Transcript DIDACTIQUE SUR LES MESURES - Maths et Tice en Polynésie
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David Rolland, formateur en Mathématiques
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Plan du cours
- Quelques représentations
- La naissance de l’idée de fraction
- Les nombres rationnels
- Les nombres décimaux
- Les nombres réels
- Repères didactiques
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Introduction : quelques représentations
2,5 est un décimal
5/2 est une fraction
3 n’est pas décimal, c’est un entier
Un décimal, c’est un nombre avec une virgule
Une fraction c’est deux nombres avec un trait
entre les deux
Pi est un nombre infini
La partie décimale de 2,364 est 364
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I/ La naissance de l’idée de fraction
L’idée de fraction naît de la nécessité de fractionner
des entités en « parts égales ».
A l’origine les fractions sont des nombres « rompus ».
Les Babyloniens et les Egyptiens ont d’abord utilisés
des fractions de numérateur 1, c’est-à-dire les
quantièmes : 1/2, 1/3, 1/4 …
L’idée est d’admettre qu’il est possible de partager
l’unité.
Ces nombres naissent bien sûr d’une nécessité
pratique : partage de terrains, de troupeaux…
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1/ Les fractions chez les Egyptiens.
Les égyptiens préféraient des fractions d'unités, c'est
à dire à numérateur un.
Ils indiquaient une telle fraction par son dénominateur
muni d'une marque spéciale. Il y avait des signes
spéciaux pour un demi, un tiers, et deux tiers.
Des fractions générales sont représentées par des
combinaisons additives de fractions d'unité.
Par exemple, on représentait 2/7 = ( 1/4 + 1/28 ) par :
Le symbole de gauche signifie 1/4 et celui de droite 1/28
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Les Egyptiens font apparaître des fractions comme
2/3 , 3/4, c’est-à-dire des fractions inférieurs à 1.
Le dénominateur indique en combien de parts on a
partagé l’unité (il dénomme), le numérateur indique le
nombre de fois que l’on prend cette fraction de l’unité (il
nombre).
La signification de ces fractions correspond en
utilisant notre écriture moderne à : a/b = a x 1/b.
Par exemple, deux tiers c’est deux fois un tiers.
2/3 = 2 x 1/3.
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Un étrange objet baptisée Coudée
Dans la salle 6 d’Egyptologie du musée du Louvre un étrange objet, baptisée "Coudée". Sa longueur
correspond effectivement à la coudée égyptienne : 52 cm et quelques. Il appartenait au Ministre des
finances de Toutankhamon
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Voici, développé, l’ensemble des inscriptions portées par
cette règle :
Elle est d’abord divisée en "pouces égyptiens". Mais, à droite on voit se dessiner
d’étranges graduations irrégulières.
Regardez au dessus de ces graduations. Le signe en forme de lentille signifie
"fraction".
De droite à gauche, ces pouces égyptiens sont divisés en demis, tiers, quarts,
jusqu’à une division en seizièmes. Les égyptiens devait utiliser cette étrange
"règle à calcul" pour effectuer des divisions.
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2/ L’écriture moderne :
Dès le début du XVIIe siècle se répand la notation
moderne avec le point décimal et la virgule.
Cartes destinées à l'enseignement.
On retrouve la décimalisation des
nombres.
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II/ L’ensemble des nombres rationnels
L’équivalence des rapports entre certains couples d’entiers
est au fondement de la création des nombres rationnels. On
accepte ces rapports comme des nouveaux nombres.
Par exemple, 1/3 et 2/6 sont deux fractions qui expriment le
même nombre rationnel.
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Définition 1 :
Deux couples d’entiers (a, b) et (c, d) (b et d étant
non nuls) définissent le même nombre rationnel si :
a x d = b x c.
Alors a/b et c/d sont deux fractions représentant
le même nombre rationnel.
Un nombre rationnel est donc défini à partir d’une
infinité de couples équivalents, c’est-à-dire de fractions
équivalentes.
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L’ensemble infini de fractions équivalentes
{2/3 ; 4/6 ; 6/9 ; 8/12 ; …. ; 14/21 ; … ; 2n/3n ; …}
représente un même nombre rationnel.
On a bien : (2 ; 3) ~ (4 ; 6) car 2 x 6 = 3 x 4.
Ou encore : (6 ; 9) ~ (14 ; 21) car 6 x 21 = 9 x
14.
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Propriétés:
Quels que soient l’entier a et l’entier b non nuls,
l’équation a=bx a donc une solution dans l’ensemble des
nombres rationnels.
x est la quotient rationnel de a par b. On note : x=a/b.
- l’ensemble des quotients d’entiers naturels a/b
avec b non nul détermine l’ensemble Q+ des nombres
rationnels positifs.
- L’ensemble des quotients d’entiers relatifs a/b
avec b non nul détermine l’ensemble Q des nombres
rationnels (positifs et négatifs).
