Transcript Diaporama sur les nombres - missiontice.ac
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LES NOMBRES
Articulation CM2-SIXIÈME
février-mars 2010
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Les nombres
Programme du CM2
1 - Nombres et calcul
L’étude organisée des nombres est poursuivie jusqu’au milliard, mais des nombres plus grands
peuvent être rencontrés.
Les nombres entiers naturels :
• principes de la numération décimale de position : valeur des chiffres en fonction de leur
position dans l’écriture des nombres ;
• désignation orale et écriture en chiffres et en lettres ;
• comparaison et rangement de nombres, repérage sur une droite graduée, utilisation des
signes > et < ;
• relations arithmétiques entre les nombres d’usage courant : double, moitié, quadruple, quart,
triple, tiers..., la notion de multiple.
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Les nombres
Programme du CM2
1 - Nombres et calcul
Les nombres décimaux et les fractions :
• fractions simples et décimales : écriture, encadrement entre deux nombres entiers consécutifs,
écriture comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1, somme de deux fractions
décimales ou de deux fractions de même dénominateur ;
• nombres décimaux : désignations orales et écritures chiffrées, valeur des chiffres en fonction
de leur position, passage de l’écriture à virgule à une écriture fractionnaire et inversement,
comparaison et rangement, repérage sur une droite graduée ; valeur approchée d’un décimal à
l’unité près, au dixième près, au centième près.
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Les nombres
Programme de sixième
Connaissances
Capacités
2.1 Nombres entiers
et décimaux
Désignations.
- Connaître et utiliser la valeur des
chiffres en fonction de leur rang
dans l'écriture d'un entier ou d'un
décimal.
- Associer diverses désignations
d’un nombre décimal : écriture à
virgule, fractions décimales.
Ordre.
- Comparer deux nombres entiers ou
décimaux, ranger une liste de
nombres.
- Encadrer un nombre, intercaler un
nombre entre deux autres.
- Placer un nombre sur une demidroite graduée.
- Lire l'abscisse d'un point ou en
donner un encadrement.
* Donner une valeur approchée
décimale (par excès ou par défaut)
d’un décimal à l’unité, au dixième,
au centième près.
*Valeur approchée
décimale.
Commentaires
L’objectif est d’assurer une bonne
compréhension de la valeur des
chiffres en fonction du rang qu’ils
occupent dans l’écriture à virgule,
sans refaire tout le
travail réalisé à l’école élémentaire.
La bonne compréhension s’appuie
sur le sens et non sur des procédures.
Les procédures utilisées pour
comparer, encadrer, intercaler des
nombres sont justifiées en
s’appuyant sur la signification des
écritures décimales ou le placement
des points sur une demi-droite
graduée.
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Les nombres
Les ensembles de nombres
•
•
•
•
•
N
Z
D
Q
R
désigne l’ensemble des entiers naturels
désigne l’ensemble des entiers relatifs
désigne l’ensemble des nombres décimaux
est l’ensemble des nombres rationnels
est l’ensemble des nombres réels
On a les inclusions : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R
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Les nombres
Les entiers
• N 0, 1, 2,
3, .....est
l’ensemble des entiers naturels
• Z ... 3, 2, 1, 0, 1, 2,
3, .....est
l’ensemble des entiers relatifs
Si n est un entier, n 1 est son prédécesseur, n + 1 est son
successeur.
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Les nombres
Les nombres décimaux : l’ensemble D
Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la
forme a 10 p , avec a et p appartenant à Z .
Exemples :
• 2 0 1 0 est décimal. Il s’écrit 201 10 ou 2010 10 ;
1
•
1
4 10
25
• ,
2
donc
1
0
est décimal ;
25
1
ne sont pas décimaux car on ne peut pas les écrire sous la forme a 10 p
3
• Il existe une infinité de décimaux entre deux décimaux donnés : un nombre
décimal n’a ni successeur ni prédécesseur.
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Les nombres
Les nombres rationnels : l’ensemble Q
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la
forme
a
, a et b appartenant à Z, avec b non nul. Ainsi, tout
b
décimal est rationnel, mais la réciproque est fausse.
Exemples :
•
1
7
•
est un rationnel non décimal.
1
0,142857142...
7
0,1 4 2 8 5 71 4 2 ... est un développement décimal illimité de période 1 4 2 8 5 7
3
est un rationnel décimal.
4
•
7
13
0, 5384615384... est un rationnel non décimal.
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Les nombres
Les nombres rationnels : l’ensemble Q
Tout nombre rationnel est soit un nombre décimal, soit un
développement décimal illimité périodique (de période
différente de 0 et de 9), et réciproquement.
Exemples :
• 3, 42 4242...
339
99
• 15, 475475...
• 3,14
314
100
15460
999
157
50
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Les nombres
Les nombres réels : l’ensemble R
R est une extension de Q. On appelle nombre réel tout
développement décimal illimité, périodique ou non
périodique, c’est-à-dire tout nombre rationnel ou non
rationnel.
Exemples :
• ,
•
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2 sont des nombres réels non rationnels.
