Transcript Powerpoint formateurs

L’APPRENTISSAGE DES
FRACTIONS ET DES
NOMBRES DECIMAUX
du CYCLE 3 à la 6ème.
Stages interdegré
- 2011 -
 LES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES
 PRINCIPES GÉNÉRAUX D’ENSEIGNEMENT
 HISTORIQUE (DISME ET STÉVIN)
 DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3
 DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈME
 DES ACTIVITÉS ET DES OUTILS
 LES NOMBRES: ÉCRITURE ET NATURE
 EXEMPLE DE PROGRAMMATION CYCLE3-6ÈME
 EXEMPLE DE PROGRESSION 6ÈME
 BIBLIOGRAPHIE
LES
DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES
DIFFICULTÉS RELATIVES À LA
COMPRÉHENSION DES NOMBRES DÉCIMAUX

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:
Les évaluations 6ème et CM2 mettent en évidence
que certains élèves semblent considérer que la
virgule sépare deux nombres entiers : ils traitent la
partie décimale comme un entier.
Suite
LES
DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES
RÉFLEXIONS SUR UN « TEST »:
J. Bolon a proposé la tâche suivante à des élèves
depuis la fin du CM1 jusqu’à la 5e :
« Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche :
6,9 ou 7,08 ? »
 Réussite obtenue:

CM1
 CM2
 6°
 5°

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22%
30%
27%
29%
Suite
LES
DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES
RÉFLEXIONS SUR UN « TEST »:
Double conclusion:
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne
conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1
(Cf. le pourcentage de réussite observé).

2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les
décimaux à ce moment, seront vraisemblablement
confrontés à des obstacles dans les quelques
années qui suivent.
=> Importance du travail initial à l’école.
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DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈME
Les nombre décimaux entre continuité et rupture …
 La
difficulté de l’apprentissage des
nombres décimaux tient notamment au
fait que celui-ci nécessite la
compréhension de propriétés ou de
techniques dont les unes sont en
continuité et les autres en rupture avec
celles des entiers naturels.
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LES
DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES
OBSTACLES

Les règles de fonctionnement des entiers ne
peuvent être entièrement étendues aux décimaux.
Elles ne sont pas supprimées pour autant.
→ Instabilité des connaissances
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DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈME
Nombres entiers  nombres décimaux
rupture
Par exemple :
23  10 = 230
2,3  10 = 23
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2,3  10 =
2,30 20,30 20,3
La virgule a-t-elle bougé ?...
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DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3


Les écritures à virgule prennent un sens en étant
mises en relation avec les fractions décimales
(introduction historique des décimaux).
La valeur d’un chiffre est dix fois plus petite que
celle du chiffre écrit à sa gauche et dix fois plus
grande que celle de celui qui est écrit à sa droite.
Travail sur l’échange : La cible.
La cible

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LES
DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES
ORIGINE DES DIFFICULTÉS:
1. La façon d’écrire, de lire et de dire les nombres
décimaux (« 3 virgule 8 »).
2. Dans la vie quotidienne, l’utilisation des nombres
décimaux renforce l’idée de juxtaposition de deux
entiers (7€35 ou 7h35min).
3. Les techniques de calcul, pour ces nombres, sont les
mêmes que pour les entiers.
4. Les «recettes» mnémotechniques employées parfois
pour la comparaison des nombres décimaux, ou pour
certaines opérations (multiplication par 10, 100..)
Quelques outils ●Une réglette. (tableau_virgule)
● Un tableur: mult div 10 100 1000 tableur.ods
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
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LES
DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES
Ces difficultés masquent la nature de « fraction »
des nombres décimaux et peuvent conduire de
très nombreux élèves à les assimiler à des
entiers.
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 PRINCIPES
GÉNÉRAUX D’ENSEIGNEMENT
1/ Les nombres décimaux ne sont pas seulement
des nombres à virgule ; ils sont aussi et surtout
représentés par des fractions décimales.
2/ Les nombres décimaux sont des nombres
rationnels inventés pour approcher d’aussi près
que l’on veut la mesure d’une grandeur continue.
3/ Enseigner d’abord les décimaux sous forme de
fractions décimales puis, dans un deuxième
temps, l’écriture à virgule de ces fractions
décimales.
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Suite
 PRINCIPES
GÉNÉRAUX D’ENSEIGNEMENT
4/ Pour enseigner les décimaux, utiliser d’abord des
unités de mesure non conventionnelles pour
favoriser l’appropriation de l’idée de
fractionnement et éviter la confusion avec les
entiers.
5/ Enseigner l’écriture à virgule comme un simple
changement de notation.
6/ Faire oraliser systématiquement les nombres à
virgule, en explicitant les dixièmes, centièmes etc.
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 HISTORIQUE (DISME