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Autres propriétés:
- si b0 et c0, on a :
et
Le quotient de deux nombres relatifs ne change pas quand on
multiplie ces deux nombres par un même nombre relatif différent de
zéro
- Tout nombre rationnel a un opposé dans Q.
- Tout nombre rationnel k non nul a un inverse dans Q noté k-1 .
On a : k x k-1 = 1.
L’inverse de a/b est b/a et on a : a/b x b/a = 1
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Propriétés (addition et soustraction dans Q) :
- Les dénominateurs sont les mêmes :
Pour additionner (ou soustraire) deux nombres relatifs en écriture
fractionnaire de même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les
numérateurs et on garde le même dénominateur.
si k≠0, on a donc :
-Les dénominateurs sont différents :
Pour additionner (ou soustraire) deux nombres relatifs en écriture
fractionnaire de dénominateurs différents, on les réduit au même
dénominateur.
Si b et d sont tous deux non nuls,
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Propriétés (multiplication et division dans Q) :
- Multiplication:
Pour multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, on
multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Avec b ≠ 0 et d ≠ 0, on a :
- Division:
Pour diviser par
On a donc :
(avec c≠0 et d≠0) on multiplie par son inverse
avec b ≠ 0 et d ≠ 0
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Propriété :
L’ensemble Q des rationnels est dit « clos » pour
l’addition, la multiplication et leurs opérations
réciproques.
En effet, la somme, la différence, le produit et le
quotient de deux rationnels sont des rationnels (avec la
restriction d’un rationnel non nul pour le quotient).
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Q est un ensemble totalement ordonné.
Si a et b sont deux rationnels, on a : a ≤ b ou b ≤ a.
Entre deux rationnels, on peut toujours placer un
rationnel.
Par exemple : entre 17/31 et 18/31, on peut placer ….
35/62.
En effet : 17/31 = 34/62 et 18/31 = 36/62
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En fait de proche en proche, on peut toujours placer une
infinité de rationnels entre deux rationnels.
L’ensemble des rationnels permet de densifier la droite
numérique puisque, entre deux points repérés par deux
rationnels, on peut en repérer une infinité d’autres.
On dit que l’ensemble Q est dense dans l’ensemble des
réels.
Malgré cette densification, certains points ne peuvent être
repérés par un nombre rationnel. Les rationnels laissent
encore des « trous » dans la droite. La création de nouveaux
nombres devient nécessaire pour résoudre ce problème : les
nombres réels qui comprennent les nombres irrationnels.
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III/ Les nombres décimaux.
La création des nombres décimaux répond au problème
suivant :
Comment s’approcher le plus près que l’on veut de tout
nombre rationnel par des fractions décimales, tout en
étendant le système décimal d’écriture à la partie
fractionnaire inférieure à 1 ?
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- L’écriture décimale des nombres a été élaborée
définitivement au XVe siècle par le mathématicien
persan Al-Kashi.
- En Europe, l’utilisation des décimaux est popularisée par
Simon Stévin au XVIe siècle grâce à son ouvrage La Disme
(1585).
- En France, la popularisation de l’écriture
à virgule des décimaux est intimement liée
au développement du système métrique à la fin du
XVIIIe siècle.
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Définition :
Un nombre décimal est un nombre possédant un
développement décimal limité et pouvant s'écrire sous la
forme a x 10p (où a et p sont des entiers relatifs).
Ce n'est pas le cas, par exemple, du nombre Pi qui
possède cependant autant d'approximations décimales
que l'on veut :
L’ensemble des nombres décimaux est noté ID.
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Caractérisation :
Si a est un nombre rationnel, les propriétés
suivantes sont équivalentes et caractérisent le fait
que le nombre a est décimal
a admet un développement décimal limité.
Il existe un entier m et un naturel n tels que :
La fraction irréductible de a est de la forme
,
où b est un entier relatif et m et p des entiers naturels.
a possède deux développements décimaux distincts.
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Exemples et remarques :
La première assertion prouve que 1,6666 est
un nombre décimal et que 1,6666... (qui
s'écrirait avec une infinité de 6) n'en est pas
un.
La deuxième assertion nous dit que
est
un nombre décimal, mais elle ne peut pas être
utilisée pour prouver qu'un nombre n'est pas
décimal.
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La troisième assertion nous donne une méthode pour
reconnaître si un nombre rationnel est décimal : il suffit de
déterminer sa fraction irréductible.
Par exemple en calculant le PGCD de son numérateur et de
son dénominateur, il suffit de tester si le dénominateur est
uniquement divisible par 2 et 5.
La quatrième assertion fait souvent figure de « curiosité ».
Le nombre 2,5 peut aussi être écrit 2,4999... (avec une
infinité de 9).
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Exercice sans calculatrice:
337/400 est-il décimal ?
Oui, car 400 = 24 x 54 .
8/17 ?
1096/152 ?
Non, car 8/17 est irréductible et le
dénominateur 17 est premier autre
que 2 et 5.