; 1, 42 ; ... sont des nombres réels rationnels.
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LES NOMBRES
Articulation CM2-SIXIÈME
février-mars 2010
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Les nombres
Programme du CM2
1 - Nombres et calcul
L’étude organisée des nombres est poursuivie jusqu’au milliard, mais des nombres plus grands
peuvent être rencontrés.
Les nombres entiers naturels :
• principes de la numération décimale de position : valeur des chiffres en fonction de leur
position dans l’écriture des nombres ;
• désignation orale et écriture en chiffres et en lettres ;
• comparaison et rangement de nombres, repérage sur une droite graduée, utilisation des
signes > et < ;
• relations arithmétiques entre les nombres d’usage courant : double, moitié, quadruple, quart,
triple, tiers..., la notion de multiple.
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Les nombres
Programme du CM2
1 - Nombres et calcul
Les nombres décimaux et les fractions :
• fractions simples et décimales : écriture, encadrement entre deux nombres entiers consécutifs,
écriture comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1, somme de deux fractions
décimales ou de deux fractions de même dénominateur ;
• nombres décimaux : désignations orales et écritures chiffrées, valeur des chiffres en fonction
de leur position, passage de l’écriture à virgule à une écriture fractionnaire et inversement,
comparaison et rangement, repérage sur une droite graduée ; valeur approchée d’un décimal à
l’unité près, au dixième près, au centième près.
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Les nombres
Programme de sixième
Connaissances
Capacités
2.1 Nombres entiers
et décimaux
Désignations.
- Connaître et utiliser la valeur des
chiffres en fonction de leur rang
dans l'écriture d'un entier ou d'un
décimal.
- Associer diverses désignations
d’un nombre décimal : écriture à
virgule, fractions décimales.
Ordre.
- Comparer deux nombres entiers ou
décimaux, ranger une liste de
nombres.
- Encadrer un nombre, intercaler un
nombre entre deux autres.
- Placer un nombre sur une demidroite graduée.
- Lire l'abscisse d'un point ou en
donner un encadrement.
* Donner une valeur approchée
décimale (par excès ou par défaut)
d’un décimal à l’unité, au dixième,
au centième près.
*Valeur approchée
décimale.
Commentaires
L’objectif est d’assurer une bonne
compréhension de la valeur des
chiffres en fonction du rang qu’ils
occupent dans l’écriture à virgule,
sans refaire tout le
travail réalisé à l’école élémentaire.
La bonne compréhension s’appuie
sur le sens et non sur des procédures.
Les procédures utilisées pour
comparer, encadrer, intercaler des
nombres sont justifiées en
s’appuyant sur la signification des
écritures décimales ou le placement
des points sur une demi-droite
graduée.
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Les nombres
Les ensembles de nombres
•
•
•
•
•
N
Z
D
Q
R
désigne l’ensemble des entiers naturels
désigne l’ensemble des entiers relatifs
désigne l’ensemble des nombres décimaux
est l’ensemble des nombres rationnels
est l’ensemble des nombres réels
On a les inclusions : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R
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Les nombres
Les entiers
• N 0, 1, 2,
3, .....est
l’ensemble des entiers naturels
• Z ... 3, 2, 1, 0, 1, 2,
3, .....est
l’ensemble des entiers relatifs
Si n est un entier, n 1 est son prédécesseur, n + 1 est son
successeur.
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Les nombres
Les nombres décimaux : l’ensemble D
Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la
forme a 10 p , avec a et p appartenant à Z .
Exemples :
• 2 0 1 0 est décimal. Il s’écrit 201 10 ou 2010 10 ;
1
•
1
4 10
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• ,
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donc
1
0
est décimal ;
25
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ne sont pas décimaux car on ne peut pas les écrire sous la forme a 10 p
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• Il existe une infinité de décimaux entre deux décimaux donnés : un nombre
décimal n’a ni successeur ni prédécesseur.
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Les nombres
Les nombres rationnels : l’ensemble Q
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la
forme
a
, a et b appartenant à Z, avec b non nul. Ainsi, tout
b
décimal est rationnel, mais la réciproque est fausse.
Exemples :
•
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•
est un rationnel non décimal.
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0,142857142...
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0,1 4 2 8 5 71 4 2 ... est un développement décimal illimité de période 1 4 2 8 5 7
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est un rationnel décimal.
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0, 5384615384... est un rationnel non décimal.
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Les nombres
Les nombres rationnels : l’ensemble Q
Tout nombre rationnel est soit un nombre décimal, soit un
développement décimal illimité périodique (de période
différente de 0 et de 9), et réciproquement.
Exemples :
• 3, 42 4242...
339
99
• 15, 475475...
• 3,14
314
100
15460
999
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Les nombres
Les nombres réels : l’ensemble R
R est une extension de Q. On appelle nombre réel tout
développement décimal illimité, périodique ou non
périodique, c’est-à-dire tout nombre rationnel ou non
rationnel.
Exemples :
• ,
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2 sont des nombres réels non rationnels.
; 1, 42 ; ... sont des nombres réels rationnels.
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