Chapitre n 7: Ensembles finis, Dénombrement, Coefficients binomiaux

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Transcript Chapitre n 7: Ensembles finis, Dénombrement, Coefficients binomiaux 

Math´ematiques
Chapitre n◦ 7:
ECE 1 Lyc´ee Claude Monet
2014-2015
Ensembles finis, D´enombrement, Coefficients binomiaux
Introduction
Les objectifs de ce chapitre sont multiples :
• pr´eciser la notion intuitive d’ensemble fini, `a l’aide des outils du chapitre ”G´en´eralit´es sur les applications” ;
• pr´eciser tr`es succinctement la d´efinition d’ensemble d´enombrable, qui interviendra dans le chapitre
consacr´ee aux variables al´eatoires discr`etes ;
• expliciter quelques techniques g´en´erales de d´enombrement, `a l’aide des outils d´egag´es au niveau
des chapitres ”Le langage math´ematique” et ”G´en´eralit´es sur les applications” ;
• introduire la notion de coefficient binomial, sa signification combinatoire et ses propri´et´es calculatoires ;
• pr´eciser deux formules sommatoires importantes, utiles dans de nombreux contextes.
Ce chapitre peut de prime abord ˆetre vu comme un pr´eambule aux chapitres de Probabilit´es, le d´enombrement
´etant parfois une ´etape cruciale dans le calcul d’une probabilit´e (dans une situation d’´equiprobabilit´e, par
exemple).
Cependant, de mani`ere plus g´en´erale, ce chapitre a ´egalement pour vocation de consolider certaines
connaissances acquises
P depuis le d´ebut de l’ann´ee (ensemble, applications, calculs alg´ebriques, manipulations du symbole ).
1.
Ensembles finis, ensembles d´
enombrables
1.1
Ensemble fini
D´
efinition 1 - Ensemble fini
Soit E un ensemble.
On dit que E est un ensemble fini s’il existe un entier naturel n tel que E soit en bijection avec J1; nK.
On peut ais´ement d´emontrer que s’il existe, un tel entier n est unique : on l’appelle cardinal de E, que
l’on note card(E) ou encore card E.
Un ensemble qui n’est pas fini est dit non fini, ou infini.
Remarques :
• Prosa¨ıquement, un ensemble fini est un ensemble dont on peut compter les ´el´ements, qui sont en
nombre fini.
Le cardinal d’un ensemble fini E d´esigne tout simplement le nombre d’´el´ements de l’ensemble en
question.
Quel est alors le lien avec la d´efinition donn´ee en d´ebut de chapitre ?
Soit E un ensemble.
S’il existe un entier n tel que E et J1; nK soient en bijection, alors cela signifie qu’il existe une bijection
f de J1; nK dans E et que l’on peut donc num´
eroter les ´
el´
ements de E par l’interm´
ediaire
de cette bijection f.
En effet, si, pour tout i ∈ J1; nK, on note xi = f(i), alors on peut ´ecrire l’ensemble E en extension de
la mani`ere suivante E = {x1 , x2 , ..., xn }.
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Bien entendu, dans la mesure o`
u cette bijection f n’est pas unique, il existe plusieurs mani`eres de
num´eroter les ´el´ements de E.
Exemple : comment mettre la paire {3; 8} en bijection avec J1; 2K ? Combien a-t-on de possibilit´es ?
• Si un ensemble E s’´ecrit en extension de la forme E = {x1 , .., xn }, alors il serait a priori faux de croire
que n´ecessairement card E = n. Pour conclure de la sorte, il faut que les ´el´ements xi soient distincts
deux `a deux (ie ∀(i, j) ∈ J1; nK2 , xi = xj ⇒ i = j).
L’ensemble {1; 1; 2; 2; 2} ne comporte que deux ´el´ements : 1 et 2.
Exemples :
1) L’ensemble vide est un ensemble fini de cardinal 0.
2) Les singletons sont des ensembles finis cardinal 1.
3) Les paires sont des ensembles finis de cardinal 2.
4) Pour tout n ∈ N, card(J0; nK) = n + 1.