Non, car 1096/152 = 137/19 fraction
irréductible avec 19 nombre premier
autre que 2 et 5
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Ecriture des décimaux :
Ecritures fractionnaires décimales des
décimaux :
partie entière et partie décimale :
1735/1000 = 1 + 735/1000 = 1 + 700/1000 + 30/1000 + 5/1000
1 est la partie entière et 735/1000 est la partie fractionnaire
décimale du nombre décimal 1735/1000.
Par abus de langage, la partie fractionnaire décimale est
appelée « partie décimale du nombre décimal ».
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Ecriture à virgule :
L’écriture à virgule étend le principe de la numération décimale
pour exprimer la partie fractionnaire décimale des décimaux.
1735/1000 s’écrit 1,735.
La partie entière est 1 et la partie décimale est 0,735.
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Ecriture à virgule de certains décimaux
écrits sous forme fractionnaire :
Les nombres rationnels dont la fraction irréductible a un
dénominateur de la forme 2n x 5p sont des décimaux. Ces
rationnels s’expriment donc également sous forme d’une
écriture à virgule.
1/2 = 5/10 = 0,5 ; 1/4 = 25/100 = 0,25 ; 1/5 = 2/10 = 0,2 ;
1/10 = 0,1 ; 1/16 = 625/10 000 = 0,0625 ; etc.
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ATTENTION ! La forme de l’écriture d’un nombre ne
détermine pas la nature du nombre.
13 est un nombre entier naturel, mais également un
nombre rationnel et un nombre décimal.
1,3 est l’écriture à virgule d’un nombre décimal, mais ce
nombre est également un nombre rationnel.
Il s’écrit 13/10 sous forme fractionnaire.
1/4 est l’écriture fractionnaire d’un nombre décimal
(c’est 0,25).
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Quelques propriétés :
- ID est un ensemble totalement ordonné.
Quels que soient les décimaux a et b, on a soit a ≤ b, soit a ≥ b.
Entre deux décimaux, on peut toujours intercaler un autre
décimal.
On peut donc intercaler une infinité de nombres décimaux entre
deux décimaux.
On dit que l’ensemble ID est dense dans l’ensemble des nombres
réels.
- La somme et la différence de deux décimaux est un décimal.
- Le produit de deux décimaux est un décimal.
- Le quotient de 2 rationnels a et b (b≠0) est un rationnel, mais le
quotient de deux décimaux n’est pas toujours un décimal (par
exemple : 1/3).
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Valeurs approchées par défaut et par excès, valeurs
arrondies d’un décimal.
Soit le décimal a = 7,45601.
7,4 est la valeur approchée à 0,1 près (ou à 10-1 près) par
défaut de a.
7,5 est la valeur approchée à 0,1 près (ou à 10-1 près) par
excès de a.
7,4 < a < 7,5 est un encadrement du décimal a à 0,1 près
(ou à 10-1 près). La différence entre les bornes est 0,1.
7,5 est la valeur arrondie à 10-1 près de a.
Tronquer un nombre, c’est enlever un certain nombre de
chiffres significatifs. 7,45 est la troncature de a au
centième.
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IV/ Les nombres réels.
Les rationnels ne permettent pas de modéliser toutes les
mesures des grandeurs.
Il a fallu inventé d’autres nombres que les rationnels , les
irrationnels, pour rendre modéliser la continuité des
nombres.
L’ensemble des nombres réels, noté IR, inclut les nombres
rationnels et les nombres irrationnels.
A chaque point d’une droite, sur laquelle on a fixé une
origine, il est possible d’associé un nombre réel.
Les nombres réels remplissent donc la droite réelle : ils
ne laissent aucun trou.
Les naturels, les entiers relatifs, les décimaux et les
rationnels sont des nombres réels.
On a donc les inclusions, suivantes :
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IN Z ID Q IR
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Ecritures décimales illimitées des nombres réels.
L’écriture à virgule d’un décimal est limitée : il y a un
nombre limité de chiffres significatifs après la virgule.
Les rationnels qui sont des décimaux ont donc une
écriture décimale limitée. Par exemple : 1/4 = 0,25.
Le rationnel 1/3 n’est pas un décimal. On obtient :
1/3 = 0,33333…
0,33 est une valeur approchée à 10-2 près par défaut de 1/3.
0,33333… est l’écriture décimale illimitée du rationnel 1/3.
Cette écriture possède une période d’un chiffre, c’est-àdire qui se répète indéfiniment.
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Les opérations dans IR :
L’addition dans IR est commutative et associative.
0 est élément neutre de l’addition.
Chaque nombre réel x a un opposé x’ dans IR : x +
(x’) = 0.
x’ = opp(x) = - x
D’autre part, soustraire un réel, c’est lui ajouter
son opposé.
Si a et b sont deux réels, a-b = a+opp(b).
a-b est la différence des deux réels.
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La multiplication dans IR est commutative et
associative.
1 est élément neutre de la multiplication.
