Exercice n°1 (4 points) Soient x et y deux entiers naturels tels que

x

≡ 7 [ 9 ] et

y

≡ 4 [ ] . Déterminer, en justifiant, le reste dans la division euclidienne par 9 de: a.

x

2 +

y

2 b. 2015

x

2 − 2014

y

2 Exercice n°2 (3 points) Démontrer que, pour tout entier naturel n, 7

n

Exercice n°3 (4 points) − 2

n

est divisible par 5. a. Quel est le reste de la division euclidienne de 2 5 par 8 ? b. Déterminer, en justifiant, le reste de la division euclidienne de 87 5 par 8. c. En déduire le reste de la division euclidienne de 87 965 par 8. Exercice n°4 (4 points) VRAI ou FAUX ? Justifier par une démonstration ou à l'aide d'un contre-exemple. a. si

x

≡ 3 [ 7 ] alors

x

≡ 3 [ 56 ] b. si

x

≡ 3 [ 56 ] alors

x

≡ 3 [ 7 ] Exercice n°5 (5 points) 1. Compléter le tableau de congruences modulo 5:

x

x

2 ≡ ≡ 0 b. Que peut-on en déduire pour l'équation (E)? 1 2 3 4 2. On considère l'équation (E): a. Montrer que, si le couple 6 ( )

x

2 − 5

y

2 = 7 dont les inconnues x et y sont des entiers relatifs. est solution de (E), alors

x

2 ≡ 2 [ 5 ] .

(2 points) A justifier

Fini les chaussettes qui tombent ! Carla, 18 ans, a inventé la chaussette à bretelles. Un véritable raz de marée. Elle a rapidement fait fortune. Pour compter ses économies, elle doit multiplier 327582 par 635915. Son ordinateur lui donne pour résultat 20831?307530 mais, à cause d’un virus, le sixième chiffre, représenté ici par un point d’interrogation, est illisible. Quel est ce sixième chiffre ? (calculatrice et multiplication interdites !) Spécialité – Vendredi 21/11/2014 Page 1