(Comment justifier rigoureusement cette assertion, en revenant `a la d´efinition ?)
Exercice : Montrer que l’ensemble des mots que l’on peut ´ecrire `a l’aide des lettres a et b n’est pas un
ensemble fini.
Indication : On pourra raisonner par l’absurde.
Proposition 1 - Ensemble, sous ensemble et cardinal
Soit E un ensemble fini.
Soit F une partie de E.
Alors,
• F est un ensemble fini et card(F) 6 card(E).
• card(F) = card(E) si et seulement si E = F
Remarques :
• Le deuxi`eme point de la proposition pr´ec´edente montre qu’il n’y a qu’une partie d’un ensemble fini
E qui comporte autant d’´el´ements que E : il s’agit de E lui-mˆeme.
• La proposition pr´ec´edente montre en particulier qu’il est impossible qu’un ensemble fini soit en
bijection avec l’une de ses parties strictes (ie diff´erente de l’ensemble tout entier consid´er´e).
Cependant, comme cela a ´et´e vu en exercice au chapitre pr´ec´edent, l’application f de N dans N∗ qui
`a n associe n + 1 est une bijection.
Ceci montre qu’un ensemble infini (ici N) peut ˆetre en bijection avec une de ses parties strictes (ici
N∗).
1.2
Ensemble d´
enombrable
D´
efinition 2 - Ensemble d´
enombrable
Soit E un ensemble.
On dit que E est un ensemble d´
enombrable si E est en bijection avec N, autrement dit, s’il existe une
application bijective de N dans E.
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Remarque : Prosa¨ıquement, un ensemble d´enombrable est un ensemble dont on peut num´eroter les
´el´ements avec tous les entiers naturels : se donner une num´erotation des ´el´ements d’un ensemble d´enombrable
E `a l’aide des entiers naturels revient tr`es exactement `a se donner une bijection de N dans E, et r´eciproquement.
Ainsi, n´ecessairement, un ensemble d´enombrable est en particulier un ensemble non fini.
Exemples :
1) N est en bijection avec lui-mˆeme par le biais de l’application IdN : N est donc un ensemble d´enombrable
(il s’agit mˆeme, d’apr`es la d´efinition pr´ec´edente, du ”p`ere” des ensembles d´enombrables).
2) Une remarque pr´ec´edente montre que N∗ est un ensemble d´enombrable. On peut mˆeme d´emontrer que
toute partie infinie de N est un ensemble d´enombrable. Ainsi, pour tout entier n0 , l’ensemble Jn0 , +∞J
est un ensemble d´enombrable.
3) Z et Q sont des ensembles d´enombrables (preuve laiss´ee en exercice).
4) Le produit cart´esien de deux ensembles d´enombrables est un ensemble d´enombrable.
Ainsi, par exemple, N2 est un ensemble d´enombrable.
[
5) La r´eunion d’ensembles d´enombrables index´ee par un ensemble d´enombrable est un ensemble d´enombrable.
Ainsi, par exemple,
Qn est un ensemble d´enombrable (car N∗ est un ensemble d´enombrable, et
n∈N∗
∀n ∈ N, Qn est un ensemble d´enombrable, comme ´etant un produit cart´esien d’ensembles d´enombrables
(Q est d´enombrable)).
Proposition 2 - Non d´
enombrabilit´
e de R
R n’est pas un ensemble d´enombrable.
D´emonstration :
Admise, mais les curieux pourront regarder du cˆot´e de la diagonale de Cantor...
Exemples :
Autres exemples d’ensemble non d´enombrables :
1) P(N), l’ensemble des parties de N n’est pas d´enombrable.
2) {0; 1}N , l’ensemble des suites `
a valeurs dans {0; 1} n’est pas d´enombrable.
On peut mˆeme montrer que cet ensemble est en bijection avec R.
D´
efinition 3 - Ensemble au plus d´
enombrable
Soit E un ensemble.
Alors, on dit que E est un ensemble au plus d´
enombrable si l’on se trouve dans l’un des deux cas
suivants :
• ou bien, E est un ensemble fini.
