Transcript les nombres décimaux

NOMBRES AU C3
Entiers, décimaux, fractions…
SUR LES ENJEUX D’APPRENTISSAGE

L’acquisition des mécanismes en mathématiques
est toujours associée à une intelligence de leur
signification. (programme)
Roland Charnay - 2012

La résolution de problèmes joue un rôle
essentiel dans l’activité mathématique. Elle est
présente dans tous les domaines et s’exerce à
tous les stades des apprentissages. (programme)
DEUX PRÉCISIONS DE VOCABULAIRE

Lu dans un manuel :
2 , 65
partie décimale
La virgule sépare la partie entière de la partie décimale

Formulation correcte :
partie entière : 2
 partie décimale : 0,65 ou encore 65 centièmes
 2,65 est la somme de sa partie entière et de sa partie
décimale

Roland Charnay - 2012
partie entière

Un nombre décimal est un nombre écrit avec une
virgule.

Formulation correcte :

2/5
14/10
0,6666… π
0,15
3,14 sont des nombres décimaux
ne sont pas des nombres décimaux
Un nombre décimal est un nombre qui peut être écrit
avec une virgule et un nombre fini de chiffres
après la virgule
Roland Charnay - 2012

32
2/3

LES LIMITES DE L’APPRENTISSAGE A
COUP DE REGLES
Enseigner des règles ou aider à
comprendre ?
L’exemple de la multiplication par 10, 100…
MULTIPLIER PAR 100

Règle pour les nombres entiers : "écrire deux
0" à droite

24 x 100 = 2 400
Règle pour les nombres décimaux : déplacer
la virgule de 2 rangs vers la droite

2,345 x 100 = 234,5

2,34 x 100 = 234 (disparition de la virgule)

4,7 x 100 = 470 (disparition de la virgule… et
apparition de 0 !)
Roland Charnay - 2012

RÉSULTATS ET DIFFICULTÉS

2,3 x 10

23
20,3 ou 2,30 ou 20,30


La virgule "frontière" et "écrire un 0"
230
5%


La virgule "absente" et "écrire un 0"
35,2 x 100


(évaluation 6e)
3 520
3500,2 ou 35,200 ou 3 500,200


64 %
20 %
352
47 %
15 %
La virgule "frontière"
15 %

Que faire quand la virgule "disparaît" ?
Roland Charnay - 2012

(évaluation 6e)
COMMENT JUSTIFIER QUE 20,45 X 10 = 204,5 ?
OU COMMENT TROUVER LA RÉPONSE SANS CONNAÎTRE DE RÈGLE ?

Savoir que multiplier 20,45 par 10 revient à multiplier
chaque "terme de la décomposition" par 10, donc on
obtient :




20 dizaines + 40 dixièmes + 50 centièmes
Savoir que 20 dizaines, c'est 2 centaines (car 10 dizaines,
c'est 1 centaine)…
Savoir que 40 dixièmes, c'est 4 unités (car 10 dixièmes,
c'est 1 unité)
Savoir que 50 centièmes, c'est 5 dixièmes (car 10
centièmes, c'est 1 dixième)
Roland Charnay - 2012

Comprendre l'écriture 20,45, par exemple comme :
 2 dizaines + 4 dixièmes + 5 centièmes
EN RÉSUMÉ (DANS LE TABLEAU DE NUMÉRATION)
pour 20,45 x 10
milliers
centaines
unités
2
0
0
4
,
dixièmes
4
5
La virgule n’a pas changé de place !
centièmes
millièmes
5
Roland Charnay - 2012
2
dizaines
EN REALITE…


Ce n'est pas la virgule qui se déplace, mais
les chiffres qui "changent" de valeur… donc
de place (déplacement vers la gauche)
C'est la même chose pour les entiers que
pour les décimaux !
Roland Charnay - 2012

