement les nombres d’éléments d’un ensemble A et
d’un ensemble B, A et B étant disjoints.
a + b est le nombre d’éléments de l’ensemble constitué par la réunion de A et de B.
On parle d’aspect cardinal de l’addition.
Ensemble A
Nombre d’éléments : a
Ensemble B
Nombre d’éléments : b
Réunion des ensembles A et B
Nombre d’éléments : a + b
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On généralise cette définition au cas de l’addition de
deux nombres décimaux positifs en se situant dans le
contexte des grandeurs (par exemple des longueurs) :
4,8 + 2,75 est alors la mesure en mètres de la
longueur obtenue en mettant bout à bout deux
segments mesurant respectivement 4,8 m et 2,75 m.
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Définition 2 :
On suppose connue la suite ordonnée des nombres naturels.
La somme a + b est égale au nombre atteint en comptant b nombres après a.
On parle d’aspect ordinal de l’addition.
Ainsi, pour trouver
5 + 3 , on part de la suite : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …
. 1 2 3
donc 5 + 3 = 8
Cette définition est également généralisable au cas de l’addition des nombres décimaux positifs :
sur une droite graduée en centièmes, 4,8 + 2,75 est le nombre qui correspond à la graduation atteinte en
partant de la position de 4,8 et en avançant successivement de 2 unités, de 7 dixièmes et de 5 centièmes.
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b/ Différence et soustraction
Définition 1 :
La somme a - b de deux nombres entiers naturels est définie à partir d’un point de vue
ensembliste : a et b sont respectivement les nombres d’éléments d’un ensemble A et
d’un sous- ensemble B de l’ensemble A.
a - b est le nombre d’éléments de l’ensemble complémentaire de B par rapport à A.
On parle d’aspect cardinal de l’addition.
Ensemble B
Nombre d’éléments : b
Ensemble complémentaire de B
dans A
Nombre d’éléments : a - b
Ensemble A
Nombre d’éléments : a
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On généralise cette définition au cas de l’addition de
deux nombres décimaux positifs en considérant, par
exemple, que 7,8 – 2,45 correspond à la mesure en
cm de la longueur d’un segment qu’il faut placer
bout à bout avec un segment mesurant 2,45 cm pour
obtenir un segment mesurant 7,8 cm.
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Définition 2 :
On suppose connue la suite ordonnée des nombres naturels.
La différence a - b est égale au nombre atteint en comptant b nombres avant a.
On parle d’aspect ordinal de l’addition.
Ainsi, pour trouver
8 - 3 , on part de la suite : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …
3 2 1 .
donc 8 - 3 = 5
Comme pour l’addition, cette définition est également généralisable au cas de la différence de deux
nombres décimaux positifs
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Définition 3 :
a – b est défini à partir de l’addition supposée connue.
a étant supérieur ou égal à b, a – b est la solution de l’équation
d’inconnue x :
b+x=a
Il y a donc équivalence entre
x = a – b et b + x = a.
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a/ Propriétés de l’addition et de la soustraction sur les
entiers naturels et les décimaux.
- Associativité de l’addition
Propriété 1 :
Quels que soient les nombres a, b et c : a + (b + c) = (a + b) + c
Exemple :
47 + 23 = 47 + (3 + 20) = (47 + 3) + 20
Remarque : cette propriété ne s’applique pas à la soustraction.
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- Commutativité de l’addition
Propriété 2 :
Quels que soient les nombres a et b : a + b = b + a
Remarque : cette propriété ne s’applique pas à la soustraction.
- Existence d’un élément neutre {0} pour l’addition
Propriété 3 :
Pour tout nombre a : a + 0 = 0 + a = a
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- Autres propriétés
Propriété 4 :
Quels que soient les nombres a, b et c tels que a ≥ b :
a - b = (a + c) – (b + c)
Propriété 5 :
Quels que soient les nombres a, b et c tels que b ≥ c :
a + (b – c) = (a + b) – c
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Propriété 6 :
Quels que soient les nombres a, b et c tels que a ≥ b + c :
a – (b + c) = (a - b) – c
Propriété 7 :
Quels que soient les nombres a, b et c tels que a ≥ b et b ≥ c :
a - (b – c) = (a - b) + c
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3/ techniques opératoires
a/ L’addition
La technique utilisée aujourd’hui donne lieu aux traces écrites suivantes :
1 11
4548
+ 764
5 31 2
Autre technique : méthode rapportée par Baha Eddin (1547-1622)dans son livre
Les Principes du calcul
+
4548
764
12
10
12
4
.
5312
Exercice : Toto additionne 2
nombres entiers avec la
méthode habituelle et trouve
499 sans faire d’erreur.
Combien de retenues a-t-il
effectué ?
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b/ La soustraction
La technique traditionnelle :
61 415 6
- 1218 7 2
35 84
5 - 7 est impossible dans N.
On ajoute 10 dizaines au nombre du
haut, mais pour ne pas modifier le
résultat, on ajoute également 10
dizaines, sous la forme d’une centaine
au nombre du bas.
En réalité, au lieu de calculer la différence entre
« 6 milliers 4 centaines 5 dizaines et 6 unités » et
« 2 milliers 8 centaines 7 dizaines et 2 unités »,
on a calculé la différence de
« 6 milliers 14 centaines 15 dizaines et 6 unités»
et « 3 milliers 9 centaines 7 dizaines et 2 unités»
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La technique dite « par complément » :
6456
- 2872
1 1
3584
On cherche combien il faut additionner à
2 pour avoir 6 : on écrit 4.
