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UNIVERSITÉ SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH
FACULTÉ DES SCIENCES Dhar El Mehraz
Cours d’algèbre 1
EL AOUNI Allal, MOUANIS Hakima, ZENNAYI Mohamed
Département de Mathématiques
Filières SMP-SMC (Semèstre 1)
Module: Algèbre 1
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PLAN DU COURS
1
NOMBRES COMPLEXES
2
POLYNÔMES
3
FRACTIONS RATIONELLES
4
ESPACES VECTORIELS
Filières SMP-SMC (Semèstre 1)
Module: Algèbre 1
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Chapitre 1
NOMBRES COMPLEXES
Filières SMP-SMC (Semèstre 1)
Module: Algèbre 1
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Chapitre 1
1
Définitions et propriétés
2
racines carrées d’un nombre complexe
3
Equations du second degré dansCI
4
nombres complexes de module 1
5
Argument d’un nombre complexe
Racines nième de l’unité
6
7
Racines nième d’un nombre complexe
Filières SMP-SMC (Semèstre 1)
Module: Algèbre 1
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Définitions et propriétés
L’ensembleCI des nombres complexes
Définition
On note parCI = {a + ib/ a, b ∈ IR } et i 6∈ IR muni de deux opérations + et .
telles que
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
(a + ib).(c + id) = (ac − db) + i(ad + cb)
2
En particulier, i = i.i = −1
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Définitions et propriétés
Partie réelle et partie imaginaire
Définition
Soit z = a + ib un nombre complexe.
a est appelé la partie réelle de z qu’on note par Re(z).
b est appelé la partie imaginaire de z qu’on note par Im(z)
Un nombre complexe et dit réel si sa partie imaginaire est nulle.
Un nombre complexe et dit imaginaire pur si sa partie réelle est nulle.
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Définitions et propriétés
Proposition
Soient u = a + ib ∈CI et v = c + id ∈CI deux nombres complexes.
u = v ⇐⇒ a + ib = c + id ⇐⇒ a = c et b = d
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Définitions et propriétés
Définition
Soit z = a + ib un nombre complexe.
On appelle conjugué de z le nombre z = a − ib
Filières SMP-SMC (Semèstre 1)
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Définitions et propriétés
Propriétés
0
Soient z = a + ib ∈CI et z = c + id ∈CI deux nombres complexes. Alors,
1
z=z
2
z + z0 = z + z0
3
( zz0 ) =
4
zz = a + b2 ≥ 0
z
z0
2
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Définitions et propriétés
Le module d’un nombre complexe
Définition
Soit z = a + ib, on appelle module de z le nombre réel positif noté par |z| et
défini par
p
√
|z| = zz = a2 + b2
propriétés
0
Soit z, z ∈CI
1
|z| = |z|
2
z −1 =
3
|zz | = |z||z |
4
| zz0 | =
1
z
=
0
z
|z|2
0
|z|
|z 0 |
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Les racines carrées d’un nombre complexe
Les racines carrées d’un nombre complexe
Définition
Soient z, u ∈C.
I On dit que u est racine carrée de z si
u2 = z
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Les racines carrées d’un nombre complexe
Les racines carrées d’un nombre complexe
Théorème
un nombre complexe non nul z = a + ib possède deux racines carrées non
nulles et opposées qui sont :
1
Si b ≥ 0,
p
p
2(|z| + a)
2(|z| − a)
u=
+i
2
2
et
p
−u = −
2
2(|z| + a)
−i
2
p
2(|z| − a)
2
Si b ≤ 0,
p
p
2(|z| + a)
2(|z| − a)
u=
−i
2
2
et
p
−u = −
Filières SMP-SMC (Semèstre 1)
2(|z| + a)
+i
2
Module: Algèbre 1
p
2(|z| − a)
2
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Les racines carrées d’un nombre complexe
Les racines carrées d’un nombre complexe
Exemple
Soit z = 5 + 12i.
√
√
1
|z| = 52 + 122 = 169 = 13
2
Puisque 12 ≥ 0 alors les racines carrée de z sont :
u = 3 + 2i et − u = −3 − 2i
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Equation du second degré dansCI
Equation du second degré dansCI
Théorème
Soient a, b et c trois nombres complexes tels que a non nul. Soit δ une racine
carée de ∆ = b2 − 4ac.
Alors l’équation du second degré aX 2 + bX + c=0 admet deux solutions :
z1 =
−b − δ
−b + δ
et z2 =
2a
2a
Remarque
1
z1 + z2 = − ba
2
z1 z2 =
3
b
Si ∆ = 0, z1 = z2 = − 2a
4