Alors,, si E est non vide, on peut num´eroter ses ´el´ements `a l’aide de l’ensemble J1; nK pour un certain
n (qui n’est rien d’autre que le cardinal de E) : E = {xi | i ∈ J1; nK}.
• ou bien, E est un ensemble d´enombrable.
Alors, on peut num´eroter ses ´el´ements `a l’aide de N : E = {xi | i ∈ N}.
Exemples :
1) L’ensemble des entiers naturels inf´erieurs `a 100 est un ensemble au plus d´enombrable (car fini).
2) L’ensemble des entiers naturel est un ensemble au plus d´enombrable (car d´enombrable).
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3) L’ensemble des entiers relatifs est un ensemble au plus d´enombrable (car d´enombrable).
4) L’ensemble des r´eels n’est pas un ensemble au plus d´enombrable (car n’est ni fini, ni d´enombrable).
5) Tout intervalle de R non vide et non r´eduit `a un point n’est pas au plus d´enombrable (car n’est ni fini,
ni d´enombrable).
Proposition 3 - Partie d’un ensemble au plus d´
enombrable
Soit E un ensemble au plus d´enombrable.
Alors toute partie de E est un ensemble au plus d´enombrable.
Exemples : Toute partie de N, toute partie de Z, ou mˆeme toute partie de Z4 par exemple, est donc
en particulier un ensemble au plus d´enombrable.
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Techniques g´
en´
erales de d´
enombrement
Qu’est ce que d´enombrer ?
Le d´
enombrement est l’art de d´eterminer le cardinal d’un ensemble fini sans avoir `a faire la liste des
´el´ements de cet ensemble.
Proposition 4 - Principe de bijection
Soient A et B deux ensembles finis.
On suppose que A et B sont en bijection.
Alors, card(A) = card(B).
M´
ethode :
Le principe de bijection nous donne une m´ethode pour d´
eterminer le cardinal d’un ensemble fini
A.
Si on arrive `
a trouver un ensemble B, dont on connaˆıt le cardinal, et `a construire une bijection de A vers
B (ou de B vers A, cela revient au mˆeme), alors on peut en d´eduire d’apr`es le principe de bijection que A
et B poss`edent le mˆeme nombre d’´el´ements.
Exemple : Abordons un exemple tr`es simple. 1 .
Soient p et k deux entiers naturels.
On cherche `a d´enombrer le nombre d’´el´ements de l’ensemble Ep,k = Jp, p + kK.
La r´eponse, sans recourir au principe de la bijection, est imm´ediate : cette ensemble compte autant
d’´el´ements qu’il y a d’entiers entre p et p + k, c’est-`a-dire, k + 1.
Comment justifier ce r´esultat en ayant recours `a une bijection ?
On consid`ere l’application f de Ep,k dans J1, k + 1K, qui `a x associe x − p + 1.
f est bien d´efinie (on v´erifie ais´ement que pour tout ´el´ement x de Ep,k , f(x) est dans J1, k + 1K).
On montre sans difficult´e que f est bijective (on peut mˆeme pr´eciser la r´eciproque de f : f−1 : y 7→ y+p−1)
D’apr`es le principe de bijection, card(Jp, p + kK) = card(J1, k + 1K).
Comme card(J1, k + 1K) = k + 1, on en d´eduit que card(Jp, p + kK) = k + 1 .
Proposition 5 - Principe multiplicatif (cardinal d’un produit cart´
esien d’ensembles finis)
Soit n un entier naturel non nul.
Soient A1 , A2 ,..., An n ensembles finis.
Alors,
n
Y
card(A1 × ... × An ) =
card(Ak )
k=1
M´
ethode :
Le principe multiplicatif peut ˆetre utile, dans certains cas, pour d´
eterminer le cardinal d’un ensemble
fini A.