Quand on multiplie un nombre par 10,
chaque chiffre prend une valeur "10 fois
plus grande"
EN RÉSUMÉ (DANS LE TABLEAU DE NUMÉRATION)
pour 20,45 x 10
37 x 10
0,4 x 10
milliers
centaines
3
unités
2
,
dixièmes
centièmes
0
4
5
0
4
5
3
7
7
0
0
0
4
4
millièmes
Roland Charnay - 2012
2
dizaines
AVEC D’AUTRES SYSTÈMES DE NUMÉRATION
Romain
CCCLXX
(370)
Remplacer chaque symbole par un symbole de
valeur dix fois supérieure.
Roland Charnay - 2012
Multiplier XXXVII par X (37 par 10)
AVEC DU MATÉRIEL
EXEMPLE DE 0,12 X 10
1
1,2
Roland Charnay - 2012
0,12
TACHES, TECHNIQUES ET JUSTIFICATIONS
Enseignement centré sur…
COMPREHENSION
•Multiplier
par 10,
100…
Tâche
•Déplacemen
t de la
virgule ou
des chiffres
MECANISME
•Chaque chiffre
prend une valeur
10 fois, 100 fois
supérieure
Justification
Roland Charnay - 2012
Technique
DES DIFFICULTÉS QUI PERSISTENT !
(EXTRAIT DE LA THÈSE DE JEANNE BOLON, 1996)
Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche :
6,9 ou 7,08
CM1
CM2
6e
5e
22 %
30 %
27 %
29 %
Et pourtant, il suffit d'avoir compris que 8 centièmes
c'est moins que 1 dixième !
Roland Charnay - 2012
QUELQUES DIFFICULTÉS POUR LES NOMBRES DÉCIMAUX

Comparaison, intercalation



Signification des chiffres : pseudo-symétrie dizaine, dixième…



2,7 < 2,17
Entre 2,5 et 2,7, il n’ y a que 2,6
Dans 234,57  3 est le chiffre des dizaines et 7 celui des
dixièmes
Calcul

2,3 + 0,8 = 2,11
(2 + 0 = 2 ; 3 + 8 = 11)

2,3 x 0,8 = 0,24
(2 x 0 = 0 ; 3 x 8 = 24)
Sens de certaines opérations

Prix de 0,85 kg de gruyère à 17 € le kg  division
Roland Charnay - 2012
Interprétation des erreurs et origine possible

La virgule sépare 2 nombres entiers "indépendants"

Signification "spatiale" et non "conceptuelle"
dizaine dixième

Idée de "nombre" suivant persistante (cf. entiers)

Lecture : 3 virgule 25 plutôt que 3 et 25 centièmes ou 3 et 2
dixièmes et 5 centièmes

Usage social : 3,25 € pour 3€ 25c

Confusion fractions / décimaux
– 96 + 2/100 = 96,200 pour 21 % des élèves (2005)
– 80,4 = 80/4
pour 17 % des élèves (2005)
Roland Charnay - 2012
234,567
Quelques repères
pour la mise en place
Roland Charnay - 2012
LA NUMERATION DES
ENTIERS ET DES DECIMAUX
1ÈRE CONNAISSANCE FONDAMENTALE
La valeur des chiffres par rapport à l’unité

35 436
3 fois
« dix mille
unités »
3 fois
« dix
unités »
35,436
3 fois
« dix
unités »
3 fois
« la part de
l’unité partagée
en cent »
Roland Charnay - 2012
Valeur de chaque chiffre par rapport à l’unité, en
fonction du rang qu’il occupe (à gauche ou à droite de la
virgule)
 Centaine : 100 fois l’unité
 Centième : 100 fois moins que l'unité
2E CONNAISSANCE FONDAMENTALE
La relation de valeur entre rangs voisins
1 centaine = 10 dizaines
 1 dizaine = 1 centaine divisée par 10
 1 dixième = 10 centièmes
 1 centième = 1 dixième divisé par 10

Groupement
par 10
35 436
5 fois
« une
dizaine de
milliers
partagée en
10 »
Partage
en 10
Groupement
par 10
35,436
3 fois
« dix
unités »
5 fois
« une
dizaine
partagée en
10 »
3 fois
« dix
centièmes »
Roland Charnay - 2012
Partage
en 10
3E CONNAISSANCE FONDAMENTALE
La relation de valeur entre rangs non voisins
1 millier = 100 dizaines
 1 dizaine = 1 millier divisé par 100
 1 dizaine = 100 dixièmes
 1 dixième = 1 dizaine divisée par 100

35,436
Groupement par 1 000
Roland Charnay - 2012
Partage en 100

Registre verbal

Registre symbolique : virgule, fraction

Registre des représentations matérielles (longueurs,
aires…)
Roland Charnay - 2012
Ces connaissances sont évocables dans trois
registres de langage à mettre en relation
1
Roland Charnay - 2012
174
cent soixante-quatorze
Etre capable de « naviguer » entre ces 3 registres
Un, sept dixièmes et quatre centièmes
1,74
Un et soixante-quatorze centièmes
Etre capable de « naviguer » entre ces 3 registres
Roland Charnay - 2012
1
DES ENTIERS AUX DÉCIMAUX…