On cherche combien il faut additionner à
7 pour avoir 15 : on écrit 8 (et on indique
1 en retenue au niveau des centaines).
On cherche combien il faut additionner à
9 pour avoir 14 : on écrit 5 (et on indique
1 en retenue au niveau des milliers) etc.
Technique : consiste à traiter la soustraction
comme une « addition à trou » :
2872 + …. = 6456
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La technique dite « par emprunt » :
5 13
6 415 6
- 2872
Procédé : calculer séparément les
sommes des unités, des dizaines, des
centaines et des milliers.
3584
Il s’agit de la méthode anglo-saxonne.
Avantage : pas de retenue
Exercice : calculer 1111 – 999 par la méthode par emprunt.
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Cascade additive :
217
a+b
a
b
99
?
118
64
54
15
39
35
25
10
Remarque : on peut trouver un générateur de pyramides additives et multiplicatives avec corrigés à cette
adresse : http://manu.ledaine.free.fr/Pyramides/
Un exercice de calcul mental
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III/ Multiplication et division
1/ Introduction
Trouvez 3 procédés différents pour calculer mentalement 24 x 15 :
1er procédé : 24 x 15 = 24 x (10 + 5) = 24x10 + 24 x 5 = 240 + 120 = 360
2ème procédé : 24 x 15 = (12 x 2) x 15 = 12 x (2 x 15) = 12 x 30 = 360
3ème procédé : 24 x 15 = 24 x (30 : 2) = (24 x 30) : 2 = 720 : 2 = 360
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Voici un procédé proche de celui utilisé par les Egyptiens pour calculer le produit
de 76 par 53 (procédé traduit dans notre système de numération) :
1
2
4
8
16
32
76
152
304
608
1216
2432
53
4028
Utiliser le même procédé pour calculer 154 x 22
1
2
4
8
16
154
308
616
1232
246 4
22
3388
Cette méthode est basée
sur le fait que tout naturel
peut être décomposé en
fonction des puissances de
2, c’est-à-dire comme
somme de nombres
choisis parmi 1; 2; 4; 8;
16…
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2/ La multiplication
a/ Apports théoriques
Produit de 2 entiers naturels
Définition 1 :
a et b étant deux entiers naturels, le produit de a et de b est égal à la somme de b
naturels égaux à a ou encore :
axb=a+a+a+a+a+…+a
b fois le terme a
Définition 2 :
a et b étant deux entiers naturels, le produit de a et de b est le nombre de couples (x ;
y) qui peuvent être réalisés en choisissant x dans un ensemble ayant a éléments et y
dans un ensemble à b éléments.
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Multiplication dans l’ensemble IN des naturels
La multiplication dans l’ensemble IN peut être définie comme l’opération qui à 2
entiers naturels quelconques permet d’associer leur produit, ce qui peut être décrit
dans le langage des fonctions par le schéma suivant :
IN x IN → IN
( a ; b) → a x b
On définit également la multiplication dans d’autres ensembles comme
l’ensemble ID des décimaux, l’ensemble Q des rationnels, l’ensemble IR des
réels…
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- Propriétés de la multiplication
Propriété 1 : distributivité de la multiplication sur l’addition
Quels que soient les nombres a, b et c : a x (b + c) = ab + ac
On a aussi : a x (b - c) = ab - ac
Propriété 2 : associativité de la multiplication
Quels que soient les nombres a, b et c : a x (b x c) = (a x b) x c
On dit que la multiplication est associative.
Propriété 3 : commutativité de la multiplication
Quels que soient les nombres a et b : a x b = b x a (on écrit : ab = ba)
On dit que la multiplication est commutative.
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Propriété 4 : élément neutre pour la multiplication
On dit que 1 est un élément neutre pour la multiplication car :
quel que soit le nombre a : 1 x a = a x 1 = a
Propriété 5 : élément absorbant pour la multiplication
On dit que 1 est un élément absorbant pour la multiplication car :
quel que soit le nombre a : 0 x a = a x 0 = 0
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b/ Technique opératoire sur les naturels ou sur les décimaux
Exemple : calcul de 368 x 207
368
x
207
2576
73600
76176
Résultat du calcul de 368 x 7
Résultat du calcul de 368 x 200
Résultat du calcul de la somme
des 2 résultats précédents
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Cette technique exige l’utilisation de plusieurs types de connaissances :
- Tables de multiplication;
- Connaissances relatives à la numération (décomposition en centaines, dizaines
et unités);
- Distributivité de la multiplication sur l’addition :
368 x 7 = (300+60+8) x 7
= (300 x 7) + (60 x 7) + (8 x 7);
- Associativité de la multiplication : 368 x 200 = 368 x (2 x 100) = (368 x 2) x 100
- Distributivité de la multiplication sur l’addition pour le résultat final :
368 x 207 = 368 x (7 + 200) = (368 x 7) + (368 x 200).
Le calcul posé du produit de deux décimaux se ramène facilement à celui
de deux entiers naturels.
Par exemple :
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Calculons le produit : 36,8 x 2,07.
Ce calcul correspond à celui de :
368/10 x 207/100
Soit encore à (368 x 207) / 1000,
Ce qui explique qu’il suffit de calculer
368 x 207 comme vu précédemment puis
de positionner la virgule pour obtenir le
quotient du résultat par 1000 (donc en
laissant 3 chiffres à droite de la virgule).