Supposons que l’on trouve des ensembles finis A1 , ...An dont on connait le cardinal, et tels que A =
A1 × ... × A2 .
n
Y
Alors, card(A) =
card(Ak ).
k=1
Remarque : Autre mani`ere de reformuler le principe multiplicatif : si l’on a x fa¸cons diff´erentes de
choisir un objet de type 1 et si, pour chacun de ces choix, on a y fa¸con de choisir un deuxi`eme objet de
type 2, alors on a xy fa¸cons de choisir un couple d’objet (objet de type 1, objet de type 2).
Exemples :
1. Nous verrons au moins un exemple plus
´elabor´e dans le cadre de ce chapitre
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1) On consid`ere l’exp´erience qui consiste `a lancer en mˆeme temps un d´e cubique et un d´e t´etra`edrique,
les d´es ´etant suppos´es parfaitement ´equilibr´es.
Combien y a-t-il de r´esultats possibles ?
On peut remarquer qu’un r´esultat peut ˆetre d´ecrit par un couple (n, m), o`
u n d´esigne la valeur prise
par le d´e cubique (qui poss`ede 6 faces) et m la valeur prise par le d´e t´etra`edrique (qui poss`ede 4 faces).
Ainsi, il y a autant de r´esultats possibles que de couples (n, m) o`
u n d´ecrit l’ensemble J1, 6K et m
d´ecrit l’ensemble J1, 4K.
Autrement dit, si j’appelle C le nombre de r´esultat possibles (ce qu’on cherche `a d´eterminer), alors
C = card(J1, 6K × J1, 4K).
D’apr`es le principe multiplicatif, C = card(J1, 6K) × card(J1, 4K) = 6 × 4 = 24
2) Une homme poss`ede dans sa garde-robe 3 chemises, 4 cravates et 5 pantalons.
De combien de fa¸cons diff´erentes peut-il s’habiller ?
D’apr`es le principe multiplicatif, il a 3 × 4 × 5 = 60 fa¸cons diff´erentes de s’habiller.
Proposition 6 - Principe de partition (ou de disjonction)
Soit A un ensemble fini.
Soit n ∈ N∗.
Soit {A1 , ..., An } une partition de A en n classe(s).
n
X
Alors, card(A) =
card(Ak )
k=1
Exemple : Parmi les enfants d’une famille, on compte 3 gar¸cons et 2 filles.
Il y a donc 5 enfants dans cette famille.
Notons que c’est le principe de partition qui s’applique ici !
En effet, si on appelle E l’ensemble des enfants de cette famille, Ef l’ensemble des enfants de sexe f´eminin
de cette famille et Eg l’ensemble des enfants de sexe masculin de cette famille, alors {Ef , Eg } forme une
partition de E : card(E) = card(Ef ) + card(Eg ) = 3 + 2 = 5.
M´
ethode :
Comment utiliser ce principe en pratique ?
id´ee g´en´erale : d´ecouper un ensemble A d´elicat a
` d´enombrer en petits sous-ensembles Ai faciles `
a
d´enombrer :
Supposons que l’on cherche `
a d´eterminer le cardinal d’un ensemble fini A.
Supposons que l’on trouve des ensembles finis A1 , ...An dont on connait le cardinal, et tels que {A1 , ..., An }
forme une partition de A.
n
X
Alors, card(A) =
card(Ak ).
k=1
Remarque : Soit A un ensemble.
Soit n ∈ N∗.
Soit m ∈ N∗.
Soit {A1 , ..., An } une partition de A en n classe(s).
Si l’on suppose de plus que les n classes de partition poss`edent toutes le mˆeme cardinal m, alors, card(A) =
m + ... + m = nm.
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Proposition 7 - Formule du crible, ”cas n = 2 et n = 3”
Soit Ω un ensemble fini.
Soient A, B et C trois parties de Ω.
Alors,
• card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B)
• card(A∪B∪C) = card(A)+card(B)+card(C)−card(A∩B)−card(A∩C)−card(B∩C)+card(A∩B∩C)
Remarque : On peut g´en´eraliser cette formule dans le cas o`
u la r´eunion porte non pas sur 2 ou 3
ensembles (ici on a consid´er´e A ∪ B et A ∪ B ∪ C ) mais sur un nombre fini arbitraire n d’ensembles
finis (c’est ce que l’on appelle la formule du Crible dans le cas g´
en´
eral, n ∈ N∗) : cependant, cette
g´en´eralisation n’est pas au programme d’ECE1.