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ET
STÉVIN)
Première page de La Disme de Simon Stevin (édition de 1585)
Suite
HISTORIQUE (DISME
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ET
STÉVIN)
DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3



Menu
Au cycle 3, approche de la fraction dans le but
d’aider à la compréhension des décimaux
Les fractions sont des nouveaux nombres utiles
pour résoudre des problèmes où les nombres
entiers sont insuffisants.
Quelques fractions (1/2, 1/3, 1/4, 1/8..) peuvent
être illustrées ou évoquées en référence à des
pliages successifs ou bien l’on peut avoir recours
à un réseau de droites parallèles équidistantes
qui permet de partager une longueur en
plusieurs longueurs égales, sans recours à la
division. (machine à partager)
Suite
DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3


Menu
La notion de valeur approchée fait l’objet d’un
premier travail qui doit prendre sens pour l’élève,
en relation avec un contexte issu de la vie
courante.
Développer des représentations mentales à
propos de certains nombres et des relations qui
les lient 0,1 et 1/10 ainsi que 0,5 et 1/2….
1- La fraction partage
EXEMPLE D’ACTIVITE: les bandelettes.
Consigne: 1er temps
1)
2)
3)
4)
5)
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Rangez vos instruments.
Vous allez recevoir une feuille sur laquelle sera
indiqué votre numéro de groupe (un numéro et la
lettre A ou B).
Sur cette feuille, sont tracés plusieurs segments
Vous aurez une feuille navette pour envoyer un
message : le professeur fera le facteur.
Chaque groupe doit envoyer un message au groupe
qui a le même numéro que lui. Le but du message
est de faire reproduire le segment de votre choix,
sans faire de dessin sur le message.
Suite


2ème temps:
Essayer de faire un dessin qui correspond au
message qui vous a été envoyé pour l’autre
groupe.
3ème temps:
Rencontre et contrôle : le segment réalisé est-il
le même que celui de départ ?
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Suite
Objectifs
o
o
o
Menu
Montrer l’insuffisance des nombres entiers pour
effectuer des mesures.
les fractions traduisent les actions menées.
Plusieurs écritures peuvent désigner la même
mesure: 1/2u +1/2u =1u ; 1u +1u +1/2u = 2u+1/2u
Suite
Exercice 1
A l'aide de votre bandelette et sans mesure supplémentaire,
construire des segments de longueurs: ½u ; ¼u ; 1+½u ; 2u
Exercice 2
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Suite
♦ Un partage plus ’’délicat’’
Comment partager une bande en 7 parties égales ?
ierguideane.g2w
Objectif présenter une machine à partager : le guide-âne
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 DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3
Menu
 Guide_démo.g2w
Activité papier à partager
Suite
Vers le repérage sur la demi-droite graduée
SÉANCE
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1 : PARTAGE À MAIN-LEVÉE
Suite
OBJECTIFS

Distinguer le rôle du dénominateur, puis celui du
numérateur.
Expliciter les procédures: exemple pour
placer 5/4 on utilise ses différentes écritures

-
Notion d’unité et d’abscisse, double usage de ces nouveaux
nombres :
représenter une longueur de bande
repérer un point de la demi-droite des nombres.

