Transcript Stromectol ^ Paraque Sirbe Las Pastiyas Stromectol, Paraque

LES NOMBRES COMPLEXES
Chapitre 02
I) RAPPELS ( cf poly ).
Notation algebrique d’un complexe, partie réelle, partie imaginaire, conjugué, imaginaire pur, ensemble iℝ .
Affixe du point M, affixe du vecteur OM . Module, argument, notation trigonométrique.
z = zz
z1 − z2 ≤ z1 + z2 ≤ z1 + z 2
double inégalité triangulaire.
II) COMPLEXES ET GEOMETRIE PLANE.
Différence : A ( a ) , B ( b ) , A ≠ B
(
alors arg ( b − a ) ≡ e1 , AB
Rapport : A ( a ) , B ( b ) , C ( c ) , D ( d ) , a ≠ b et c ≠ d
)
[ 2π ]
b − a = AB .
et
 d −c 
alors arg 
 ≡ AB, CD
 b−a 
(
) [ 2π ]
et
d − c CD
=
b−a
AB
 d −c 
A, B, C et D points distincts du plan : AB // CD ⇔ arg 
 ≡ 0 [π ]
 b−a 
AB ⊥ CD ⇔
 d −c  π
arg 
[π ]
≡
 b−a  2
Transformations du plan :
f : M ( z ) ֏ M ′ ( z ′ ) avec z ′ = eiθ z (θ ∈ ℝ ) , z ′ = λ z (λ ∈ R ∗ ) , z ′ = z + b (b ∈ ℂ) , z ′ = z .
III) LA FORME EXPONENTIELLE.
A) LES COMPLEXES DE MODULE 1.
Notation eiθ = cos θ + i sin θ .
(eiθ ) n = einθ soit : (cos θ + i sin θ )n = cos nθ + i sin nθ
cos θ =
(
1 iθ
e + e-iθ
2
)
et
sin θ =
(
1 iθ
e − e-iθ
2i
(n ∈ ℕ)
)
Formule de Moivre .
Formules d’Euler .
z = 1 ⇔ ∃θ ∈ ℝ, z = eiθ .
B) EXPONENTIELLE COMPLEXE.
Notation e z
Savoir résoudre l’équation d’inconnue z : e z = A , avec A complexe fixé.
C) APPLICATIONS A LA TRIGONOMETRIE.
Linéariser de cos m θ sin n θ ( cad transformer les produits en sommes, à l’aide de cos kθ et sin kθ ).
Exprimer cos nθ et sin nθ en fonction de cos p θ et de sin p θ .
Retrouver les résultats du formulaire trigo.
Réduction de a cos θ + b sin θ .
Année 2014-2015
ICAM NANTES – I1A – ML POUSSIN
V) RESOLUTIONS D’EQUATIONS ALGEBRIQUES.
A) RACINES CARREES D’UN NOMBRE COMPLEXE.
Racines carrées d’un nombre complexe.
Tout nombre complexe Z non nul possède exactement deux racines carrées complexes opposées.
Rechercher les racines carrées d’un complexe à l’aide de la forme trigonométrique, à l’aide de la forme algébrique.
B) RESOLUTION D’EQUATIONS DU SECOND DEGRE DANS C.
Equation ( E ) : az2 + bz + c = 0
(a, b, c)∈ ℂ 3 , a ≠ 0 , d’inconnue z∈ ℂ .
∆ = b2 - 4ac (discriminant) et δ tel que δ2 = ∆ ( δ est l’une des deux racines carrées de ∆ ).
−b − δ
2a
et
si ∆ = 0 alors ( E ) a une seule solution (double) : z0 =
−b
.
2a
si ∆ ≠ 0 alors ( E ) a 2 solutions distinctes : z1 =
somme et produit des deux racines : z1 + z2 = −
z2 =
−b + δ
.
2a
b
c
et z1 z2 = .
a
a
C) RACINES nièmes D’UN COMPLEXE .
Racine nième d’un complexe, racines nième de l’unité.
Soit n entier, n ≥ 2 . Tout nombre complexe non nul A possède exactement n racines nièmes qui sont :
 θ + 2 kπ 
i

n 
zk = n ρ .e 
k ∈ 0, n − 1
( avec ρ = A et θ ≡ arg ( A ) [ 2 π ] )
Les images ponctuelles des racines n ièmes de A sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans un cercle
de centre O et de rayon n ρ .
Pour tout entier n ≥ 2 , la somme des n racines n ièmes de A est nulle.
Si on trouve une racine n ième de A, on trouve les autres par multiplication par les racines n ièmes de l’unité.
Objectifs :
Savoir jongler entre les écritures algébriques et exponentielles ( et déterminer module et argument ).
Savoir visualiser graphiquement les complexes et les différentes transformations.
Savoir résoudre des équations algébriques ( équation de degré 2 à coefficients complexes, racines carrées d’un complexe sous
forme exponentielle ou sous forme algébrique, racines niemes d’un complexe sous forme exponentielle).
Savoir réduire une expression a cos θ + b sin θ sous la forme A cos (θ − ϕ ) .
Savoir linéariser de cos m θ sin n θ ( les transformer en sommes de cos kθ et sin kθ ), ou à l’inverse exprimer cos nθ et sin nθ
en fonction de cos p θ et sin p θ .
Année 2014-2015
ICAM NANTES – I1A – ML POUSSIN