Animation pédagogique Circonscription de Valenciennes –Bruay DES FRACTIONS AUX DÉCIMAUX LES ENJEUX DIDACTIQUES LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES DIFFICULTÉS.
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Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 2
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 3
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 4
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 5
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 6
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 7
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 8
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 9
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 10
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 11
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 12
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 13
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 14
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 15
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 16
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
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Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 18
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 19
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 20
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 21
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 22
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 23
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 24
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 25
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 26
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 27
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 28
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 29
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 30
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 31
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 32
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 33
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 34
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 35
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 36
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 37
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 38
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 39
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 40
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 41
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 42
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 43
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 44
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 45
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 46
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 2
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 3
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 4
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 5
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 6
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 7
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 8
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 9
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
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Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 11
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 12
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 13
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 14
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 15
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 16
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 17
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 18
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 19
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 20
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 21
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 22
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 23
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 24
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 25
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 26
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 27
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 28
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 29
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 30
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 31
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 32
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 33
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 34
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 35
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 36
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 37
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 38
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 39
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 40
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 41
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 42
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 43
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 44
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 45
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2
Slide 46
Animation pédagogique
Circonscription de Valenciennes –Bruay
DES FRACTIONS
AUX DÉCIMAUX
LES ENJEUX DIDACTIQUES
LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE
CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES
DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?
Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :
Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *
* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
Classe
CM1
CM2
6e
5e
Réussite
22%
30%
27%
29%
Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation
des décimaux dès la fin du CM1.
2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce
moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup
mieux dans les années qui suivent.
L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres
de CM1 concernant les décimaux est donc
crucial !
DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES
-
Proposer des activités qui permettent de
prendre conscience que:
les fractions et les nombres décimaux permettent de
pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la
résolution de problèmes de mesures ou de partage).
-
certains raisonnements ou certaines procédures
correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus
l’être avec les nombres décimaux et les fractions.
-
l’ensemble des nombres décimaux est un sousensemble de celui des fractions (ensemble des fractions
décimales).
UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES
REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…
-
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.
-
Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur
est grande.
-
Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers,
séparés par une virgule.
-
Le produit de deux nombres est toujours supérieur à
chaque facteur du produit.
-
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire
0, 00, 000 à droite du nombre.
… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES
-
La façon courante de lire les nombres décimaux:
7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ».
-
Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à
l’unité »
-
Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière
des mesures entières:
7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.
-
Certains moyens mnémotechniques employés par les
enseignants.
LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS
OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE
On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien
avec les mesures de grandeurs:
- Les prix
- Les distances
- Les masses
- Les contenances
Communication massive de données (intéressantes d’un point
de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….
MAIS…
… des changements majeurs interviennent depuis le début du
XXe siècle:
- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)
-
Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi,
tiers, quart).
QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT
D’ABORDER LES FRACTIONS
Compétences de fin de CE1:
« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »
« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »
Compétences de CE2:
« Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié,
triple, quart d’un nombre entier »
« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres
d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »
Ces compétences sont indispensables.
Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.
LES FRACTIONS
PETITS RAPPELS
Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un
nombre rationnel.
Le nombre rationnel
est l’unique solution de l’équation:
x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)
x
Le nombre rationnel
peut être considéré comme le quotient
des deux nombres entiers a et b .
a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les
sépare est le trait de fraction.
Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est une puissance de 10.
Les nombres rationnels qui possèdent une écriture
fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.
Passage des nombres entiers aux fractions
= saut conceptuel.
Nécessite d’y consacrer du temps.
Conséquence sur les programmations:
Les apprentissages sur les fractions doivent
commencer très tôt dans l’année de CM1.
Nombres et calcul
LES PROGRAMMES
CE2
CM1
CM2
Les nombres entiers jusqu’au
million
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au million.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart d’un
nombre entier.
Connaître et utiliser certaines
relations entre des nombres
d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au
milliard
Connaître, savoir écrire et
nommer les nombres entiers
jusqu’au milliard.
Comparer, ranger, encadrer
ces nombres.
La notion de multiple :
reconnaître les multiples des
nombres d’usage courant :
5, 10, 15, 20, 25, 50.
