Transcript Les ensembles de Besicovitch

Les ensembles de Besicovitch
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Présentation
Besicovitch découvre les ensembles appelés plus tard ensembles de Besicovitch en
1919 alors qu'il travaille sur des problèmes d'intégration dans le plan.
Dénition 1.1 : Un ensemble B ⊂ R2 est qualié d' ensemble de Besicovitch si :
(i) B contient un segment unitaire dans chaque direction
(ii) L2 (B) = 0
où L2 (B) représente la mesure de Lebesgue de B
Remarque 1.1 : Par la méthode par dualité, on construit un ensemble B contenant
droite dans chaque direction.
2
une
La construction par dualité
Dénition 2.1 (Dual, voir gure 1) : Le dual d'un ensemble E ⊂ R2 est l'ensemble :
E ∗ = {Dy=ax+b |(a, b) ∈ E}
où Dy=ax+b est la droite d'équation y = ax + b
Dans la suite on s'intéressera à :
D(E) =
[
∆
∆∈E
On va maintenant chercher quelles propriétés doivent être vériées par E pour que
D(E) soit un ensemble de Besicovitch.
Proposition 2.1 : D(E) doit contenir une droite dans chaque direction du plan
⇔ La projection de E sur (Ox) est R
Démo :
En eet, il faut que le coecient directeur a des droites parcoure R tout entier.
Nous allons maintenant étudier les conditions sur E pour que L2 (E) = 0 :
Notations :
1. Fc = D(E) ∩ Dx=c
2. projθ (E) : projeté orthogonal de E sur la droite Dy=x/ tan θ
1
3. pθ (x, y) : projeté de M (x, y) sur la droite Dy=x/ tan θ
Proposition 2.2 : Fc = {(c, (a, b).(c, 1))|(a, b) ∈ E}
Dy=ax+b ∩ Dx=c = (c, ac + b) = (c, (a, b).(c, 1))
−−→ −
−−−−−−→
→
.→
u
où −
u = (tan θ, 1), en posant c = tan θ, on voit
De plus, comme kOPθ (x, y)k = OM
→
k−
uk
1
que pθ (x, y) est déterminé par sa distance à l'origine : √1+c
2 ((x, y).(c, 1)). Ceci montre
qu'il existe une similitude entre F et projθ (E) (gure 2).
Et donc L1 (F ) = 0 ⇔ L1 (projθ (E)) = 0. D'où la proposition 2.3 :
Proposition 2.3 : L2 (D(E)) = 0 ⇔ L1 ( θ ∈ − π2 , π2 | L1 (projθ (E)) 6= 0 ) = 0
Démo :
Démo :
Tout d'abord, remarquons que :
L2 (D(E)) = 0 ⇔ L1 ( c ∈ R|L1 (D(E) ∩ Dx=c 6= 0 ) = 0
Ce résultat se comprend intuitivement avec le schéma 3 : les droites verticales qui ont
une intersection de mesure non nulle avec E doivent être rares. La proposition découle
alors des résultats précédents.
Conclusion :
Il doit exister un angle θ0 tel que projθ0 (E) = R et la projection de E
dans presque toutes les autres directions doit être de mesure nulle.
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Une construction concrète
Dénition 3.1 On dénit l'ensemble de Cantor 4 coins par récurrence :
En hachuré, les ensembles E0 , E1 et E2 .
E=
\
En
n∈N
Proposition 3.1 Posons θ0 = arctan 1/2. Pour des raisons d'invariance par rotation, on
prend θ ∈ [0, π/2]
projθ0 (E) est un segment et ∀θ 6= θ0 ; L1 (projθ (E)) = 0
Démo :
Avec les notations de la gure 5, on voit qu'on a le rapport suivant :
δθ =
a+b
4 tan θ + 1
=
< 1 pour θ < θ0
l
2(tan θ + 1)
2
Ces gures montrent que pour θ = θ0 , lorsque l'on passe de En à En+1 , la projection reste
la même, ce qui n'est pas le cas pour θ 6= θ0 . On a même pour ce cas :
L1 (projθ (En+1 )) = δθ L1 (projθ (En ))
Et donc L1 (projθ (E)) = 0 pour θ < θ0 .
On a un résultat similaire avec θ > θ0
Donc L1 (projθ (E) = 0 pour θ 6= θ0
Conclusion :
On peut donc choisir un système d'axes (xOy) tel que la projection de
E sur (Ox) soit [−1, 1]. Ainsi D(E) contient une droite de coecient directeur a pour
tout a ∈ [−1, 1].
Pour obtenir les autres droites, de coecients directeurs dans les ensembles ]−∞, −1[
et ]1, +∞[, il sut de faire subir à D(E) une rotation d'angle π/2.
A
Bibliographie
Kenneth. The geometry of fractal sets, Cambridge University Press (1985).
Bourrigan, Maxime. Autour de la longueur de Favard, rapport de stage sous la
direction d'Hervé Pajot (2004).
Falconer,
3
B
Figures
Fig.
Fig.
1 Exemple de dual
2 Similitude entre F et projθ (E)
4
Fig.
3 Intersection d'un ensemble quelconque et de deux droites verticales
Fig.
4 Projection de E selon θ0
5
Fig.
5 Projection de E selon θ 6= θ0
Fig.
6 Dual de l'ensemble E2
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