Tout nombre réel non nul x a un inverse x’ dans IR :
x . (x’) = 1.
x’ = inv(x) = 1/x
D’autre part, la multiplication est distributive par
rapport à l’addition dans IR.
Quels que soient les réels a, b et c on a :
( a + b) x c = ac + bc.
La relation ≤ est une relation d’ordre total dans IR.
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V. DIDACTIQUE :
1/ L’ enseignement des nombres rationnels et
décimaux à l’école primaire :
Cycle 3
Cycle 2
Dans les programmes
Problèmes et
procédures
Langage
Seuls les nombres entiers sont enseignés. Mais les élèves sont confrontés à
la nécessité d’utiliser plusieurs unités pour exprimer une mesure :
4 € 15, 2m 25cm
Fractions et nombres décimaux
- Comparaison, encadrement,
intercalation sur les décimaux.
- Valeur approchée d’un
décimal.
- Décomposition avec 1000;
100; 10 ; 0,1; 0,01…
-Pour exprimer une
mesure à l’aide d’une
seule unité ou le résultat
d’un partage;
- Pour repérer des points
sur une droite.
- Pour approcher
certains quotients
d’entiers.
-Écritures
fractionnaires et
écritures
décimales.
-Lecture courante
et lecture
« signifiante ».
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Au cycle 2, les élèves élaborent certaines
connaissances issues de pratiques sociales sur :
- les fractions simples : à travers des
expressions comme « un demi », « un quart »
- des expressions composées qui font
intervenir plusieurs unités : 3h25min,
3m25cm…)et des expressions à virgules
(comme 3€25).
Toutefois, les nombres décimaux n’ont pas été
introduits.
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Au cycle 3 (plus particulièrement au CM):
- les fractions apparaissent comme des nouveaux
nombres, utiles pour traiter des problèmes que les
nombres entiers ne permettent pas de résoudre.
- L’élève doit être capable de désigner un nombre
décimal par différentes écritures (à virgule ou
fractionnaire).
- Il acquiert progressivement une maîtrise de l’ordre sur
les décimaux. , développe une pratique de calcul exact
ou approché et aborde des problèmes relevant de
l’addition et de la soustraction de deux décimaux, de la
multiplication d’un décimal par un entier.
- L’enseignement sur les décimaux et les rationnels se
poursuit au collège.
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2/ Les principaux problèmes envisageables à l’école.
a/ Les fractions et les décimaux pour exprimer une mesure.
A l’école primaire, le plus souvent, les
fractions et les écritures additives d’entiers
et de fractions sont introduites comme des
outils pour communiquer des mesures
(longueur, aire…) à partir d’une unité dans
des cas où cette mesure ne s’exprime pas par
un nombre entier d’unités.
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Exemple : première situation à laquelle sont confrontés les élèves.
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b/ Les fractions et les décimaux pour repérer des points
situés sur une droite.
Exemple : CM2
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c/ Les nombres décimaux et le système métrique.
Un travail en relation avec le système d’unités de
mesure permet d’utiliser les décimaux dans de
nouveaux contextes en exprimant avec ces nombres
des mesures formulées auparavant sous la forme
d’expressions complexes faisant intervenir plusieurs
unités comme 4m 7cm, qui sera désormais codé avec
la seule unité mètre 4,07 m.
D/ Fractions, décimaux et quotients d’entiers.
Au cycle 3, la fraction 4/3 est liée au fait
qu’on a reporté 4 fois le tiers de l’unité.
Pour les élèves : 4/3 c’est donc 4 x 1/3.
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L’enseignant de 6ème a donc à établir que
« quatre fois 1/3 » est égal au « tiers de 4 ».
Comment ?
En proposant le problème suivant :
« Trouver le nombre manquant pour que cette
égalité soit vraie : 3 x … = 4 ».
Ils penseront à diviser 4 par 3 et 4/3 est donc pensé
comme le « tiers de 4 ».
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3/ Erreurs d’ élèves.
2,4 + 3,6 = 5,10
2,6 x 4 = 8, 24
Entre 1,5 et 1,6 il n’y a pas de nombres
1,5 < 1,16
Le chiffre des centièmes de 2,145 est 1
1,9 = 1/9 = un neuvième
2,9 x 10 = 20,9
2,9 x 100 = 20,90
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Taux de réussite - EVA6eme06
80% - 77 % - 77%
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Taux de réussite - EVA6eme06
50%
Slide 49
Taux de réussite - EVA6eme06
34% - 20% - 22%
Slide 50
Taux de réussite - EVA6eme06
90% - 30%
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Bibliographie :
- Les mathématiques au concours de professeur des écoles,
Alain Descaves, Hachette 2005
- Mathématiques Tome 2, Roland Charnay & Michel Mante,
HATIER CONCOURS 2008
- Quelques extraits du cours de préparation au CRPE
(session 2009-2010) de Michel Bourguet, ancien
formateur de mathématiques de l’IUFM de Polynésie
française.
