Transcript Powerpoint Didactique

L’APPRENTISSAGE DES
FRACTIONS ET DES
NOMBRES DECIMAUX
du CYCLE 3 à la 6ème.
Stages interdegré
- 2012 -
LES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES
 PRINCIPES GÉNÉRAUX D’ENSEIGNEMENT
 HISTORIQUE (DISME ET STÉVIN)
 DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE3
 DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈME
 LES NOMBRES: ÉCRITURE ET NATURE
 BIBLIOGRAPHIE
LES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES
DIFFICULTÉS RELATIVES À LA
COMPRÉHENSION DES NOMBRES
DÉCIMAUX :

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Les évaluations 6ème et CM2 mettent en évidence
que certains élèves semblent considérer que la
virgule sépare deux nombres entiers : ils traitent la
partie décimale comme un entier.
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LES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES
RÉFLEXIONS SUR UN « TEST »:
J. Bolon a proposé la tâche suivante à des élèves
depuis la fin du CM1 jusqu’à la 5e :
« Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche :
6,9 ou 7,08 ? »
 Réussite obtenue:

CM1
 CM2
 6°
 5°

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22%
30%
27%
29%
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LES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES
RÉFLEXIONS SUR UN « TEST »:
Double conclusion:
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne
conceptualisation des décimaux dès la fin du
CM1 (Cf. le pourcentage de réussite observé).

2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les
décimaux à ce moment, ne les comprendront
vraisemblablement pas beaucoup mieux dans les
quelques années qui suivent.
=> Importance du travail initial à l’école.
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LES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES
OBSTACLES

Les règles de fonctionnement des entiers ne
peuvent être étendues aux décimaux. Elles ne sont
pas supprimées pour autant.
→ Instabilité des connaissances
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LES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES
ORIGINE DES DIFFICULTÉS:
1. La façon d’écrire, de lire et de dire les nombres
décimaux (« 3 virgule 8 »).
2. Dans la vie quotidienne, l’utilisation des nombres
décimaux renforce l’idée de juxtaposition de deux
entiers (7€35 ou 7h35min).
3. Les techniques de calcul, pour ces nombres, sont
les mêmes que pour les entiers.
4. Les « recettes » mnémotechniques employées
parfois pour la comparaison des nombres décimaux.
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LES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES
Ces difficultés masquent la nature de « fraction »
des nombres décimaux et peuvent conduire de
très nombreux élèves à les assimiler à des
entiers.
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 PRINCIPES GÉNÉRAUX D’ENSEIGNEMENT
1/ Les nombres décimaux ne sont pas seulement
des nombres à virgule ; ils sont aussi et surtout
représentés par des fractions décimales.
2/ Les nombres décimaux sont des nombres
rationnels inventés pour approcher d’aussi près
que l’on veut la mesure d’une grandeur continue.
3/ Enseigner d’abord les décimaux sous forme de
fractions décimales puis, dans un deuxième
temps, l’écriture à virgule de ces fractions
décimales.
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 PRINCIPES GÉNÉRAUX D’ENSEIGNEMENT
4/ Pour enseigner les décimaux, utiliser d’abord des
unités de mesure non conventionnelles pour
favoriser l’appropriation de l’idée de
fractionnement et éviter la confusion avec les
entiers.
5/ Enseigner l’écriture à virgule comme un simple
changement de notation.
6/ Faire oraliser systématiquement les nombres à
virgule, en explicitant les dixièmes, centièmes,
etc.
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 HISTORIQUE (DISME ET STÉVIN)

Première page de La Disme de Simon Stevin (édition de 1585)
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HISTORIQUE (DISME ET STÉVIN)
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DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3
Au cycle 3, approche de la fraction dans le but
d’aider à la compréhension des décimaux
 Les fractions sont des nouveaux nombres utiles
pour résoudre des problèmes où les nombres
entiers sont insuffisants.
 Quelques fractions (1/2, 1/3, 1/4, 1/8..) peuvent
être illustrées ou évoquées en référence à des
pliages successifs ou bien l’on peut avoir recours
à un réseau de droites parallèles équidistantes
qui permet de partager une longueur en
plusieurs longueurs égales, sans recours à la
division. (machine à partager)

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 DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3
CM2
7/3 c'est « 7 fois un tiers »
Le dénominateur nomme le type de partage de
l’unité (en parts égales) alors que le numérateur
précise le nombre de parts qui seront reportées
 Collège
7/3 devient « le tiers de 7 ».
7 : 3 = 7/3 (pas d’opération en suspend)

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DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3


Les écritures à virgule prennent un sens en étant
mises en relation avec les fractions décimales
(introduction historique des décimaux).
La valeur d’un chiffre est dix fois plus petite que
celle du chiffre écrit à sa gauche et dix fois plus
grande que celle de celui qui est écrit à sa droite.
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DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3


La notion de valeur approchée fait l’objet d’un
premier travail qui doit prendre sens pour l’élève,
en relation avec un contexte issu de la vie
courante.
Développer des représentations mentales à
propos de certains nombres et des relations qui
les lient 0,1 et 1/10 ainsi que 0,5 et ½….
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DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈME
 La
difficulté de l’apprentissage des
nombres décimaux tient notamment au
fait que celui-ci nécessite la
compréhension de propriétés ou de
techniques dont les unes sont en
continuité et les autres en rupture avec
celles des entiers naturels.
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DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈME
Nombres entiers  nombres décimaux
rupture
Par exemple :
23  10 = 230
2,3  10 = 23
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2,3  10 =
2,30 20,30 20,3
La virgule a-t-elle bougé ?...
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DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈME

Un premier objectif du collège est donc d’aider les
élèves à différencier la nature d’un nombre de
son écriture, notamment en mettant en relation
différentes désignations d’un même nombre.
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 DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈME


le nombre dix-sept peut s’écrire 17 ou 34/2 ou
17,00 (écriture souvent utilisée pour les prix), etc.
Dans tous les cas, c’est un nombre entier (et
aussi un nombre décimal…) ;
le nombre deux plus cinq dixièmes peut s’écrire
2,5 ou 2,50 (cas des prix, toujours) 5/2, etc. Dans
tous les cas, c’est un nombre décimal.
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LES NOMBRES
ECRITURE D’UN NOMBRE:
Exercice 1
Combien de nombres différents sont écrits ?
800/100
24
1–
0,4
6+2
8,00
80/10
0,6
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16 : 2
6  0,1
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LES NOMBRES
NATURE D’UN NOMBRE:
Exercice 2 (sixième)
Voici une liste de nombres :
6/2 6/4 6/7 7/10 14/5 8/3
3/2
.
 Parmi les nombres de la liste, lesquels ne sont ni
entiers, ni décimaux ?
 Parmi les nombres de la liste, lesquels sont
égaux ?
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BIBLIOGRAPHIE
Brochure « Des nombres au collège : parcours
vers le réel », de la CII Collège
 « ERMEL : Apprentissages numériques et
résolutions de problèmes », INRP, Hatier
 « Les fractions et les décimaux au CM1 - Une
nouvelle approche » Conférence de Rémi
BRISSIAUD - IUFM de Versailles
 « La machine à partager - Fractions et décimaux
au cours moyen » - C. Houdement – IREM Haute
Normandie

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