Les nombres entiers
Fractions
Nommer les fractions simples
et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des
cas simples de partage ou de
codage de mesures de
grandeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple
par deux entiers consécutifs.
Écrire une fraction sous forme
de somme d’un entier et d’une
fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions
décimales ou deux fractions
simples de même
dénominateur.
L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1
Elles sont introduites le plus tôt possible pour
pallier l’insuffisance des nombres entiers dans
des cas
- de partages
- de codage de mesures de grandeurs
L’approche des fractions est liée à des situations
de référence concrètes.
INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la
même valeur.
L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un
codage de ces partages.
Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.
2 procédures possibles
Partage de chaque
tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes.
Partage de la totalité des
trois tartelettes entre les
deux personnes:
1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T
On obtient une tartelette et demie.
3 x 1/2T
1T + 1/2T
Soit 1T + 1/2T
Notion de moitié
appliquée à chaque objet
Notion de moitié
appliquée à la totalité de
l’ensemble des objets.
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
……
……
……
INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE
CODAGE DE MESURES
unité
A
……
B
C
……
……
A = 1/2u
C = 1/4u
B = 1u + 1/2u
1u + 1/4u + 1/4u
…
VARIABLES DIDACTIQUES
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige
à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la
commensuration).
Varier les approches en s’appuyant sur des formes
et des grandeurs différentes: segments, aires de
rectangles, de disques…
Travailler sur la droite graduée
- pour donner à la fraction son statut de nombre
- pour visualiser le rangement et la comparaison.
Les allers et retours entre bande de papier et
segments de droite aident à la compréhension
qu’une fraction peut désigner une mesure de
longueur ou indiquer une graduation.
La variété de représentation des fractions
courantes viendra enrichir les traces écrites qui
vont constituer des référents individuels ou
collectifs: droite graduées, fiches outils…
QUELQUES OUTILS
L’usage des droites graduées doit être poursuivi
tout au long de la scolarité primaire.
Les « fiches- nombres », à insérer dans les
cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de
référence)
0,1
C’est un dixième.
C’est la moitié de 1.
0,5
0,500
1:10
+
Indique une fraction que l’on peut écrire en face de
graduation en gras.
U
Ecris une fraction qui correspond
à la mesure de la zone verte.
Unité
……
……
……
LES FRACTIONS DÉCIMALES
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à
10, 100, 1000.
LES NOMBRES DÉCIMAUX
D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de
mathématique arabe.
En Europe, apparition des nombres décimaux au
XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) :
notation destinée à faciliter les procédures de calcul
en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.
L’invention du système métrique au XVIIIe siècle
contribuera à la diffusion des nombres décimaux et
leur écriture décimale par le fait que les rapport entre
les unités de mesure d’une même grandeur repose sur
le fractionnement décimal.
L’usage du système métrique est rendu obligatoire en
1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais
le fractionnement décimal.
PETITS RAPPELS
3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre
177/50.
3 est la partie entière , 54 la partie décimale.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une
écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est
finie.
1/2 est un nombre décimal car :
= 5/10 (fraction décimale)
= 0,5
(écriture décimale finie)
22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :
il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale
son écriture à virgule à une partie décimale infinie
3,1428571428571428…
Les nombres entiers naturels sont des nombres
décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours
possible d’intercaler un autre nombre décimal.
Les nombres décimaux permettent d’approcher
d’aussi près que l’on veut un nombre réel
quelconque.
CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie
décimale.
« zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers
D’où : erreurs de calcul, de classement…
Les critères de comparaison valables pour les nombres
entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.
L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre
décimal entre deux autres.
Les notions de nombres consécutifs, successeur,
prédécesseur n’existent que pour les entiers.
Pour dépasser ces obstacles:
- Oralisation correcte
- Passage par les écritures fractionnaires
- Recours à la droite graduée.
-
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2
stratégies différentes.
Partie entière : comparaison des nombres entiers.
Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la
virgule
(cf procédé lexicographique des dictionnaires)
Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même
dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers:
3,7 > 3,54 car
3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354
Le recours à la droite graduée permet de visualiser le
positionnement de l’un par rapport à l’autre.
ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en
centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque
de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la
partie décimale comme des nombres entiers).
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Fractions
Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire :
demi, tiers, quart, dixième, centième.
Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de gradeurs.
Fractions
Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en
conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et
0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Donner une valeur approchée à l’unité près, au
dixième ou au centième près.
LES PROGRAMMES
Nombres et calcul
CM1
CM2
Calcul
Calcul
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
Division euclidienne de deux entiers.
Division décimale de deux entiers.
Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calculer mentalement
Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
Diviser un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
Effectuer un calcul posé
Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
Résoudre des problèmes de plus
en plus complexes.
Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire
concernant les fractions courantes et décimales.
On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des
fractions pour aborder les nombres décimaux.
Le calcul mental constitue un enjeu important.
Cette partie du programme doit faire l’objet d’un
travail croisé avec les autres champs mathématiques
(grandeurs et mesures, organisation et gestion de
données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la
géographie, l’EPS…
Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux
calculs qui s’y rapportent.
INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture
fractionnaire est à privilégier car elle présente le
nombre décimal comme un nombre.
L’écriture décimale introduite par les mesures
pourrait apparaître comme le résultat d’un
recodage dû à un changement d’unité:
234c = 2,34€
En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b
peut être vu comme « abe », on va utiliser la
décomposition canonique et le tableau de
numération pour comprendre le nouveau codage.
6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000
u
1/10
1/100
1/1000
6
5
3
7
La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale
pour obtenir l’écriture 6,537.
L’utilisation du tableau va permettre de faire
apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001
qui seront utilisés dans les décompositions.
Unités
1
0
0
0
,
,
,
,
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
1/10
1/100
1/1000
1
0
1
0
0
1
6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000)
6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)
Les décompositions additives usuelles
sont à systématiser.
IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL
Revisiter les tables de multiplication avec les
nombres décimaux, avec une oralisation explicite
pour aider à la compréhension et au renforcement
du sens:
0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »
Le résultat est « trente-cinq dixièmes ».
C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on
écrit 3,5.
Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à
des pratiques sociales telles que rendre la
monnaie…
MULTIPLICATION ET DIVISION
PAR UNE PUISSANCE DE DIX
La pratique courante veut que l’on décale la
virgule vers la droite ou vers la gauche.
La compréhension du mécanisme s’acquiert en
passant par les fractions décimales.
La justification utilise l’aspect « abe » de la
notation fractionnaire et le tableau de numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
3
4
1
1
3
4
6
5
3
4
6
5
0
1
3
,
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
4
6
5
134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.
Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes
soit 5 unités car 100 centièmes = 1
donc le nombre 13 465
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.
( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)
Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes
on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)
Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.
Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.
ADDITION ET SOUSTRACTION
DES NOMBRES DÉCIMAUX
Les techniques opératoires peuvent dans un
premier temps prendre appui sur le tableau de
numération.
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Centaines
de milliers
Dizaines
de milliers
Unités
de milliers
Centaines
Dizaines
Unités
1
1
1
2
4
3
1/10
1/100
1/1000
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
6
5
6
5
7
8
0
4
3
,
6
On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes
et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre entier
Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:
2,75 x 31 revient à faire 275 x 31
puis à diviser par 100 le résultat final
pour compenser la multiplication par 100
qui a transformé 2,75 en 275.
MULTIPLICATION
Un nombre décimal par un nombre décimal
On va utiliser les équivalences d’écriture.
2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)
25 x 1/10 x 34 x 1/10
25 x 34 x 1/10 x 1/10
(25 x 34) x (1/10 x 1/10)
850 x 1/100
8,50
147,28
X 3,5
14 728 x 1/100
35 x 1/10
14 728 x 35 x 1/1000
on divise un entier par 1 000,
il y aura donc 3 chiffres
derrière la virgule.
LA DIVISION
Division à quotient décimal de 2 nombres entiers
La technique opératoire de la division peut prendre
appui sur le tableau de numération.
22 : 7
100
10
1
2
2
2
1
1
,
1/10
1/100
1/1000
7
3,14
0
7
3
2
0
8
2