Le rang détermine la valeur
Les rapports de valeur entre rangs sont identiques (fondés
sur des groupements par dix ou des partages en dix)


Mais certaines propriétés sont différentes


La virgule sert à indiquer le rang de l’unité
En particulier, l’intercalation toujours possible pour les
nombres décimaux.
Conclusion

Le système d’écriture à virgule des nombres décimaux ne
peut être compris que si celui des entiers l’est en profondeur.
Roland Charnay - 2012
Le système d’écriture à virgule des nombres
décimaux fonctionne comme le système d’écriture
des nombres entiers
COMPRENDRE LES GRANDS NOMBRES

Base dix et sur-base mille
24 568 405 012
 1 milliard = 1 000 millions
 1 million = 1 000 milliers

Cette structure détermine la lecture

24 568 405 012
milliards millions mille

Avoir des ordres de grandeur
Lille-Marseille
 Populations : française, chinoise, mondiale

Roland Charnay - 2012

Les fractions à l’école
primaire…
… pour aider à comprendre
les nombres décimaux
Fractions de l’école au collège

Exprimer des mesures, à partir du
partage de l'unité
5/4, c'est 5 fois le quart de l'unité
1 ou l’unité
Cette signification correspond à la lecture cinq quarts
Roland Charnay - 2012
–
École
primaire
Fractions de l’école au collège

Expression du partage d'une
grandeur
5/4, c'est le quart de 5 (lié à 5 divisé par 4)

Solution de 4x = 5

Expression de rapports

5 pour 4

20 pour 100
Collège
Roland Charnay - 2012
–
TROIS MOMENTS CLÉS POUR
L’APPRENTISSAGE DES FRACTIONS
SENS ET NÉCESSITÉ DES FRACTIONS
D'APRÈS
CAP MATHS CM1
A : 1u + ½ u
C:½u
D:2u
E:¼u
F : 3/4 u
Synthèse
Pour mesurer, il faut parfois utiliser des parts de l'unité
½ u, c’est une part de l’unité partagée en 2
¾ u, c’est 3 parts de l’unité partagée en 4
Roland Charnay - 2012
B : 1u + 1/4 u
Comparaison des fractions : égalité, inégalité
2u + 1/2 u
1u + 3/2 u
5/2 u
7/4 u
1 u + 3/2 u est-elle égale à 5/2 u ?
Pas de règle de comparaison… donc appel au raisonnement…


1 unité, c’est 2 demiunités
1u + 3/2 u, c’est donc :
 2 demi-unités plus
3 demi-unités,
 c’est 5 demi-unités,
 donc 5/2 u
Appui sur le « matériel »
Roland Charnay - 2012
Appui sur le langage verbal
Roland Charnay - 2012
Placer 11/2 :
- Impossible de compter 11 demis à partir de 0
- Soit partir de 3, c’est 6/2 (6 demis) et compter encore 5 demis
- Soit considérer que 10/2 c’est 5 et compter 1 demi après 5
Décimaux
à l’école primaire
Quelques moments clés
pour l’apprentissage
D'ABORD LES FRACTIONS DÉCIMALES
Des fractions comme les autres… qui utilisent les
"bonnes relations" entre 1 ; 10 ; 100…
 Appui sur les longueurs (unité assez grande pour avoir
des centièmes matérialisés) et sur les aires


Deux points importants :
Egalités, comme 7/10 = 70/100
 Décomposition
 234/10 = 23 + 4/10 (partie entière)
 234/100 = 2 + 3/10 + 4/100 (signification des chiffres)
 34/100 = 3/10 + 4/100 (idem)

Roland Charnay - 2012
(matérialisation plus facile des centièmes et même des
millièmes)
LES NOMBRES DÉCIMAUX
une autre écriture des fractions décimales
une signification : image mentale
1
Roland Charnay - 2012
une lecture : 1 et 4 dixièmes et 5 centièmes
RAISONNER POUR COMPARER
Matériel disponible
- des unités
- des dixièmes
- des centièmes
Roland Charnay - 2012
COMPARAISON DE
2,12 ET 2,7
Trois phases



Réponse individuelle, avec explication
Prise de position sur des réponses/explications
choisies par l'enseignant

Par groupes de 2

Confrontation de 2 groupes de 2
Débat collectif
Roland Charnay - 2012
Exemples d'arguments
2,12 > 2,7 parce que 12 > 7

2,7 > 2,12 parce que 2,7 = 2,70 (le 0 ne compte pas !)