- CD « Microsoft Encarta » 2006
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Cours sur les nombres non entiers
FIN
David Rolland, IUFM de la Polynésie française
David Rolland, formateur en Mathématiques
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Plan du cours
- Quelques représentations
- La naissance de l’idée de fraction
- Les nombres rationnels
- Les nombres décimaux
- Les nombres réels
- Repères didactiques
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Introduction : quelques représentations
2,5 est un décimal
5/2 est une fraction
3 n’est pas décimal, c’est un entier
Un décimal, c’est un nombre avec une virgule
Une fraction c’est deux nombres avec un trait
entre les deux
Pi est un nombre infini
La partie décimale de 2,364 est 364
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I/ La naissance de l’idée de fraction
L’idée de fraction naît de la nécessité de fractionner
des entités en « parts égales ».
A l’origine les fractions sont des nombres « rompus ».
Les Babyloniens et les Egyptiens ont d’abord utilisés
des fractions de numérateur 1, c’est-à-dire les
quantièmes : 1/2, 1/3, 1/4 …
L’idée est d’admettre qu’il est possible de partager
l’unité.
Ces nombres naissent bien sûr d’une nécessité
pratique : partage de terrains, de troupeaux…
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1/ Les fractions chez les Egyptiens.
Les égyptiens préféraient des fractions d'unités, c'est
à dire à numérateur un.
Ils indiquaient une telle fraction par son dénominateur
muni d'une marque spéciale. Il y avait des signes
spéciaux pour un demi, un tiers, et deux tiers.
Des fractions générales sont représentées par des
combinaisons additives de fractions d'unité.
Par exemple, on représentait 2/7 = ( 1/4 + 1/28 ) par :
Le symbole de gauche signifie 1/4 et celui de droite 1/28
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Les Egyptiens font apparaître des fractions comme
2/3 , 3/4, c’est-à-dire des fractions inférieurs à 1.
Le dénominateur indique en combien de parts on a
partagé l’unité (il dénomme), le numérateur indique le
nombre de fois que l’on prend cette fraction de l’unité (il
nombre).
La signification de ces fractions correspond en
utilisant notre écriture moderne à : a/b = a x 1/b.
Par exemple, deux tiers c’est deux fois un tiers.
2/3 = 2 x 1/3.
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Un étrange objet baptisée Coudée
Dans la salle 6 d’Egyptologie du musée du Louvre un étrange objet, baptisée "Coudée". Sa longueur
correspond effectivement à la coudée égyptienne : 52 cm et quelques. Il appartenait au Ministre des
finances de Toutankhamon
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Voici, développé, l’ensemble des inscriptions portées par
cette règle :
Elle est d’abord divisée en "pouces égyptiens". Mais, à droite on voit se dessiner
d’étranges graduations irrégulières.
Regardez au dessus de ces graduations. Le signe en forme de lentille signifie
"fraction".
De droite à gauche, ces pouces égyptiens sont divisés en demis, tiers, quarts,
jusqu’à une division en seizièmes. Les égyptiens devait utiliser cette étrange
"règle à calcul" pour effectuer des divisions.
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2/ L’écriture moderne :
Dès le début du XVIIe siècle se répand la notation
moderne avec le point décimal et la virgule.
Cartes destinées à l'enseignement.
On retrouve la décimalisation des
nombres.
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II/ L’ensemble des nombres rationnels
L’équivalence des rapports entre certains couples d’entiers
est au fondement de la création des nombres rationnels. On
accepte ces rapports comme des nouveaux nombres.
Par exemple, 1/3 et 2/6 sont deux fractions qui expriment le
même nombre rationnel.
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Définition 1 :
Deux couples d’entiers (a, b) et (c, d) (b et d étant
non nuls) définissent le même nombre rationnel si :
a x d = b x c.
Alors a/b et c/d sont deux fractions représentant
le même nombre rationnel.
Un nombre rationnel est donc défini à partir d’une
infinité de couples équivalents, c’est-à-dire de fractions
équivalentes.
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L’ensemble infini de fractions équivalentes
{2/3 ; 4/6 ; 6/9 ; 8/12 ; …. ; 14/21 ; … ; 2n/3n ; …}
représente un même nombre rationnel.
On a bien : (2 ; 3) ~ (4 ; 6) car 2 x 6 = 3 x 4.
Ou encore : (6 ; 9) ~ (14 ; 21) car 6 x 21 = 9 x
14.
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Propriétés:
Quels que soient l’entier a et l’entier b non nuls,
l’équation a=bx a donc une solution dans l’ensemble des
nombres rationnels.
x est la quotient rationnel de a par b. On note : x=a/b.
- l’ensemble des quotients d’entiers naturels a/b
avec b non nul détermine l’ensemble Q+ des nombres
rationnels positifs.
- L’ensemble des quotients d’entiers relatifs a/b
avec b non nul détermine l’ensemble Q des nombres
rationnels (positifs et négatifs).