3.
Listes
3.1
p-listes d’´
el´
ements choisis parmi les n ´
el´
ements d’un ensemble E
Consid´erons l’exp´erience al´eatoire suivante :
On consid`ere un sac, comportant 4 jetons, num´erot´es de 1 `a 4.
On effectue trois tirages successifs avec remise dans ce sac.
(On tire un jeton on regarde le num´ero et on remet le jeton tir´e dans le sac. On effectue ceci trois fois).
Un r´esultat (= un succession de 3 tirages) d’une telle exp´erience al´eatoire peut ˆetre d´ecrite `a l’aide d’un
triplet (x, y, z) o`
u x d´esigne le num´ero du jeton tir´e lors du premier tirage, y le num´ero du jeton tir´e lors
du deuxi`eme tirage et z le num´ero du jeton tir´e lors du troisi`eme tirage.
Remarquons que, les tirages s’effectuant avec remise, des r´
ep´
etitions sont possibles : on peut ainsi
avoir x = y = z (on peut tirer 3 fois le mˆeme jeton !). Attention, l’ordre importe ici : le r´esultat (1, 1, 2)
est diff´erent du r´esultat (1, 2, 1).
Combien peut-on former de r´esultats possibles ?
Il y a 4 possibilit´es `
a chaque fois que l’on tire un jeton (car on effectue chaque tirage avec remise). Le
principe multiplicatif nous donne alors que le nombre de r´esultats possibles vaut 43 .
Chaque r´esultat (par exemple) (1, 1, 2) a ´et´e mod´elis´e par ce que l’on appelle une 3-liste d’´el´ements de
{1, 2, 3, 4}, ou encore un triplet de {1, 2, 3, 4}.
D´
efinition 4 - p-listes d’´
el´
ements d’un ensemble fini E
Soit p ∈ N∗.
Soit n ∈ N∗.
Soit E un ensemble de cardinal n.
Alors, on appelle p-liste d’´
el´
ements de E un p-uplet (e1 , e2 , ..., ep ) d’´el´ements de E, c’est `
a dire, un
´el´ement de Ep .
Proposition 8 - Nombre de p-listes d’un ensemble fini E
Soit p ∈ N∗.
Soit n ∈ N∗.
Soit E un ensemble de cardinal n.
Alors, le nombre de p-listes d’´el´ements de E vaut np .
D´emonstration :
D´emonstration avec les mains `
a l’aide du principe multiplicatif.
´
Exercice : Ecrire `
a la main l’ensemble des 3-listes d’´el´ements de {a; b}.
V´erifier ainsi le r´esultat pr´ec´edent.
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Exercice : On consid`ere l’exp´erience al´eatoire qui consiste `a tirer successivement avec remise 5 cartes
dans un paquet comportant 52 cartes.
Quelle est la probabilit´e d’obtenir 5 cartes de la mˆeme couleur (coeur, carreau, tr`efle, pique) ?
3.2
p-listes d’´
el´
ements distincts choisis parmi les n ´
el´
ements d’un ensemble E, ou
p-arrangement
Reprenons l’exemple d´etaill´e `
a la partie pr´ec´edente.
Supposons maintenant que les tirages successifs s’effectuent sans remise.
Un r´esultat (= une succession de 3 tirages) d’une telle exp´erience al´eatoire peut ˆetre ´ecrite `a l’aide d’un
triplet (x, y, z) o`
u x d´esigne le num´ero du jeton tir´e lors du premier tirage, y le num´ero du jeton tir´e lors
du deuxi`eme tirage et z le num´ero du jeton tir´e lors du troisi`eme tirage.
Remarquons que, les tirages s’effectuant sans remise, on ne peut pas avoir x = y, ni x = z, ni y = z (on
ne peut pas tirer deux fois le mˆeme jeton !) : les r´
ep´
etitions ne sont donc pas possibles. Attention,
l’ordre importe ici : le r´esultat (1, 2, 3) est diff´erent du r´esultat (1, 3, 2).