Si a, b, c ∈ IR et si ∆ ≥ 0 alors z1 , z2 ∈ IR
5
Si a, b, c ∈ IR et si ∆ ≤ 0 alors z1 et z2 sont conjugués( c’est à dire
z2 = z1 )
c
a
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Equation du second degré dansCI
Equation du second degré dansCI
Exercice
Calculer les racines des équations :
1
(1 − i)z 2 + (1 + 2i)z − 2i = 0
2
3z 2 − 5z + 2 = 0
3
2z 2 − 2z + 1 = 0
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Equation du second degré dansCI
Equations du second degré dansCI
Corollaire
Soient z1 , z2 ∈C.
I
Notons s = z1 + z2 et p = z1 z2
Alors, z1 et z2 sont les racines de l’équation z 2 − sz + p = 0
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Equation du second degré dansCI
Equations du second degré dansCI
corollaire
0
0
0
Soient az 2 + 2b z + c = 0 une équation de 2ème degré et ∆ = b 2 − ac
0
Si δ est une racine carrée de ∆ alors les racines de l’équation sont
0
z1 =
Filières SMP-SMC (Semèstre 1)
−b + δ
a
0
0
et z2 =
Module: Algèbre 1
−b − δ
a
0
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Les nombres complexes de module 1
Les nombres complexes de module 1
Proposition
Soit z ∈C.
I
|z| = 1 ⇔ ∃α ∈ IR tel que z = cos α + i sin α
. Dans ce cas z est noté z = eiα .
Exemples
1
∀k ∈ ZZ; e2ikπ = cos 2k π + i sin 2k π = 1 + 0i
2
eiπ = cos(π) + i sin(π) = −1
3
e 2 = cos( π2 ) + i sin( π2 ) = i
4
e 4 = cos( π4 ) + i sin( π4 ) =
5
e 3 = cos( π3 ) + i sin( π3 ) =
6
e 6 = cos( π6 ) + i sin( π6 ) =
iπ
iπ
iπ
iπ
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√
2
2
√
+i
2
2
√
1
3
2 +i 2
√
3
i
2 + 2
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Les nombres complexes de module 1
Les nombres complexes de module 1
Propriétés
0
Soient z = eiα et z = eiβ avec α, β ∈ IR :
0
1
z = z ⇔ ∃k ∈ ZZ tel que α = β + 2k π
2
eiα eiβ = ei(α+β)
3
eiα
eiβ
= ei(α−β)
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Les nombres complexes de module 1
Formule de Moivre
Théorème (Formule de Moivre)
Soit α un nombre réel et n ∈ IN . Alors,
(eiα )n = einα
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Les nombres complexes de module 1
Formules d’Euler
Propriétés
∀α ∈ IR . On a
1
cos(α) =
2
sin(α) =
eiα +e−iα
2
eiα −e−iα
2i
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Argument d’un nombre complexe
Argument d’un nombre complexe
Théorème
Soit z un nombre complexe non nul.
Il existe α ∈ IR tel que z = |z|eiα .
α est appelé argument de z et on le note arg(z)
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Argument d’un nombre complexe
Argument d’un nombre complexe
Remarque
Si α est un argument de z alors, ∀k ∈ IN , α + 2k π est aussi argument de z.
On note arg(z) = α(mod2π)
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Argument d’un nombre complexe
Argument d’un nombre complexe
Propriétés
Soit z ∈CI ?
1
arg(z) = 0(mod2π) ⇔ z ∈ IR ?+
2
arg(z) = π(mod2π) ⇔ z ∈ IR ?−
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Argument d’un nombre complexe
Argument d’un nombre complexe
Propriétés
0
Soient z et z deux nombres complexes et λ un nombre réel.
0
0
0
1
z = z ⇔ |z| = |z | et arg(z) = arg(z )(mod2π)
2
arg(zz ) = arg(z) + arg(z )(mod2π)
3
4
0
0
arg( z1 ) = arg(z)(mod2π) = −arg(z)(mod2π)
arg(z)(mod2π)
siλ > 0
arg(λz) =
Π + arg(z)(mod2π) siλ < 0
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Racines nième de l’unité
racines nième de l’unité
Définition
Soient n un entier naturel non nul et z un nombre complexe. On dit que z est
une racine nième de l’unité si z n = 1
Proposition
Soit n ∈ IN ? . L’ensemble des racines nième de l’unité est :
S = {e
2ik π
n
/ k = 0, ..., n − 1} = {1, e
2iπ
n
, ..., e
2i(n−1)π
n
}
dont les éléments sont distincts deux à deux.
Posons ω = e n , alors las racines nième de l’unité sont les n nombre
complexe 1, ω, ω 2 , ..., ω n−1 .
2iπ
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Racines nième de l’unité
Racines nième de l’unité
Corollaire
Si z est une racine nième de l’unité avec z 6= 1 alors
1 + z + z 2 + ... + z n−1 = 0
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Racines nième de l’unité
Racines nième de l’unité
Exemples
1
2
1
2iπ
e 2 = eiπ = −1