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3/ La division euclidienne
a/ Introduction
Calculer le quotient et le reste de la
division euclidienne de 430 par 38.
Peut-on en déduire, sans calculer
de nouvelle division, le quotient et
le reste de la division euclidienne
de 860 par 76 ?
Slide 44
430
3 8
50
12
11
La division euclidienne de 430 par 38 donne pour quotient
11 et pour reste 12.
Ce qui peut être traduit par :
430 = 38 x 11 + 12
Les 2 termes de l’égalité peuvent être multipliés par 2 pour
obtenir une nouvelle égalité :
430 x 2 = (38 x 11 + 12) x 2 = (38 x 11) x 2 + 12 x 2
ou 860 = (76 x 11) + 24 avec 24 < 76.
Le quotient euclidien de 860 par 76 est le même que celui
de 430 par 38, mais que le reste est doublé.
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b/ Apports théoriques
1°) Les deux significations de la division euclidienne
Dans une situation où on fabrique des « paquets » en partageant équitablement des
objets
- la division peut servir à trouver combien il y a d’objets dans chaque « paquet » quand
on connaît le nombre total d’objets et le nombre de « paquets » (division-partition)
- la division peut servir à trouver le nombre de « paquets » quand on connaît le
nombre total d’objets et le nombre d’objets dans chaque « paquet » (division-quotition)
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2°) Ecritures correctes
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3°) Première définition possible de la division euclidienne :
Soit à effectuer la division euclidienne de 108 par 24.
Voici la liste des multiples de 24 :
a
108
q×b
0×24=0
1×24=24
2×24=48
(q+1)×b
4×24 = 96
3×24 = 72
5×24 = 120
r = 108 – 96 = 12
12 est le reste r dans la
division de 108 par 24
4 est le quotient q dans la division
euclidienne de 108 par 24
Effectuer la division euclidienne de a par b c’est trouver l’entier q (appelé
quotient) et l’entier r (appelé reste) tel que :
q b a (q 1)b
et
r a qb
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4°) Deuxième définition possible de la division euclidienne
Soit à effectuer la division euclidienne de 108 par 24.
On peut écrire de plusieurs manières 108 sous la forme 108 = …×24 + …
108 = 0 × 24 + 108
108 = 1 × 24 + 84
108 = 2 × 24 + 60
108 = 3 × 24 + 36
Ce nombre est plus
petit que 24
108 = 4 × 24 + 12
a =q× b + r
4 est le quotient q
12 est le reste r dans la
dans la division
division de 108 par 24
euclidienne de 108 par
24
Effectuer la division euclidienne de a par b c’est trouver l’entier q (appelé
quotient) et l’entier r (appelé reste) tel que :
a qb r et
0r b
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3/ Technique opératoire de la division euclidienne
La technique usuelle :
9163 38
156
241
043
5
La technique employée au
cycle 3 pour l’apprentissage
de la division :
9163
- 76
156
- 152
43
- 38
5
38
241
La division pourrait se poursuivre en « convertissant « les 5 unités qui restent en
50 dixièmes, puis les dixièmes en centièmes…
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Exercice :
Compléter cette division :
6 . 6
6 .
. 6
6
Il s’agit de la
division de 636
par 96 qui a pour
quotient 6 et pour
reste 60.
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IV /calcul sur radicaux
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Exercice :
Est-il vrai que :
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V /Calcul sur les puissances
Si n est nombre entier naturel non nul et a un nombre réel,
an = a x a x a x … x a
n fois
et a0 = 1 (avec a ≠ 0).
On définit également : a-n = 1/an (avec a ≠ 0).
En particulier :
10n s’écrit 1000…000 (avec 0 écrit n fois)
et 10-n s’écrit 0,000…01 (avec 0 écrit n-1 fois après la virgule)
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2°) Propriétés
Soient a et b 2 nombres réels et soient n et p deux entiers :
an
x ap = an+p
(a
x b)n = an x bn
ATTENTION :
Quels que soient les nombres non nuls a et b : (a + b)n ≠ an + bn
et
(a - b)n ≠ an - bn
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Exercice :
Le quart de 1616 est-il égal à 416 ou 44 ou 431 ou 88 ou 164 ?
Solution :
1616 / 4 = (16 x 1615 ) / 4 = 4 x 1615 = 4 x (42 )15 = 4 x 430 = 431
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VI/ Quelques exercices de calcul mental
25 × 124
25 × 4 × 31 = 100 × 31 = 3100
25 × 124 =
100 × 124
4
= 3100
5 × 5 × 124 = 5 × 620 = 3100
Slide 60
0,125 × 3,2
1 × 3 ,2 = 0 ,4
8
125 x 32 = 125 × 8 x 4 = 1000 x 4 = 4000
donc 0,125 × 3,2 = 0,4
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Je pense à un nombre. Je multiplie ce nombre par 6.
J’ajoute 2 au résultat. Je multiplie le résultat
précédent par 3. Je trouve 132. A quel nombre ai-je
pensé ?
7
×6
:6
42
+2
-2
44
×3
:3
132
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Derniers exercices :
1/ Choisir des nombres impairs. Divisez leur carré par 8.
Quel est le reste ?
Cette propriété est-elle vraie pour tout nombre entier ?
2/ Dans le « Journal d’un bourgeois sous la Révolution »,
on découvre que le 1er janvier 1789 est un jeudi.
Retrouver quel jour de la semaine a eu lieu la prise de la
Bastille. Justifier cette réponse.