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Autres propriétés:
- si b0 et c0, on a :
et
Le quotient de deux nombres relatifs ne change pas quand on
multiplie ces deux nombres par un même nombre relatif différent de
zéro
- Tout nombre rationnel a un opposé dans Q.
- Tout nombre rationnel k non nul a un inverse dans Q noté k-1 .
On a : k x k-1 = 1.
L’inverse de a/b est b/a et on a : a/b x b/a = 1
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Propriétés (addition et soustraction dans Q) :
- Les dénominateurs sont les mêmes :
Pour additionner (ou soustraire) deux nombres relatifs en écriture
fractionnaire de même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les
numérateurs et on garde le même dénominateur.
si k≠0, on a donc :
-Les dénominateurs sont différents :
Pour additionner (ou soustraire) deux nombres relatifs en écriture
fractionnaire de dénominateurs différents, on les réduit au même
dénominateur.
Si b et d sont tous deux non nuls,
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Propriétés (multiplication et division dans Q) :
- Multiplication:
Pour multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, on
multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Avec b ≠ 0 et d ≠ 0, on a :
- Division:
Pour diviser par
On a donc :
(avec c≠0 et d≠0) on multiplie par son inverse
avec b ≠ 0 et d ≠ 0
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Propriété :
L’ensemble Q des rationnels est dit « clos » pour
l’addition, la multiplication et leurs opérations
réciproques.
En effet, la somme, la différence, le produit et le
quotient de deux rationnels sont des rationnels (avec la
restriction d’un rationnel non nul pour le quotient).
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Q est un ensemble totalement ordonné.
Si a et b sont deux rationnels, on a : a ≤ b ou b ≤ a.
Entre deux rationnels, on peut toujours placer un
rationnel.
Par exemple : entre 17/31 et 18/31, on peut placer ….
35/62.
En effet : 17/31 = 34/62 et 18/31 = 36/62
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En fait de proche en proche, on peut toujours placer une
infinité de rationnels entre deux rationnels.
L’ensemble des rationnels permet de densifier la droite
numérique puisque, entre deux points repérés par deux
rationnels, on peut en repérer une infinité d’autres.
On dit que l’ensemble Q est dense dans l’ensemble des
réels.
Malgré cette densification, certains points ne peuvent être
repérés par un nombre rationnel. Les rationnels laissent
encore des « trous » dans la droite. La création de nouveaux
nombres devient nécessaire pour résoudre ce problème : les
nombres réels qui comprennent les nombres irrationnels.
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III/ Les nombres décimaux.
La création des nombres décimaux répond au problème
suivant :
Comment s’approcher le plus près que l’on veut de tout
nombre rationnel par des fractions décimales, tout en
étendant le système décimal d’écriture à la partie
fractionnaire inférieure à 1 ?
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- L’écriture décimale des nombres a été élaborée
définitivement au XVe siècle par le mathématicien
persan Al-Kashi.
- En Europe, l’utilisation des décimaux est popularisée par
Simon Stévin au XVIe siècle grâce à son ouvrage La Disme
(1585).
- En France, la popularisation de l’écriture
à virgule des décimaux est intimement liée
au développement du système métrique à la fin du
XVIIIe siècle.
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Définition :
Un nombre décimal est un nombre possédant un
développement décimal limité et pouvant s'écrire sous la
forme a x 10p (où a et p sont des entiers relatifs).
Ce n'est pas le cas, par exemple, du nombre Pi qui
possède cependant autant d'approximations décimales
que l'on veut :
L’ensemble des nombres décimaux est noté ID.
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Caractérisation :
Si a est un nombre rationnel, les propriétés
suivantes sont équivalentes et caractérisent le fait
que le nombre a est décimal
a admet un développement décimal limité.
Il existe un entier m et un naturel n tels que :
La fraction irréductible de a est de la forme
,
où b est un entier relatif et m et p des entiers naturels.
a possède deux développements décimaux distincts.
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Exemples et remarques :
La première assertion prouve que 1,6666 est
un nombre décimal et que 1,6666... (qui
s'écrirait avec une infinité de 6) n'en est pas
un.
La deuxième assertion nous dit que
est
un nombre décimal, mais elle ne peut pas être
utilisée pour prouver qu'un nombre n'est pas
décimal.
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La troisième assertion nous donne une méthode pour
reconnaître si un nombre rationnel est décimal : il suffit de
déterminer sa fraction irréductible.
Par exemple en calculant le PGCD de son numérateur et de
son dénominateur, il suffit de tester si le dénominateur est
uniquement divisible par 2 et 5.
La quatrième assertion fait souvent figure de « curiosité ».
Le nombre 2,5 peut aussi être écrit 2,4999... (avec une
infinité de 9).
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Exercice sans calculatrice:
337/400 est-il décimal ?
Oui, car 400 = 24 x 54 .
8/17 ?
1096/152 ?
Non, car 8/17 est irréductible et le
dénominateur 17 est premier autre
que 2 et 5.