Erreurs du type 1/3 = 1,3.

-
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Suite
SÉANCE
2: À L’AIDE DE GRADUATIONS PRÉDÉFINIES
SÉANCE
3 : ÉGALITÉS DE FRACTIONS ET REPÉRAGE
Menu
Egalité de fractions et repérage
Suite
Exercice (Fractions et repérages)
Place le plus précisément possible les nombres
suivants: 1/2; 1/3; 1/5; 9/7; 3/5; 5/3 ; 9/3
Tu peux prolonger la demi-droite si c’est nécessaire.
Objectifs:
- Utiliser le guide-âne pour effectuer des graduations
- Faire le lien entre des fractions de même dénominateur.
Exercice 2 (fractions et aires)
Fractions et aires de carrés
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 DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3


CM2
7/3 c'est « 7 fois un tiers »
Le dénominateur nomme le type de partage de
l’unité (en parts égales) alors que le numérateur
précise le nombre de parts qui seront reportées
Collège
7/3 devient « le tiers de 7 ».
7 : 3 = 7/3 (pas d’opération en suspend)
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2- En sixième, la fraction quotient
séance 1:
Compléter les égalités suivantes:
4 × … = 20
c) 16 × … = 432
e) 5 × … = 2
g) 0 × … = 3
a)
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b) ... × 7 = 7
d) 15 × … = 48
f) … × 2 = 1
h) 3 × … = 4
Suite
séance 2: la puce
Une puce se déplace sur une demi-droite graduée
ci-dessous en faisant des bonds de longueur OA.
Au bout de combien de bonds tombe-t-elle pour la
première fois sur un nombre entier et quel est ce
nombre ?
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Sauts de puce
Objectifs :
4/3 est le nombre qui vérifie :
3 × 4/3 = 4
C’est le quotient de 4 par 3.
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séance 3: le retour de la puce
Une puce est partie du point D d’abscisse 0 et est arrivée au
point F d’abscisse 4, en faisant 3 bonds de même longueur.
Où est arrivée la puce au bout d’un bond ? Quelle est la longueur
De ce bond ?
Objectif:
Utilisation de la machine à partager pour montrer que montrer que
4/3 (vision cycle 3) est le même nombre que le tiers de 4 (vision 6ème)
Autre activité (Partage de cakes)
Objectif: Montrer que 1/4 de 3 est égal à 3/4:
Menu
Cakes
Suite
Exercice (Proportionnalité et repérage)
Place 12; 72; 54 sur cette demi-droite.
Tu peux la prolonger si cela te paraît nécessaire:
Objectifs:
- Exploiter la proportionnalité.
- Mettre en œuvre la notion de quotient dans une situation
de repérage.
- Travailler la notion de fraction de…
Menu
Suite
En sixième on entreprend de « prendre une
fraction d’un nombre »
Exemple d’activité:
Prendre un nombre de
Menu
Suite
Produit de nombres décimaux
Utilisation des aires: exemple d’activité
1ère séance (6 rectangles de même périmètre)
Consigne:
Sur une feuille de papier millimétré,
dessiner 6 rectangles de périmètre 10 cm.
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Suite
6 rectangles de même périmètre.
2ème séance:
Consigne : Voici des rectangles obtenus à la séance 1.
Quel est le rectangle de plus grande aire ?
Menu
Suite
1ère séance
Consigne 1:
Sur une feuille de papier millimétré,
dessiner 6 rectangles de périmètre 10 cm.
Menu
Suite
DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈME
Différentes désignations d’un nombre décimal

Menu
Un premier objectif du collège est donc d’aider les
élèves à différencier la nature d’un nombre de
son écriture, notamment en mettant en relation
différentes désignations d’un même nombre.
Suite
 DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈME


Menu
le nombre dix-sept peut s’écrire 17 ou 34/2 ou
17,00 (écriture souvent utilisée pour les prix), etc.
Dans tous les cas, c’est un nombre entier (et
aussi un nombre décimal…) ;
le nombre deux plus cinq dixièmes peut s’écrire
2,5 ou 2,50 (cas des prix, toujours) 5/2, etc. Dans
tous les cas, c’est un nombre décimal.
LES
NOMBRES
ECRITURE D’UN NOMBRE:
Exercice 1
Combien de nombres différents sont écrits ?
800/100
24
1 – 0,4
6+2
8,00
0,6
16 : 2
80/10
6  0,1
Exercice 2 (sixième)
Fractions et nombres décimaux:
Fractions d’aire et nombres décimaux
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Suite
LES
NOMBRES
ECRITURES D’UN NOMBRE:
Deux virgule quarante-six
2 +46x0,01
2+ (4x0,1)+(6x0,01)
2 +6/100+4/10
2,46
246/100
Vingt-quatre
dixièmes et six
centièmes
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2+ 46/100
Deux unités et
quarante-six
centièmes
Suite
LES
NOMBRES
NATURE D’UN NOMBRE:
Exercice 3 (sixième)
Voici une liste de nombres :
6/2 6/4 6/7 7/10 14/5 8/3 3/2
.
 Parmi les nombres de la liste, lesquels ne sont ni
entiers, ni décimaux ?
 Parmi les nombres de la liste, lesquels sont
égaux ?
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EXEMPLE
Menu
DE PROGRAMMATION CYCLE
3- 6ÈME
Suite
PROGRAMMES ET SOCLE COMMUN

Programmation CM1 - numération
EXEMPLE
DE PROGRESSION
6ÈME
I Reprise et consolidation du Cycle 3
1. Les nombres entiers
2. Les fractions
Comparaison de longueurs : directe, mesure avec
des unités non usuelles.
Activité Bandelette avec échange de messages par
binôme
Présentation de la machine à partager
Menu
Suite
EXEMPLE
DE PROGRESSION
6ÈME
3. Les fractions décimales et les nombres
décimaux
Sur demi-droite graduée, partage de l’unité en
dix parts égales puis en cent parts.
Texte de la Disme de Simon STEVIN pour
arriver à l’écriture décimale
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Suite
EXEMPLE
DE PROGRESSION
6ÈME
II -Programme de Sixième
Les nombres rationnels
● Activité Multiplications à trou suivi du Saut de puce: la
notion de quotient.
● Activité Le retour de la puce : utilisation de la machine
à partager pour montrer que les « 4 tiers » est le même
nombre que « le tiers de 4 ».
- Activité : partage de cakes
● Transversalement, un travail sur les différentes
écritures d’un nombre doit être mené.
● Comparaison 1/10 ; 1/100 … (exemple : « La cible »)
● Le calcul mental régulier est à poursuivre dans la
continuité de l’école primaire (compter de 0,1 en 0,1;
peut-on trouver un nombre entre 2,3 et 2,4 ...)
● Utilisation de la calculatrice pour aider à comprendre
calculatrice
Menu les nombres décimaux.
Suite
BIBLIOGRAPHIE
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Menu
Brochure « Des nombres au collège : parcours vers le réel »,
de la CII Collège
« ERMEL : Apprentissages numériques et résolutions de
problèmes », INRP, Hatier
« Les fractions et les décimaux au CM1 - Une nouvelle
approche » Conférence de Rémi BRISSIAUD - IUFM de
Versailles
« La machine à partager - Fractions et décimaux au cours
moyen » - C. Houdement – IREM Haute Normandie
La sixième entre fractions et décimaux (Irem de Lyon)
Des nombres au collège
Parcours vers le réel Brochure APMEP No181
Irem Lyon ( activité des rectangles)
Entrées dans l’algèbre 6e et 5e( Irem de Bordeaux1)