 1
√
2iπ
+ i √23 = j
e 3 = −1
Les racines cubiques de l’unité sont
et on a
2

 e 4iπ
−1
3
2
3 =
2 −i 2 =j =j
Les racines carrées de l’unité sont
1 + j + j2 = 0
3

1



i
i
ème
Les racines 4
de l’unité sont
et on a
i 2 = −1


 3
i = −i
1 + i + i2 + i3 = 0
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Racines nième d’un nombre complexe
racines nième d’un nombre complexe
Définition
Soit z un nombre complexe et n un entier naturel non nul. On appelle racine
nième de z tout nombre complexe u vérifiant z = u n .
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Racines nième d’un nombre complexe
racines nième d’un nombre complexe
Théorème
Soit z = reiθ un nombre complexe non nul. L’équation u n = z possède, dans
C,
I exactement n racines nième de la forme
√
θ
2k π
uk = n r ei( n + n )
√
iθ
2ik
π
= n re n e n
avec k = 0, ..., n − 1
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Racines nième d’un nombre complexe
Racines nième d’un nombre complexe
corollaire
Soient z = reiθ ∈CI et n ∈ IN ? . Alors les racines nième de z sont
u0 , u0 ω, u0 ω 2 , ..., u0 ω n−1
avec
u0 =
√
n
et
ω=e
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θ
r ei n
i2π
n
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Racines nième d’un nombre complexe
Racines nième d’un nombre complexe
Exemple
Calculer les racines nième du nombre complexe z = −4 dans les cas n = 2,
n = 3, et n = 4
Réponce :
On a z = −4 = 4eiπ donc
u0 =
√
n
iπ
4e n
√
i2π
iπ
2
Cas n = 2 : u0 = 4e 2 = 2i et ω = e 2 = eiπ = −1 .
Donc les racines carrés de −4 sont :
2i, −2i
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Racines nième d’un nombre complexe
Racines nième d’un nombre complexe
Exemple (suite)
Cas n = 3 : On a u0 =
Alors les racines sont :
√
3
iπ
4e 3 =
√
3
iπ
4e 3 ,
√
3
√
3
4( 12 + i
iπ
4e 3 e
i2π
3
√
3
2 )
,
√
3
et ω = e
iπ
4e 3 e
i2π
3
=j
i4π
3
c’est à dire
√
3
√
√
√
1
3 √
1
3 2√
1
3
3
3
), j 4( + i
), j 4( + i
)
4( + i
2
2
2
2
2
2
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Racines nième d’un nombre complexe
Racines nième d’un nombre complexe
Exemple (suite)
√
√ √
√
i2π
iπ
iπ
4
Cas n = 4 : On a u0 = 4e 4 = 2( 22 + i 22 ) = 1 + i et ω = e 4 = e 2 = i
Alors las racines 4ième de −4 sont :
(1 + i), (1 + i)i, (1 + i)(−1), (1 + i)(−i)
c’est à dire
1 + i, −1 + i, −1 − i, 1 − i
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