Transcript Annexe 11 Liste des formations recrut particulier

E1A-E1B
2014-2015
Concours blanc no 1
Mercredi 7 janvier
Durée : 4 heures
La calculatrice est interdite.
On attachera une grande importance à la qualité de la rédaction.
Les questions d’informatique (Exercice 1-5) sont différentes en E1A et en E1B. On prendra bien
garde à traiter les bonnes questions.
Exercice 1
Les questions de cet exercice sont indépendantes.
1. Factoriser le polynôme P (x) = x3 − 2015x2 − x + 2015.
n
X
n k−1
2. Simplifier la somme
k
2
(où n est un entier naturel).
k
k=0
3. Résoudre l’équation |x2 + x − 2| + |x + 1| = 2, d’inconnue x ∈ R.
f : ]0, +∞[ −→ R
.
x
7−→ xx
L’application f est-elle injective ? Est-elle surjective ?
4. On considère l’application
5. (Pour les E1A seulement)
a. On exécute les commandes suivantes dans Scinotes :
U=0
for k=7:-2:1
if k<5 then U=U-k
else U=U+k
end
end
disp(U)
Donner le résultat affiché par le programme.
n
X
1
b. Écrire une fonction f qui prend un entier n et renvoie
.
k
k=1
n
X
1
c. Écrire une fonction g qui prend un réel x et renvoie le plus petit entier n tel que
> x.
k
k=1
1
E1A-E1B
2014-2015
5. (Pour les E1B seulement)
On tape les commandes suivantes dans Scinotes :
function T = choixCalc(n,i)
aux = (1:n)
if i==-1 then
T = prod(aux)
elseif i==1 then
T = sum(aux)
end
endfunction
a. Décrire précisément les différents éléments de ce code (nom de la fonction, des arguments
d’entrée, de sortie, calcul effectué).
b. Que se passe-t-il si l’on effectue l’appel : choixCalc(5,2) ? Comment peut-on modifier le
code de la fonction choixCalc pour éviter cette situation ?
c. Écrire un programme :
. qui demande à l’utilisateur d’entrer un entier n au clavier,
n!
. et qui affiche la valeur du calcul : n
P
k
k=1
Pour ce faire, on devra effectuer des appels à la fonction choixCalc.
Exercice 2
Une urne contient trois boules numérotées 1, 2, 3. On pioche au hasard n fois (avec n ∈ N∗ ) une
boule de l’urne en remettant la boule après tirage. On appelle tirage le n-uplet des chiffres obtenus lors
des n pioches.
Par exemple, si n = 3, le 3-uplet (1, 3, 1) est un tirage possible.
1. On suppose dans cette question que n = 3.
a. Dénombrer les tirages possibles.
b. Dénombrer le nombre de tirages tels que les trois chiffres 1, 2, 3 apparaissent au moins une
fois.
2. On suppose dans cette question que n = 4.
Dénombrer le nombre de tirages tels que les trois chiffres 1, 2, 3 apparaissent au moins une fois.
3. On suppose dans toute la suite de l’exercice que n est un entier tel que n > 3.
Calculer le nombre de tirage possibles.
4. Pour tout nombre entier i ∈ {1; 2; 3}, on appelle Ai l’événement « le numéro i n’apparaît pas
durant les n pioches ».
2
E1A-E1B
2014-2015
a. Calculer Card(A1 ), Card(A2 ) et Card(A3 ).
b. Calculer Card(A1
T
A2 ), Card(A2
c. Calculer Card(A1
T
A2
T
S
A2 ) et Card(A1
d. En déduire Card(A1
T
A3 ) et Card(A1
T
A3 ).
A3 ).
S
A2
S
A3 ).
S
S
e. Traduire en langage courant l’évènement A1 A2 A3 .
En déduire le nombre de tirages où chaque numéro a été obtenu durant les n pioches.
Exercice 3
Soit n un entier naturel non nul. On appelle décomposition de n toute p-liste (p étant un entier
quelconque entre 1 et n) d’entiers supérieurs ou égaux à 1, dont la somme vaut n. Une décomposition
(n1 , n2 , . . . , np ) de n vérifie donc :
n1 + n2 + · · · + np = n
Par exemple : (4), (1, 3), (1, 2, 1) et (1, 1, 1, 1) sont différentes décompositions de n = 4.
Dans la suite de l’exercice, on note D(n) le nombre de décompositions différentes de n et N (p, n)
le nombre de décompositions de n qui sont des p-listes.
1. Énumérer les décompositions de 1, de 2 et de 3. En déduire D(1), D(2) et D(3).
2. Soit n un entier naturel non nul. Montrez que : N (1, n) = 1 et N (2, n) = n − 1.
3. Soient p et n deux entiers naturels tels que n > 2 et 1 6 p 6 n − 1. Soit (n1 , n2 , . . . , np+1 ) une
décomposition de longueur p + 1 de n. En remarquant que n1 + n2 + · · · + np = n − np+1 , montrez
en discutant suivant la valeur de np+1 que :
N (p + 1, n) = N (p, n − 1) + N (p, n − 2) + · · · + N (p, p) =
n−1
X
N (p, k)
k=p
4.
a. En remarquant que
n−1
X k − 1 n − 1
k−1
k
k−1
=
−
, démontrer que
=
.
p−1
p
p
p−1
p
k=p
b. En déduire par récurrence sur p ∈ N∗ que :
n−1
∀p ∈ N , ∀n > p, N (p, n) =
p−1
∗
5. En déduire que : ∀n ∈ N∗ , D(n) = 2n−1 .
3
E1A-E1B
2014-2015
Problème
On considère la suite (xn )n∈N définie par x0 ∈]0, 1[ et, pour tout n ∈ N, xn+1 = xn − x2n .
1. Dresser le tableau de variations de la fonction f : [0, 1] → R définie par f (x) = x − x2 .
2.
a. Montrer que la suite (xn )n∈N est monotone, puis qu’elle est convergente.
b. Déterminer la limite de (xn )n∈N .
3.
a. Établir pour tout n ∈ N l’encadrement : 0 < xn <
1
.
n+1
b. Retrouver alors la limite de la suite (xn )n∈N .
4. Soit (vn )n∈N la suite définie par : pour tout n ∈ N, vn = nxn .
a. Montrer que la suite (vn )n∈N est strictement croissante.
b. En déduire que la suite (vn )n∈N converge vers un réel `, qu’on ne demande pas de calculer.
c. Montrer que 0 < ` 6 1.
5. On considère la suite (wn )n∈N définie par : pour tout n ∈ N, wn = n(vn+1 − vn ).
a. Exprimer pour tout n ∈ N, wn en fonction de xn et vn .
b. En déduire que (wn )n∈N converge vers `(1 − `).
6. Dans cette question, on va démontrer par l’absurde que (wn )n∈N converge forcément vers 0.
On suppose donc, uniquement dans cette question, que (wn )n∈N tend vers a > 0.
a. Montrer qu’il existe un réel b > 0 tel que, pour tout n ∈ N∗ , wn > b.
b. Démontrer que
p
X
wn
n=1
n
6 1 pour tout p ∈ N∗ .
c. Démontrer que pour tout réel x strictement positif, on a
1
> ln(x + 1) − ln(x).
x
p
X
b
En déduire que
> b ln(p + 1) pour tout p ∈ N∗ .
n
n=1
d. En déduire une contradiction et conclure.
7. Déduire des questions précédentes que ` = 1.
4