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1.
SOS MATH 2de – CALCUL ALGÉBRIQUE - Fiche 14
Je pose x la fortune en livres laissée par le père.
x
- le premier fils prit ‒ 3 000 ;
2
x
- le deuxième fils prit ‒ 1 000 ;
3
x
- le troisième fils prit ;
4
x
- le quatrième fils prit + 600 .
5
→ Je pose x la quantité cherchée.
→ J'exprime en fonction de x la liste des données.
Alors :





x
x
x
x
x = ( ‒ 3 000 ) + ( ‒ 1 000 ) + ( ) + ( + 600 )
2
3
4
5
→ J'écris l'équation reliant les différentes données. Ici :
x x x x
x ‒ ‒ ‒ ‒ = ‒3 000 ‒ 1 000 + 600
2 3 4 5
60x 30x 20x 15x 12x
‒
‒
‒
‒
= ‒3 400
60 60 60 60 60
‒17x
= ‒3 400
60
60
x = ‒3 400 × ( ‒
)
17
x = 12 000
→ Je trouve la solution.
Je vérifie au brouillon que
2.
Fortune = Part du 1er + Part du 2ème + Part du 3ème + Part du 4ème
→ Je transforme par équivalences.
12 ooo
12 ooo
12 ooo 12 ooo
– 3 ooo +
– 1 ooo +
+
+ 6oo
2
3
4
5
est bien égal à 12 ooo .
Donc, la fortune laissée par le père était de 12 000 livres.
→ Je conclus de manière concrète.
Je pose n le premier des trois entiers.
→ Je pose n l'un des trois entiers cherchés.
→ J'exprime en fonction de n la liste des données.
- le deuxième est n + 2 ;
- le troisième est n + 4 .
Alors :
n + ( n + 2 ) + ( n + 4 ) = 411
 3n + 6 = 411
 3n = 411 ‒ 6
405
 n =
3
 n = 135
→ J'écris l'équation reliant les différentes données.
→ Je trouve le premier entier.
Je vérifie au brouillon que 135 + 137 + 139 est bien égal à 411 .
3.
Donc, les trois entiers sont 135 ; 137 et 139 .
→ Je conclus.
Je pose c la longueur du côté du carré.
→ Je choisis une inconnue plus pratique que l'aire.
→ J'exprime en fonction de c la liste des données.
- l'aire de départ est c 2 ;
- le côté après augmentation serait c + 3 ;
- l'aire après augmentation serait ( c + 3 )2 ;
Alors :




( c + 3 )2 = c 2 + 45
c 2 + 6c + 9 = c 2 + 45
6c + 9 = 45
6c = 45 ‒ 9
36
c =
6
 c = 6
Donc, le côté du carré est 6 ,
et donc, l'aire de ce carré est 36 .
→ J'écris l'équation reliant les différentes données.
→ Je trouve le côté.
→ Je conclus.
4.
a)
0,003 ( x – 40 ) ( x + 100 ) = 0,003 ( x2 + 100x – 40x ‒ 4 000 )
= 0,003 ( x2 + 60x ‒ 4 000 )
= 0,003x2 + 0,18x ‒ 12
b)
Pour V = 100 :
D = 8 + 0,18 V + 0,003 V ²
D = 8 + 0,18×100 + 0,003×1002
D = 56
Donc, la distance de sécurité séparant deux véhicules roulant à 100 km.h −1 est de 56 m.
c)




20 = 8 + 0,18 V + 0,003 V ²
0,003 V ² + 0,18 V ‒ 12 = 0
0,003 ( V – 40 ) ( V + 100 ) = 0 , d'après la question a)
V – 40 = 0 ou V + 100 = 0
V = 40 ou V = ‒100
Or, une vitesse ne peut être négative.
Donc, V = 40
Donc, la vitesse maximale de deux véhicules voulant une distance de sécurité de 12 m est de 40 km.h‒1.
5.
Je pose x le nombre cherché.
Alors :
25 ‒ x
= x
9‒x
9‒x=0  x=9
Donc, le domaine de résolubilité est  \ { 9 } .
Dans  \ { 9 } :






25 ‒ x
= x
9‒x
25 ‒ x = ( 9 ‒ x ) × x
25 ‒ x = 9x ‒ x2
x2 ‒ 10x + 25 = 0
( x ‒ 5 )2 = 0
x‒5 = 0
x = 5
Je vérifie au brouillon que
25 – 5
9-5
est bien égal à 5 .
Donc, le nombre à soustraire est 5 .
6.
a)
Je pose n le plus petit des deux entiers impairs.
- le deuxième entier impair est n + 2 .
Alors :
n ( n + 2 ) = 399
 n2 + 2n ‒ 399 = 0
C'est une équation du 2d degré.
Mais on ne peut pas factoriser n2 + 2n ‒ 399 , ni avec un facteur commun, ni avec une identité remarquable.
Donc, on ne peut pas trouver la réponse.
b)
Je pose n le plus grand des deux entiers impairs.
- le premier entier impair est n ‒ 2 .
Alors :
( n ‒ 2 ) n = 399
 n2 ‒ 2n ‒ 399 = 0
C'est une équation du 2d degré.
Mais on ne peut pas factoriser n2 ‒ 2n ‒ 399 , ni avec un facteur commun, ni avec une identité remarquable.
Donc, on ne peut pas trouver la réponse.
c)
On voit dans le tableau que 19×21 = 399 .
Donc, les deux entiers sont 19 et 21 .
Vérifions l'équation du a) avec la valeur 19 :
192 + 2×19 ‒ 399 = 361 + 38 – 399 = 0 .
Vérifions l'équation du b) avec la valeur 21 :
212 ‒ 2×21 ‒ 399 = 441 ‒ 42 – 399 = 0 .
d)
Je pose n l’entier pair entre les deux entiers impairs.
- le premier entier impair est n ‒ 1 .
- le premier entier impair est n + 1 .
Alors :




( n ‒ 1 ) ( n + 1 ) = 399
n ² − 1 = 399
n ² = 400
n = 400 ou n = − 400
n = 20 ou n = −20
Je vérifie au brouillon que 19×21 et ( -19 )×( -21 ) sont bien égaux à 399 .
Donc, les deux entiers sont 19 et 21 , ou alors ‒19 et ‒21 .
On confirme la réponse trouvée au c) mais on trouve une autre réponse que nous n'avions pas trouvée.
Donc, la fortune laissée par le père était de 12 000 livres.
7.
→ Je conclus de manière concrète.
Je pose n le deuxième des trois entiers.
- le premier est n ‒ 1 ;
- le troisième est n + 1 .
Alors :







( n ‒ 1 )2 + n2 + ( n + 1 )2 = 4 109
n2 ‒ 2n + 1 + n2 + n2 + 2n + 1 = 4 109
3n2 + 2 = 4 109
3n2 = 4 107
4 107
n2 =
3
n2 = 1 369
n = 1 369 ou n = ‒ 1 369
n = 37 ou n = ‒37
Je vérifie au brouillon que les sommes 362 + 372 + 382 et ( -38 )2 + ( -37)2 + ( -36 )2 est bien égales à 4 1o9 .
Donc, les trois entiers sont 36 ; 37 et 38 ou alors ‒38 ; ‒37 et ‒36 .