2,7 > 2,12 parce que 2,70 > 2,12 (on a tout mis en centièmes)

2,7 > 2,12 parce que 7 dixièmes et plus grand que 1
dixième

2,7 > 2,12 parce que 2,7=27/10=270/100, 2,12=212/100

2,7 > 2,12 parce que le 7 de 2,7 c’est 70 centièmes et le
12 de 2,12 c’est seulement 12 centièmes

2,7 > 2,12 parce que dans 2,7 il y a 58 centièmes de
plus que dans 2,12
Roland Charnay - 2012

FONDAMENTALEMENT, LA COMPARAISON DES
NOMBRES DÉCIMAUX ET CELLE DES NOMBRES ENTIERS
REPOSENT SUR LES MÊMES CONNAISSANCES

Pourquoi 2 560 > 987 ?

Parce que 2 milliers c’est plus que 987 unités


Pourquoi 856 > 839 ?

Parce que 5 dizaines c’est plus que 39 unités


En effet 2 milliers = 2 000 unités
En effet 5 dizaines = 50 unités
Pourquoi 7,8 > 7,56 ?

Parce que 8 dixièmes c’est plus que 56 centièmes

En effet 8 dixièmes = 80 centièmes
Roland Charnay - 2012
D’OÙ UNE MÊME RÈGLE POSSIBLE POUR COMPARER
DES NOMBRES ENTIERS OU DÉCIMAUX !





Les nombres étant écrits (ou imaginés) l’un sous l’autre, on
parcourt leurs chiffres de gauche à droite. Dès qu’on trouve 2
chiffres différents, on peut conclure.
78 758
9 896
987 658
983 899
5,7
5,368
25,3
8,9856
Roland Charnay - 2012
INTERCALATION… À L'INFINI
Remettre en cause l'idée de "nombre suivant"
Roland Charnay - 2012
NOMBRES DÉCIMAUX ET CALCUL
A penser dans l’articulation avec le collège

Sixième




4 opérations (toutes reprises en Sixième !)
Multiplier par 0,1 ; 0,01… (hors socle en Sixième !)
Division décimale limitée à celle d’un décimal par un
entier (le dividende comportant au plus 2 chiffres après
la virgule)
En calcul posé, les nombres doivent rester de taille
raisonnable et aucune virtuosité technique n’est
recherchée.
Cinquième

Division de deux nombres décimaux
Roland Charnay - 2012

NOMBRES DÉCIMAUX ET CALCUL
Points clés en calcul automatisé

Résultats mémorisés

Sommes et différences de dixièmes (0,5 + 0,7…)

Compléments à 1 et à l’unité supérieure (pour des
nombres avec des dixièmes)

Produits du type 0,4 x 3 ; 0,4 x 5

Relations entre 0,25 ; 0,5 ; 0,75 et 1 (en particulier
savoir que 0,25 = ¼ ; 0,5 = ½ ; 0,75 = ¾)
Roland Charnay - 2012

Multiplier et diviser par 10, 100… en relation
avec la numération décimale
NOMBRES DÉCIMAUX ET CALCUL
Points clés en calcul automatisé

Calcul posé

Addition, soustraction, en lien avec la numération décimale

Multiplication d’un décimal par un entier
586 centièmes ou 586 : 100
179902 centièmes ou 179902 : 100
1799,02

Division d’un entier ou d’un décimal par un entier, en
lien avec la numération décimale
Pour ces opérations, continuité de sens entre calcul sur
les entiers et calcul sur les décimaux.
Roland Charnay - 2012
5,86
x 307
Le cas de la multiplication de deux décimaux

Rupture de sens
45 x 13
 13 fois 45 (addition itérée)
 45,35 x 13  13 fois 45,34 (addition itérée)
 45,35 x 2,7  sens à donner à 2,7 fois 45,35 ?
 45,35 x 0,7  sens à donner à 0,7 fois 45,35 ?

Nécessité d’une référence
Soit à la proportionnalité : pour 45,35 x 2,7
2 fois 45,35 plus 7/10 de 45,35
 Soit à l’aire d’un rectangle : pour 45,35 x 0,7
rectangle de 45,35 cm sur 0,7 cm


Continuité pour la technique
45,35
4 535 : 100
x 2,7
27 : 10
122 445 à diviser par 1 000
Roland Charnay - 2012

NOMBRES DÉCIMAUX ET CALCUL
Points clés en calcul réfléchi
17,5 0,75
0,7 1,2
Roland Charnay - 2012
Doubles de nombres comme 4,5
 Moitiés de nombres comme
7
 Sommes ou différences comme
13,5 + 6,5
13 – 6,5
Produits comme 2,5 x 4 6,2 x 5