Non, car 1096/152 = 137/19 fraction
irréductible avec 19 nombre premier
autre que 2 et 5
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Ecriture des décimaux :
Ecritures fractionnaires décimales des
décimaux :
partie entière et partie décimale :
1735/1000 = 1 + 735/1000 = 1 + 700/1000 + 30/1000 + 5/1000
1 est la partie entière et 735/1000 est la partie fractionnaire
décimale du nombre décimal 1735/1000.
Par abus de langage, la partie fractionnaire décimale est
appelée « partie décimale du nombre décimal ».
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Ecriture à virgule :
L’écriture à virgule étend le principe de la numération décimale
pour exprimer la partie fractionnaire décimale des décimaux.
1735/1000 s’écrit 1,735.
La partie entière est 1 et la partie décimale est 0,735.
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Ecriture à virgule de certains décimaux
écrits sous forme fractionnaire :
Les nombres rationnels dont la fraction irréductible a un
dénominateur de la forme 2n x 5p sont des décimaux. Ces
rationnels s’expriment donc également sous forme d’une
écriture à virgule.
1/2 = 5/10 = 0,5 ; 1/4 = 25/100 = 0,25 ; 1/5 = 2/10 = 0,2 ;
1/10 = 0,1 ; 1/16 = 625/10 000 = 0,0625 ; etc.
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ATTENTION ! La forme de l’écriture d’un nombre ne
détermine pas la nature du nombre.
13 est un nombre entier naturel, mais également un
nombre rationnel et un nombre décimal.
1,3 est l’écriture à virgule d’un nombre décimal, mais ce
nombre est également un nombre rationnel.
Il s’écrit 13/10 sous forme fractionnaire.
1/4 est l’écriture fractionnaire d’un nombre décimal
(c’est 0,25).
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Quelques propriétés :
- ID est un ensemble totalement ordonné.
Quels que soient les décimaux a et b, on a soit a ≤ b, soit a ≥ b.
Entre deux décimaux, on peut toujours intercaler un autre
décimal.
On peut donc intercaler une infinité de nombres décimaux entre
deux décimaux.
On dit que l’ensemble ID est dense dans l’ensemble des nombres
réels.
- La somme et la différence de deux décimaux est un décimal.
- Le produit de deux décimaux est un décimal.
- Le quotient de 2 rationnels a et b (b≠0) est un rationnel, mais le
quotient de deux décimaux n’est pas toujours un décimal (par
exemple : 1/3).
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Valeurs approchées par défaut et par excès, valeurs
arrondies d’un décimal.
Soit le décimal a = 7,45601.
7,4 est la valeur approchée à 0,1 près (ou à 10-1 près) par
défaut de a.
7,5 est la valeur approchée à 0,1 près (ou à 10-1 près) par
excès de a.
7,4 < a < 7,5 est un encadrement du décimal a à 0,1 près
(ou à 10-1 près). La différence entre les bornes est 0,1.
7,5 est la valeur arrondie à 10-1 près de a.
Tronquer un nombre, c’est enlever un certain nombre de
chiffres significatifs. 7,45 est la troncature de a au
centième.
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IV/ Les nombres réels.
Les rationnels ne permettent pas de modéliser toutes les
mesures des grandeurs.
Il a fallu inventé d’autres nombres que les rationnels , les
irrationnels, pour rendre modéliser la continuité des
nombres.
L’ensemble des nombres réels, noté IR, inclut les nombres
rationnels et les nombres irrationnels.
A chaque point d’une droite, sur laquelle on a fixé une
origine, il est possible d’associé un nombre réel.
Les nombres réels remplissent donc la droite réelle : ils
ne laissent aucun trou.
Les naturels, les entiers relatifs, les décimaux et les
rationnels sont des nombres réels.
On a donc les inclusions, suivantes :
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IN Z ID Q IR
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Ecritures décimales illimitées des nombres réels.
L’écriture à virgule d’un décimal est limitée : il y a un
nombre limité de chiffres significatifs après la virgule.
Les rationnels qui sont des décimaux ont donc une
écriture décimale limitée. Par exemple : 1/4 = 0,25.
Le rationnel 1/3 n’est pas un décimal. On obtient :
1/3 = 0,33333…
0,33 est une valeur approchée à 10-2 près par défaut de 1/3.
0,33333… est l’écriture décimale illimitée du rationnel 1/3.
Cette écriture possède une période d’un chiffre, c’est-àdire qui se répète indéfiniment.
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Les opérations dans IR :
L’addition dans IR est commutative et associative.
0 est élément neutre de l’addition.
Chaque nombre réel x a un opposé x’ dans IR : x +
(x’) = 0.
x’ = opp(x) = - x
D’autre part, soustraire un réel, c’est lui ajouter
son opposé.
Si a et b sont deux réels, a-b = a+opp(b).
a-b est la différence des deux réels.
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La multiplication dans IR est commutative et
associative.
1 est élément neutre de la multiplication.
Tout nombre réel non nul x a un inverse x’ dans IR :
x . (x’) = 1.
x’ = inv(x) = 1/x
D’autre part, la multiplication est distributive par
rapport à l’addition dans IR.