Slide 63
Bibliographie :
- Mathématiques Tome 2, Roland Charnay & Michel Mante,
HATIER CONCOURS 2008
- Quelques extraits du diaporama de D. Pernoux,
formatrice à l’I.U.F.M. d’Alsace
Slide 64
Cours sur les quatre opérations
FIN
David Rolland, IUFM de la Polynésie française
David Rolland, formateur en Mathématiques
Slide 2
Plan du cours
- Préambule
- Classification et analyse des différents modes
de calcul
- Addition et soustraction
- Multiplication et division
- Calculs sur les radicaux
- Calculs sur les puissances
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Préambule :
Indiquez comment vous effectueriez ces 5 calculs suivant :
- 38 x 25
- 60 + 16
- 38 x 0,25
- 326,25 x 82,75
- 2332 - 568
Slide 4
I / Classification des différents modes de calcul
Remarque préalable : calculer nécessite la mémorisation de résultats et de techniques.
Calcul automatisé : fait appel
à un résultat déjà mémorisé
et se limite à exécuter un
algorithme
Calcul écrit
Calcul mental
Calcul instrumenté
(on utilise une
calculatrice ou un
tableur)
Exemple : ayant à faire une
soustraction, on utilise
toujours la même technique
de calcul posé.
Calcul réfléchi ou raisonné :
ayant à faire un certain type de
calcul, on utilise une procédure
dépendant des nombres en jeu.
Exemples :
64 - 5 = 64 - 4 - 1 = 60 - 1 = 59
64 - 59 = 64 - 60 + 1 = 5
Exemple : ayant à diviser par
25, mentalement, on
multiplie par 4 et on divise
par 100.
Exemple :
Exemple : ayant à calculer le
produit de deux nombres,
on utilise la touche × de la
calculatrice.
Exemple : pour calculer la valeur
exacte de 128 000 618 × 514 avec une
calculatrice, on effectue à la
calculatrice les calculs 128 × 514 et
618 x 514.
12×25 = 3×4 ×25
= 3×100 = 300
Slide 5
1/ Caractéristiques propres au calcul automatisé et au calcul réfléchi
Calcul automatisé
Calcul réfléchi
Le calcul posé met en œuvre des propriétés
des opérations, même si ces propriétés ne
sont pas nécessairement toujours visibles pour
le calculateur.
Le calcul réfléchi s’appuie sur des relations
entre nombres et sur des propriétés des
opérations que le calculateur décide de
mobiliser.
Le calcul automatisé est impersonnel : il est
conduit de la même façon par tous les
individus.
Le calcul réfléchi est très personnalisé. Le
même calcul peut être réalisé de plusieurs
manières selon les individus, notamment en
fonction de leurs connaissances sur les
nombres et les opérations.
Le calcul automatisé nécessite peu d’effort, car
il est exécuté par réflexe : il peut être réalisé
rapidement.
Pour un calcul réfléchi, la charge mentale de
travail peut être importante… ainsi que le
temps nécessaire pour répondre.
Le calcul automatisé s’apparente à un exercice
routinier : il suffit d’exécuter une procédure
connue.
Le calcul réfléchi s’apparente davantage à la
résolution de problèmes : il faut d’abord
imaginer une procédure possible, puis la
mener à son terme.
Slide 6
2/ Analyse des différents modes de calcul
a/ Résultats et procédures mémorisés.
Pour exécuter un calcul sans machine, il est indispensable de pouvoir disposer
immédiatement de certains résultats ou de certaines procédures.
Citons quelques facteurs favorables à la mémorisation :
-On mémorise mieux ce qui a du sens : mieux vaut donc travailler sur le sens des
opérations que sur la mémorisation des tables.
-Les conditions d’apprentissage retentissent sur les conditions de récupération en
mémoire (ex : réciter le début de la table de 8 pour retrouver le résultat de 8x7).
-Certains résultats sont plus faciles à mémoriser et constituent des points d’appui
pour la suite de la mémorisation (ex : les doubles, la table de 5…).
-La connaissance de relations entre les résultats à mémoriser ou de propriétés
réduit le coût de la mémorisation.
-La répétition est un facteur qui n’est pas à négliger, surtout si elle s’inscrit dans un
contexte motivant (ex : dans le cadre des jeux)
Slide 7
b/ Algorithmes opératoires et calculatrices.
-Les algorithmes écrits de calcul ont longtemps
constitué un objectif primordial de l’école primaire.
-La diffusion de nouveaux instruments de calculs
(calculatrice, ordinateur) en réduit l’usage social.
-L’école ne peut pas rester à l’écart de ce
phénomène.
-L’apprentissage des techniques opératoires demeure
un objectif important de l’école primaire, mais ses
finalités sont en partie à reconsidérer.
Slide 8
c/ Calculatrices et tableurs.
- L’apprentissage d’une utilisation intelligente des calculatrices est prévue
dès le cycle 2 de l’école primaire et l’initiation au tableur figure au
programme du collège.
- Pour les calculatrices, vous devez être capables d’utiliser une calculatrice
d’usage courant et de maîtriser certaines fonctionnalités comme la mémoire
(touches [M+], [M-], [MR]…).
- Reportez vous au document d’accompagnement des programmes de
mathématiques de l’école primaire « Utiliser les calculatrices en classe »
disponible sur le site internet : http://www.cndp.fr/ecole/.
- Exemple d’utilisation des calculatrices en classe : dans les problèmes
complexes, l’effort de l’élève devrait être en priorité centré sur le
raisonnement. Si la charge mentale de travail due aux calculs est trop
importante, certains élèves peuvent perdre le fil de leur raisonnement ou
même renoncer à utiliser tel calcul, jugé par eux comme trop difficile.
