Transcript Remédiation en mathématique Retour 3 : Equations, inéquations

Remédiation en mathématique
Retour 3 : Equations, inéquations, problèmes
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Premier et second degré
1. Résoudre les équations suivantes (on cherche x, y, t ∈ R, et A est un nombre) :
1) 6x + 2 = 0 ;
4) 2(3x − 4) = 6x + 8 ;
7) 1 − A y = 5 + y ;
2) πx − 7 = 0 ;
5)
3(2t − 1) + 5 = 5t − 3 ;
8) 0x = 17 ;
6)
3x+1
5
9) 17x = 0.
3) 2x +
1
4
= 0;
= 2;
2. Résoudre les équations du premier degré suivantes :
1) 3x + 10 = 5x − 90
6)
2) 16x + 4 = 22x − 8
7)
3)
3t−12
t−1
4)
+ x3 + 2x
7 =2
(x − 52 )(x + 23 ) −
5)
=4
8)
x
2
9)
(x − 5)(x + 3) = 10
10)
x−2
3
4x−7
4
x+ 12
4y−8
20−x
10 − 4 + 3
x+a
x−b
b − a =2
3
x+1
x−1 = 2
3x−1
x−2
2 + 3 =2
−
12−x
2
=
+1
=
13
2
3. Résoudre (pour x, y ∈ R) les équations du second degré suivantes, si possible,
1) 3x2 − 8x + 3 = 0 ;
4) y 2 − 4y + 13 = 0 ;
2) 4x2 − 2 = 3x ;
5) 5(x + 1)(2x − 1) = 10x2 − 2x ;
3) 2y 2 = 16y − 18 ;
6) 6x2 + 3x − 12 = 0.
4. La longueur d’un rectangle est 7 cm plus longue que les quatre cinquièmes de sa largeur. L’aire du
rectangle est de 785cm2 . Quelles sont les dimensions du rectangle ?
5. La somme de deux nombres naturels est 17 et la somme de leurs carrés est 149. Quels sont ces deux
nombres ?
6. Dans une salle de la bibliothèque, un tiers des étudiants ont un livre de mathématiques, un quart
ont un livre de biologie. Les autres, 10 étudiants, ne font rien. Combien y a-t-il d’élèves dans la
salle ?
7. En 2013, un père a 43 ans et son fils 24. En quelle année l’âge du père a-t-il été ou sera-t-il le double
de l’âge du fils ?
8. Trouvez 3 nombres naturels consécutifs dont la somme est égale à 984.
9. Une machine fabrique une pièce toutes les 6,75 minutes. Au cours d’une journée de 8 heures, combien
de pièces peut-on fabriquer, sachant qu’il faut 48 minutes pour le réglage.
10. Une voiture roule à vitesse constante pendant 8 heures et parcourt 960 km. Quelle est sa vitesse
horaire ?
11. Trois personnes se partagent une somme de 1 900 A
C. La seconde reçoit 70 A
C de plus que la première.
La part de la troisième est égale au double de la part de la première moins 150 A
C. Calculer la part
de chaque personne.
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12. Un commerçant veut écouler 100 chemises démodées. Il réussit à en vendre 43 au prix initial. Il
consent alors un rabais de 1 A
C par chemise et en vend ainsi 17. Il liquide le reste à 1,5 A
C l’unité.
Calculer le prix initial d’une chemise, sachant qu’il a encaissé en tout 1 243 A
C?
13. La différence entre 2 entiers est 4 et leur produit est 96. Quels sont ces nombres ?
14. Deux trains A et B partent en même temps d’une même gare, l’un vers le nord et l’autre vers l’est.
Le train B se déplace à 5km/h de plus que le train A. Si, après 2 heures, ils sont à 50km de distance
l’un de l’autre, trouve la vitesse de chaque train.
15. Si on ajoute 6m à chaque côté d’un carré, l’aire devient 144m2 . Quelle est la longueur d’un côté du
carré initial.
16. Les membres d’un groupe se partagent les frais d’une excursion en autobus qui coûte 540 A
C. Cinq
des personnes ne peuvent finalement pas y participer, ce qui augmente le coût pour les autres de
1,50 A
C par personne. Combien de personnes ont fait le voyage ?
17. Un triangle rectangle isocèle a un périmètre de 36 cm et son hypoténuse mesure 15 cm. Quelle est
la longueur des deux autres côtés ?
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Transformations de formules
1. La période d’oscillation d’un ressort est donnée par la formule
r
T = 2π
m
k
Exprimer la constante de raideur du ressort k en fonction de la période T et de la masse m (T , k
et m sont des nombres strictement positifs).
2. La vitesse de sortie d’un canon à électrons est donnée par
s
v=
2eU − T S
− v02
m
Exprimer le nombre U en fonctions des autres nombres apparaissant dans cette relation.
3. Sachant que les nombres réels strictement positifs R1 , R2 et f sont liées par la relation
1
1
1
= (n − 1)
+
f
R1 R2
avec n > 1, exprimer R2 en fonction des autres nombres.
4. L’équation de van der Waals (pour les gaz) est donnée par
!
n2 a
P + 2 (v − nb) = nRT
v
où a, b sont les constantes de van der Waals. Exprimer la pression P en fonction de n, b, v, R et T,
sachant que nv > b.
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Inéquations
1. Résoudre les inéquations suivantes :
4) 2(3t − 1) < −3(t − 2) + 1
1)
2) −2(2t − 3) 6 −4(t + 2)
3)
t2
5) 2(3 − 3y) − 2y 6 3y − 2
6) x2 − 5x + 6 > 0
− 49 > 0
2
7) x2 − x + 12 < 0
8)
x+3
x2 −4
6
9)
3
x−2
10)
4−3x
1−x 6 0
3
x+2 > 1 −
x
2. Etudier le signe des expressions suivantes :
2
x −9
1) 5x. 2x−3
2)
3)
4) (x2 − 1)(x2 − 4)(x2 − 9)
3−x2
2x−3
4x2 +25
x−3
5)
x2 (x2 −9)2
(x+1)2
3. La somme de trois nombres naturels consécutifs est inférieure ou égale à 81. Quelles sont les valeurs
possibles d plus petit de ces trois nombres ?
4. Le produit de deux nombres naturels pairs consécutifs est strictement supérieur à 170. Quelles
valeurs le plus grand des deux nombres peut-il prendre ?
5. Si je double la longueur du côté d’un carré, sa nouvelle aire est moins grande que si j’avais augmenté
le côté de 3 mètres. Quelle peuvent-être les valeurs prises par le côté avant agrandissement ?
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