Quels que soient les réels a, b et c on a :
( a + b) x c = ac + bc.
La relation ≤ est une relation d’ordre total dans IR.
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V. DIDACTIQUE :
1/ L’ enseignement des nombres rationnels et
décimaux à l’école primaire :
Cycle 3
Cycle 2
Dans les programmes
Problèmes et
procédures
Langage
Seuls les nombres entiers sont enseignés. Mais les élèves sont confrontés à
la nécessité d’utiliser plusieurs unités pour exprimer une mesure :
4 € 15, 2m 25cm
Fractions et nombres décimaux
- Comparaison, encadrement,
intercalation sur les décimaux.
- Valeur approchée d’un
décimal.
- Décomposition avec 1000;
100; 10 ; 0,1; 0,01…
-Pour exprimer une
mesure à l’aide d’une
seule unité ou le résultat
d’un partage;
- Pour repérer des points
sur une droite.
- Pour approcher
certains quotients
d’entiers.
-Écritures
fractionnaires et
écritures
décimales.
-Lecture courante
et lecture
« signifiante ».
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Au cycle 2, les élèves élaborent certaines
connaissances issues de pratiques sociales sur :
- les fractions simples : à travers des
expressions comme « un demi », « un quart »
- des expressions composées qui font
intervenir plusieurs unités : 3h25min,
3m25cm…)et des expressions à virgules
(comme 3€25).
Toutefois, les nombres décimaux n’ont pas été
introduits.
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Au cycle 3 (plus particulièrement au CM):
- les fractions apparaissent comme des nouveaux
nombres, utiles pour traiter des problèmes que les
nombres entiers ne permettent pas de résoudre.
- L’élève doit être capable de désigner un nombre
décimal par différentes écritures (à virgule ou
fractionnaire).
- Il acquiert progressivement une maîtrise de l’ordre sur
les décimaux. , développe une pratique de calcul exact
ou approché et aborde des problèmes relevant de
l’addition et de la soustraction de deux décimaux, de la
multiplication d’un décimal par un entier.
- L’enseignement sur les décimaux et les rationnels se
poursuit au collège.
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2/ Les principaux problèmes envisageables à l’école.
a/ Les fractions et les décimaux pour exprimer une mesure.
A l’école primaire, le plus souvent, les
fractions et les écritures additives d’entiers
et de fractions sont introduites comme des
outils pour communiquer des mesures
(longueur, aire…) à partir d’une unité dans
des cas où cette mesure ne s’exprime pas par
un nombre entier d’unités.
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Exemple : première situation à laquelle sont confrontés les élèves.
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b/ Les fractions et les décimaux pour repérer des points
situés sur une droite.
Exemple : CM2
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c/ Les nombres décimaux et le système métrique.
Un travail en relation avec le système d’unités de
mesure permet d’utiliser les décimaux dans de
nouveaux contextes en exprimant avec ces nombres
des mesures formulées auparavant sous la forme
d’expressions complexes faisant intervenir plusieurs
unités comme 4m 7cm, qui sera désormais codé avec
la seule unité mètre 4,07 m.
D/ Fractions, décimaux et quotients d’entiers.
Au cycle 3, la fraction 4/3 est liée au fait
qu’on a reporté 4 fois le tiers de l’unité.
Pour les élèves : 4/3 c’est donc 4 x 1/3.
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L’enseignant de 6ème a donc à établir que
« quatre fois 1/3 » est égal au « tiers de 4 ».
Comment ?
En proposant le problème suivant :
« Trouver le nombre manquant pour que cette
égalité soit vraie : 3 x … = 4 ».
Ils penseront à diviser 4 par 3 et 4/3 est donc pensé
comme le « tiers de 4 ».
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3/ Erreurs d’ élèves.
2,4 + 3,6 = 5,10
2,6 x 4 = 8, 24
Entre 1,5 et 1,6 il n’y a pas de nombres
1,5 < 1,16
Le chiffre des centièmes de 2,145 est 1
1,9 = 1/9 = un neuvième
2,9 x 10 = 20,9
2,9 x 100 = 20,90
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Taux de réussite - EVA6eme06
80% - 77 % - 77%
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Taux de réussite - EVA6eme06
50%
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Taux de réussite - EVA6eme06
34% - 20% - 22%
Slide 50
Taux de réussite - EVA6eme06
90% - 30%
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Bibliographie :
- Les mathématiques au concours de professeur des écoles,
Alain Descaves, Hachette 2005
- Mathématiques Tome 2, Roland Charnay & Michel Mante,
HATIER CONCOURS 2008
- Quelques extraits du cours de préparation au CRPE
(session 2009-2010) de Michel Bourguet, ancien
formateur de mathématiques de l’IUFM de Polynésie
française.
- CD « Microsoft Encarta » 2006
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Cours sur les nombres non entiers
FIN
David Rolland, IUFM de la Polynésie française