La mise à disposition de calculatrices permet de surmonter cette
difficulté.
Slide 9
d/ Divers aspects du calcul réfléchi.
Calcul réfléchi exact :
Il fait appel à 3 types de connaissances :
- des résultats et procédures de base stockés en mémoire
: tables, relations entre certains nombres, procédures pour certains calculs
comme « multiplier par 10 »…
- des connaissances relatives à la numération écrite ou
orale
- des connaissances relatives aux propriétés des
opérations (ex : associativité de l’addition et de la multiplication …).
Ce type de calcul peut être conduit de façon purement mentale mais peut
aussi être accompagné de traces écrites : résultats partiels, traces de la
procédure mise en œuvre…
Slide 10
Exemples de traces écrites pour le calcul de
857 – 438 (élève de CE2):
a/ Traces de calculs auxiliaires effectués mentalement :
800 – 400 = 400
57 – 30 = 27
27 – 8 = 19
857 – 438 = 419
b/ support de la droite numérique :
+ 420
______|_______________|____|________
438
857
+ 419
858
-1
Slide 11
Calcul approché:
Tout calcul approché est un calcul réfléchi qui exige
toutes les compétences mises en œuvre dans ce type de
calcul, auxquelles il faut en ajouter d’autres :
- Déterminer l’ordre de grandeur, souvent en
fonction du contexte de la situation dans lequel le calcul est
conduit
- Déterminer, en conséquence, les arrondis
choisis pour les nombres en jeu, ces arrondis étant euxmêmes fonction de l’ordre de grandeur recherché et des
possibilités de calcul mental.
Slide 12
II/ Addition et soustraction
1/ Introduction
Trouvez différentes procédures pour effectuer mentalement les calculs suivants :
a/ 14 + 19 + 16 +11
b/ 85 + 39
c/ 85 – 39
d/ 94 – 46
e/ 205 – 198
f/ 17,45 + 49,55
g/ 6 - 2,75
Slide 13
Solutions :
a/ 14 + 19 + 16 +11
On réorganise le calcul proposé :
14 + 19 + 16 + 11 = 14 + 16 + 19 + 11
=
=
Utilisation de la
commutativité de
l’addition puis de
l’associativité de
l’addition
30 + 30
60
b/ 85 + 39
1ère méthode :
85 + 39 = (80 + 5) + (30 + 9)
=
80 + 30 + 5 + 9
=
110 + 14
= 124
Utilisation des propriétés
de l’addition relatives aux
regroupements possibles
des termes et des
connaissances relatives à
la numération
Slide 14
2ème méthode :
85 + 39 = 85 + (40 - 1)
= (85 + 40) - 1
=
Utilisation de la propriété
de « déplacement des
parenthèses »
125 - 1
= 124
c/ 85 – 39
1ère méthode :
85 - 39 = 85 - (30 + 9)
=
85 - 30 - 9
=
55 - 9
=
46
Les parenthèses ont été
déplacées, entraînant la
modification de certains
signes opératoires
Slide 15
2ème méthode :
85 - 39 = (85 + 1) - (39 + 1)
=
=
86
46
40
On a ajouté 1 aux deux termes
de la différence, ce qui permet
d’obtenir une différence égale à
la première.
d/ 94 - 46
1ère méthode
94 - 46 = 94 - (50 - 4)
=
94 - 50 + 4
=
44 + 4
=
48
Les parenthèses ont été
déplacées, entraînant la
modification de certains signes
opératoires
Slide 16
2ème méthode :
94 - 46 = (94 + 4) - (46 + 4)
=
98
=
-
50
48
On a ajouté 4 aux deux termes
de la différence, ce qui permet
d’obtenir une différence égale à
la première.
e/ 205 - 198
1ère méthode
205 - 198 = 205 – 200 + 2
On remplace 198 par 200 – 2.
= 5+2
=
2ème méthode
205 - 198
7
On calcule par sauts le complément de 198 à
205 :
de 198 à 200, puis de 200 à 205
Slide 17
f/ 17,45 + 49,55
On utilise le fait que 45 + 55 = 100,
donc 0,45 + 0,55 = 1
Puis on calcule 17 + 49, puis, 17 + 49 + 1 d’où 67
g/ 6 – 2,75
1ère méthode
On enlève 2 puis 0,75.
On obtient : 4 – 0,75 = 3,25
2ème méthode
Aller de 2,75 à 3, puis de 3 à 6.
On utilise le fait mémorisé que l’écart
entre 0,75 et 1 est égal à 0,25.
Slide 18
2/ Apports théoriques
a/ Quelques définitions
Somme et addition
Définition 1 :
La somme de a + b de 2 nombres entiers naturels est définie à partir d’un point de vue
ensembliste : a et b sont respectivement les nombres d’éléments d’un ensemble A et
d’un ensemble B, A et B étant disjoints.
a + b est le nombre d’éléments de l’ensemble constitué par la réunion de A et de B.
On parle d’aspect cardinal de l’addition.
Ensemble A
Nombre d’éléments : a
Ensemble B
Nombre d’éléments : b
Réunion des ensembles A et B
Nombre d’éléments : a + b
Slide 19
On généralise cette définition au cas de l’addition de
deux nombres décimaux positifs en se situant dans le
contexte des grandeurs (par exemple des longueurs) :
4,8 + 2,75 est alors la mesure en mètres de la
longueur obtenue en mettant bout à bout deux
segments mesurant respectivement 4,8 m et 2,75 m.