Combien y a-t-il de r´esultats possibles ?
Il y a 4 possibilit´es pour le premier jeton tir´e.
Pour chacun des 4 choix pour le premier jeton tir´e, il y a 3 possibilit´es pour le deuxi`eme jeton tir´e.
Pour chacun des choix pour les deux premiers jetons, y a 2 possibilit´es pour le troisi`eme jeton tir´e.
D’apr`es, le principe multiplicatif, il y a donc 4 × 3 × 2 = 24 r´esultats possibles.
Chaque r´esultat (par exemple) (1, 2, 3) a ´et´e mod´elis´e par ce que l’on appelle une 3-liste d’´el´ements distincts de {1, 2, 3, 4}, ou encore un 3-arrangement {1, 2, 3, 4}.
D´
efinition 5 - p-listes d’´
el´
ements distincts d’un ensemble fini E
Soit p ∈ N∗.
Soit n ∈ N∗.
Soit E un ensemble de cardinal n.
On suppose que p 6 n.
Alors, on appelle p-liste d’´
el´
ements distincts de E un p-uplet (e1 , e2 , ..., ep ) d’´el´ements de E, o`
u tous
les ei sont distincts.
On utilise aussi la terminologie p-arrangement de E, ou encore p-liste sans r´
ep´
etition de E.
Proposition 9 - Nombre de p-listes d’´
el´
ements distincts d’un ensemble fini E
Soit p ∈ N∗.
Soit n ∈ N∗.
Soit E un ensemble de cardinal n.
On suppose que p 6 n.
Alors, le nombre de p-arrangements de E vaut n(n − 1)...(n − p + 1).
Or, on rappelle que n! = n × (n − 1) × ... × 1.
n!
D’o`
u, le nombre de p-arrangements de E vaut
.
(n − p)!
Exemples :
1) Combien de mots comportant 5 lettres distinctes peut-on former `a l’aide de notre alphabet comportant
26 lettres ?
2) A l’issue d’une course mettant en jeu 10 coureurs, combien de podium diff´erents peut-on constituer ?
Exercice : On consid`ere l’exp´erience al´eatoire qui consiste `a tirer successivement sans remise 5 cartes
dans un paquet comportant 52 cartes.
Quelle est la probabilit´e d’obtenir 5 cartes de la mˆeme couleur (coeur, carreau, tr`efle, pique) ?
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Permutation d’un ensemble E comportant n ´
el´
ements
Reprenons l’exemple de la partie pr´ec´edente, que l’on modifie de la mani`ere suivante :
On consid`ere un sac, comportant 4 jetons, num´erot´es de 1 `a 4.
On suppose maintenant que l’on effectue des tirages sans remise dans le sac jusqu’`a ce qu’il n’y ait plus
de jeton dans le sac.
Comme on l’a vu pr´ec´edemment, un r´esultat peut alors ˆetre mod´elis´e par une 4-liste d’´el´ements distincts
de {1, 2, 3, 4}, que l’on appelle ´egalement 4-arrangement de J1, 4K.
Consid´erons par exemple le r´esultat t = (2, 4, 3, 1) : comme on a pioch´e tous les ´el´ements du sac (4 jetons
pioch´es sans remise dans un sac qui en contenait initialement...4), on constate qu’on obtient une liste de
tous les num´eros des jetons du sac, dans un certain ordre. Une telle liste est appel´ee permutation de
l’ensemble J1, 4K.
Voyons maintenant pourquoi peut-on associer au r´esultat t une bijection.
Consid´erons l’application ft qui `
a i ∈ J1, 4K associe le num´ero du jeton lors du i`eme tirage conduisant au
r´esultat t.