Slide 20
Définition 2 :
On suppose connue la suite ordonnée des nombres naturels.
La somme a + b est égale au nombre atteint en comptant b nombres après a.
On parle d’aspect ordinal de l’addition.
Ainsi, pour trouver
5 + 3 , on part de la suite : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …
. 1 2 3
donc 5 + 3 = 8
Cette définition est également généralisable au cas de l’addition des nombres décimaux positifs :
sur une droite graduée en centièmes, 4,8 + 2,75 est le nombre qui correspond à la graduation atteinte en
partant de la position de 4,8 et en avançant successivement de 2 unités, de 7 dixièmes et de 5 centièmes.
Slide 21
b/ Différence et soustraction
Définition 1 :
La somme a - b de deux nombres entiers naturels est définie à partir d’un point de vue
ensembliste : a et b sont respectivement les nombres d’éléments d’un ensemble A et
d’un sous- ensemble B de l’ensemble A.
a - b est le nombre d’éléments de l’ensemble complémentaire de B par rapport à A.
On parle d’aspect cardinal de l’addition.
Ensemble B
Nombre d’éléments : b
Ensemble complémentaire de B
dans A
Nombre d’éléments : a - b
Ensemble A
Nombre d’éléments : a
Slide 22
On généralise cette définition au cas de l’addition de
deux nombres décimaux positifs en considérant, par
exemple, que 7,8 – 2,45 correspond à la mesure en
cm de la longueur d’un segment qu’il faut placer
bout à bout avec un segment mesurant 2,45 cm pour
obtenir un segment mesurant 7,8 cm.
Slide 23
Définition 2 :
On suppose connue la suite ordonnée des nombres naturels.
La différence a - b est égale au nombre atteint en comptant b nombres avant a.
On parle d’aspect ordinal de l’addition.
Ainsi, pour trouver
8 - 3 , on part de la suite : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …
3 2 1 .
donc 8 - 3 = 5
Comme pour l’addition, cette définition est également généralisable au cas de la différence de deux
nombres décimaux positifs
Slide 24
Définition 3 :
a – b est défini à partir de l’addition supposée connue.
a étant supérieur ou égal à b, a – b est la solution de l’équation
d’inconnue x :
b+x=a
Il y a donc équivalence entre
x = a – b et b + x = a.
Slide 25
a/ Propriétés de l’addition et de la soustraction sur les
entiers naturels et les décimaux.
- Associativité de l’addition
Propriété 1 :
Quels que soient les nombres a, b et c : a + (b + c) = (a + b) + c
Exemple :
47 + 23 = 47 + (3 + 20) = (47 + 3) + 20
Remarque : cette propriété ne s’applique pas à la soustraction.
Slide 26
- Commutativité de l’addition
Propriété 2 :
Quels que soient les nombres a et b : a + b = b + a
Remarque : cette propriété ne s’applique pas à la soustraction.
- Existence d’un élément neutre {0} pour l’addition
Propriété 3 :
Pour tout nombre a : a + 0 = 0 + a = a
Slide 27
- Autres propriétés
Propriété 4 :
Quels que soient les nombres a, b et c tels que a ≥ b :
a - b = (a + c) – (b + c)
Propriété 5 :
Quels que soient les nombres a, b et c tels que b ≥ c :
a + (b – c) = (a + b) – c
Slide 28
Propriété 6 :
Quels que soient les nombres a, b et c tels que a ≥ b + c :
a – (b + c) = (a - b) – c
Propriété 7 :
Quels que soient les nombres a, b et c tels que a ≥ b et b ≥ c :
a - (b – c) = (a - b) + c
Slide 29
3/ techniques opératoires
a/ L’addition
La technique utilisée aujourd’hui donne lieu aux traces écrites suivantes :
1 11
4548
+ 764
5 31 2
Autre technique : méthode rapportée par Baha Eddin (1547-1622)dans son livre
Les Principes du calcul
+
4548
764
12
10
12
4
.
5312
Exercice : Toto additionne 2
nombres entiers avec la
méthode habituelle et trouve
499 sans faire d’erreur.
Combien de retenues a-t-il
effectué ?
Slide 30
b/ La soustraction
La technique traditionnelle :
61 415 6
- 1218 7 2
35 84
5 - 7 est impossible dans N.
On ajoute 10 dizaines au nombre du
haut, mais pour ne pas modifier le
résultat, on ajoute également 10
dizaines, sous la forme d’une centaine
au nombre du bas.
En réalité, au lieu de calculer la différence entre
« 6 milliers 4 centaines 5 dizaines et 6 unités » et
« 2 milliers 8 centaines 7 dizaines et 2 unités »,
on a calculé la différence de
« 6 milliers 14 centaines 15 dizaines et 6 unités»
et « 3 milliers 9 centaines 7 dizaines et 2 unités»
Slide 31
La technique dite « par complément » :
6456
- 2872
1 1
3584
On cherche combien il faut additionner à
2 pour avoir 6 : on écrit 4.
On cherche combien il faut additionner à
7 pour avoir 15 : on écrit 8 (et on indique
1 en retenue au niveau des centaines).
On cherche combien il faut additionner à
9 pour avoir 14 : on écrit 5 (et on indique
1 en retenue au niveau des milliers) etc.
Technique : consiste à traiter la soustraction
comme une « addition à trou » :
2872 + …. = 6456
Slide 32
La technique dite « par emprunt » :
5 13
6 415 6
- 2872
Procédé : calculer séparément les
sommes des unités, des dizaines, des
centaines et des milliers.
3584
Il s’agit de la méthode anglo-saxonne.
Avantage : pas de retenue
Exercice : calculer 1111 – 999 par la méthode par emprunt.
Slide 33
Cascade additive :
217
a+b
a
b
99
?
118
64
54
15
39
35
25
10
Remarque : on peut trouver un générateur de pyramides additives et multiplicatives avec corrigés à cette
adresse : http://manu.ledaine.free.fr/Pyramides/
Un exercice de calcul mental
Slide 34
III/ Multiplication et division
1/ Introduction
Trouvez 3 procédés différents pour calculer mentalement 24 x 15 :
1er procédé : 24 x 15 = 24 x (10 + 5) = 24x10 + 24 x 5 = 240 + 120 = 360
2ème procédé : 24 x 15 = (12 x 2) x 15 = 12 x (2 x 15) = 12 x 30 = 360
3ème procédé : 24 x 15 = 24 x (30 : 2) = (24 x 30) : 2 = 720 : 2 = 360
Slide 35
Voici un procédé proche de celui utilisé par les Egyptiens pour calculer le produit
de 76 par 53 (procédé traduit dans notre système de numération) :
1
2
4
8
16
32
76
152
304
608
1216
2432
53
4028
Utiliser le même procédé pour calculer 154 x 22
1
2
4
8
16
154
308
616
1232
246 4
22
3388
Cette méthode est basée
sur le fait que tout naturel
peut être décomposé en
fonction des puissances de
2, c’est-à-dire comme
somme de nombres
choisis parmi 1; 2; 4; 8;
16…
Slide 36
2/ La multiplication
a/ Apports théoriques
Produit de 2 entiers naturels
Définition 1 :
a et b étant deux entiers naturels, le produit de a et de b est égal à la somme de b
naturels égaux à a ou encore :
axb=a+a+a+a+a+…+a
b fois le terme a
Définition 2 :
a et b étant deux entiers naturels, le produit de a et de b est le nombre de couples (x ;
y) qui peuvent être réalisés en choisissant x dans un ensemble ayant a éléments et y
dans un ensemble à b éléments.
Slide 37
Multiplication dans l’ensemble IN des naturels
La multiplication dans l’ensemble IN peut être définie comme l’opération qui à 2
entiers naturels quelconques permet d’associer leur produit, ce qui peut être décrit
dans le langage des fonctions par le schéma suivant :
IN x IN → IN
( a ; b) → a x b
On définit également la multiplication dans d’autres ensembles comme
l’ensemble ID des décimaux, l’ensemble Q des rationnels, l’ensemble IR des
réels…
Slide 38
- Propriétés de la multiplication
Propriété 1 : distributivité de la multiplication sur l’addition
Quels que soient les nombres a, b et c : a x (b + c) = ab + ac
On a aussi : a x (b - c) = ab - ac
Propriété 2 : associativité de la multiplication
Quels que soient les nombres a, b et c : a x (b x c) = (a x b) x c
On dit que la multiplication est associative.
Propriété 3 : commutativité de la multiplication
Quels que soient les nombres a et b : a x b = b x a (on écrit : ab = ba)
On dit que la multiplication est commutative.
Slide 39
Propriété 4 : élément neutre pour la multiplication
On dit que 1 est un élément neutre pour la multiplication car :
quel que soit le nombre a : 1 x a = a x 1 = a
Propriété 5 : élément absorbant pour la multiplication
On dit que 1 est un élément absorbant pour la multiplication car :
quel que soit le nombre a : 0 x a = a x 0 = 0
Slide 40
b/ Technique opératoire sur les naturels ou sur les décimaux
Exemple : calcul de 368 x 207
368
x
207
2576
73600
76176
Résultat du calcul de 368 x 7
Résultat du calcul de 368 x 200
Résultat du calcul de la somme
des 2 résultats précédents
Slide 41
Cette technique exige l’utilisation de plusieurs types de connaissances :
- Tables de multiplication;
- Connaissances relatives à la numération (décomposition en centaines, dizaines
et unités);
- Distributivité de la multiplication sur l’addition :
368 x 7 = (300+60+8) x 7
= (300 x 7) + (60 x 7) + (8 x 7);
- Associativité de la multiplication : 368 x 200 = 368 x (2 x 100) = (368 x 2) x 100
- Distributivité de la multiplication sur l’addition pour le résultat final :
368 x 207 = 368 x (7 + 200) = (368 x 7) + (368 x 200).
Le calcul posé du produit de deux décimaux se ramène facilement à celui
de deux entiers naturels.
Par exemple :
Slide 42
Calculons le produit : 36,8 x 2,07.
Ce calcul correspond à celui de :
368/10 x 207/100
Soit encore à (368 x 207) / 1000,
Ce qui explique qu’il suffit de calculer
368 x 207 comme vu précédemment puis
de positionner la virgule pour obtenir le
quotient du résultat par 1000 (donc en
laissant 3 chiffres à droite de la virgule).
Slide 43
3/ La division euclidienne
a/ Introduction
Calculer le quotient et le reste de la
division euclidienne de 430 par 38.
Peut-on en déduire, sans calculer
de nouvelle division, le quotient et
le reste de la division euclidienne
de 860 par 76 ?
Slide 44
430
3 8
50
12
11
La division euclidienne de 430 par 38 donne pour quotient
11 et pour reste 12.
Ce qui peut être traduit par :
430 = 38 x 11 + 12
Les 2 termes de l’égalité peuvent être multipliés par 2 pour
obtenir une nouvelle égalité :
430 x 2 = (38 x 11 + 12) x 2 = (38 x 11) x 2 + 12 x 2
ou 860 = (76 x 11) + 24 avec 24 < 76.
Le quotient euclidien de 860 par 76 est le même que celui
de 430 par 38, mais que le reste est doublé.
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b/ Apports théoriques
1°) Les deux significations de la division euclidienne
Dans une situation où on fabrique des « paquets » en partageant équitablement des
objets
- la division peut servir à trouver combien il y a d’objets dans chaque « paquet » quand
on connaît le nombre total d’objets et le nombre de « paquets » (division-partition)
- la division peut servir à trouver le nombre de « paquets » quand on connaît le
nombre total d’objets et le nombre d’objets dans chaque « paquet » (division-quotition)
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2°) Ecritures correctes
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3°) Première définition possible de la division euclidienne :
Soit à effectuer la division euclidienne de 108 par 24.
Voici la liste des multiples de 24 :
a
108
q×b
0×24=0
1×24=24
2×24=48
(q+1)×b
4×24 = 96
3×24 = 72
5×24 = 120
r = 108 – 96 = 12
12 est le reste r dans la
division de 108 par 24
4 est le quotient q dans la division
euclidienne de 108 par 24
Effectuer la division euclidienne de a par b c’est trouver l’entier q (appelé
quotient) et l’entier r (appelé reste) tel que :
q b a (q 1)b
et
r a qb
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4°) Deuxième définition possible de la division euclidienne
Soit à effectuer la division euclidienne de 108 par 24.
On peut écrire de plusieurs manières 108 sous la forme 108 = …×24 + …
108 = 0 × 24 + 108
108 = 1 × 24 + 84
108 = 2 × 24 + 60
108 = 3 × 24 + 36
Ce nombre est plus
petit que 24
108 = 4 × 24 + 12
a =q× b + r
4 est le quotient q
12 est le reste r dans la
dans la division
division de 108 par 24
euclidienne de 108 par
24
Effectuer la division euclidienne de a par b c’est trouver l’entier q (appelé
quotient) et l’entier r (appelé reste) tel que :
a qb r et
0r b
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3/ Technique opératoire de la division euclidienne
La technique usuelle :
9163 38
156
241
043
5
La technique employée au
cycle 3 pour l’apprentissage
de la division :
9163
- 76
156
- 152
43
- 38
5
38
241
La division pourrait se poursuivre en « convertissant « les 5 unités qui restent en
50 dixièmes, puis les dixièmes en centièmes…
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Exercice :
Compléter cette division :
6 . 6
6 .
. 6
6
Il s’agit de la
division de 636
par 96 qui a pour
quotient 6 et pour
reste 60.
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IV /calcul sur radicaux
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Exercice :
Est-il vrai que :
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V /Calcul sur les puissances
Si n est nombre entier naturel non nul et a un nombre réel,
an = a x a x a x … x a
n fois
et a0 = 1 (avec a ≠ 0).
On définit également : a-n = 1/an (avec a ≠ 0).
En particulier :
10n s’écrit 1000…000 (avec 0 écrit n fois)
et 10-n s’écrit 0,000…01 (avec 0 écrit n-1 fois après la virgule)
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2°) Propriétés
Soient a et b 2 nombres réels et soient n et p deux entiers :
an
x ap = an+p
(a
x b)n = an x bn
ATTENTION :
Quels que soient les nombres non nuls a et b : (a + b)n ≠ an + bn
et
(a - b)n ≠ an - bn
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Exercice :
Le quart de 1616 est-il égal à 416 ou 44 ou 431 ou 88 ou 164 ?
Solution :
1616 / 4 = (16 x 1615 ) / 4 = 4 x 1615 = 4 x (42 )15 = 4 x 430 = 431
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VI/ Quelques exercices de calcul mental
25 × 124
25 × 4 × 31 = 100 × 31 = 3100
25 × 124 =
100 × 124
4
= 3100
5 × 5 × 124 = 5 × 620 = 3100
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0,125 × 3,2
1 × 3 ,2 = 0 ,4
8
125 x 32 = 125 × 8 x 4 = 1000 x 4 = 4000
donc 0,125 × 3,2 = 0,4
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Je pense à un nombre. Je multiplie ce nombre par 6.
J’ajoute 2 au résultat. Je multiplie le résultat
précédent par 3. Je trouve 132. A quel nombre ai-je
pensé ?
7
×6
:6
42
+2
-2
44
×3
:3
132
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Derniers exercices :
1/ Choisir des nombres impairs. Divisez leur carré par 8.
Quel est le reste ?
Cette propriété est-elle vraie pour tout nombre entier ?
2/ Dans le « Journal d’un bourgeois sous la Révolution »,
on découvre que le 1er janvier 1789 est un jeudi.
Retrouver quel jour de la semaine a eu lieu la prise de la
Bastille. Justifier cette réponse.
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Bibliographie :
- Mathématiques Tome 2, Roland Charnay & Michel Mante,
HATIER CONCOURS 2008
- Quelques extraits du diaporama de D. Pernoux,
formatrice à l’I.U.F.M. d’Alsace
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Cours sur les quatre opérations
FIN
David Rolland, IUFM de la Polynésie française