Ainsi, par d´efinition de t et de ft , ft (1) = 2, ft (2) = 4, ft (3) = 3, ft (4) = 1.
ft est une bijection de J1, 4K dans J1, 4K : en effet, un jeton quelconque a forc´ement ´et´e tir´e `a un et un seul
moment donn´e ! Autrement dit, un jeton quelconque voit son num´ero occuper une et une seule position
dans le r´esultat t. Ceci nous permet de dire que tout ´el´ement de J1, 4K poss`ede un et un seul ant´ec´edent
dans J1, 4K par ft et que donc ft est bijective.
R´eciproquement, si l’on se donne une bijection f quelconque de J1, 4K dans J1, 4K, on peut lui associer le
r´esultat (f(1), f(2), f(3), f(4)).
L’exemple d´etaill´e ci-dessus permet d’´eclairer la d´efinition suivante :
D´
efinition 6 - Permutation d’un ensemble E
Soit n ∈ N∗.
Soit E un ensemble de cardinal n.
On appelle permutation de E toute bijection de E dans E.
Une permutation de E peut ´egalement ˆetre assimil´ee `a un n-arrangement, d’apr`es le proc´ed´e explicit´e plus
haut.
D´
efinition 7 - Nombre de permutations d’un ensemble E
Soit n ∈ N∗.
Soit E un ensemble de cardinal n.
Alors, on d´enombre n! permutations de E.
D´emonstration :
D´emonstration avec les mains `
a faire en classe en utilisant le principe multiplicatif.
Remarque importante : Donner une permutation d’un ensemble fini E, cela revient `a ´ecrire dans un
certain ordre tous les ´el´ements de E.
Le nombre de permutations d’un ensemble fini E correspond donc au nombre de classements possibles des
´el´ements de E.
Exemples :
1) Dans l’exemple d´etaill´e en introduction, il y a donc 4! = 24 tirages diff´erents possibles.
2) On consid`ere une course de chevaux o`
u prennent part 5 chevaux. On suppose que le podium `a l’arriv´ee
comporte 5 marches.
On peut alors former 5! = 120 podiums diff´erents `a l’issue de la course.
3) On peut former 5! = 120 anagrammes diff´erents du mot MATHS.
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4.
Combinaisons
4.1
D´
efinition et premiers exemples
2014-2015
On consid`ere un sac, comportant 4 jetons, num´erot´es de 1 `a 4.
On effectue un tirage simultan´
e de 3 jetons de ce sac.
Une mani`ere d’´ecrire le tirage est de l’´ecrire sous la forme {x, y, z} o`
u x, y et z sont les num´eros des trois
jetons tir´es.
Remarquons bien l’usage ici des accolades, et non des parenth`eses : le tirage s’effectuant de mani`ere
simultan´ee, on ne peut pas ordonner les jetons suivant le moment o`
u ils ont ´et´e tir´es : l’ordre n’intervient
pas ici.
De plus, le tirage s’effectuant de mani`ere simultan´ee, les r´
ep´
etitions ne sont pas possibles ici.
Consid´erons, `a titre d’exemple, le tirage P = {1, 2, 3}.
P est appel´e 3-combinaison de J1, 4K ou combinaison de 3 ´
el´
ements de J1, 4K.
Remarquons tout simplement que P est une partie de J1, 4K comportant 3 ´el´ements.
Une question se pose maintenant : combien de tirages possibles peut-on alors effectuer ?
La r´eponse est donn´ee dans cette partie 2
D´
efinition 8 - p-combinaison de E
Soit n ∈ N.
Soit E un ensemble de cardinal n.
Soit p ∈ N.
On appelle p-combinaison de E (ou combinaison de p ´
el´
ements choisis dans E) toute partie de E
comportant p ´el´ements.
Plus g´en´eralement, on appelle combinaison de p ´
el´
ements choisis parmi n ´
el´
ements une pcombinaison d’un ensemble comportant n ´el´ements.
Exemple : Consid´erons l’ensemble E d´efini par E = {1; 2; 3; 4}.
Alors, {1; 2} , {1; 3}, {1; 4}, {2; 3}, {2; 4} et {3; 4} sont des 2-combinaisons de E : ce sont mˆeme les seules 2
combinaisons de E.
D´
efinition 9 - Coefficient binomial ”p parmi n”
Soit n ∈ N∗.
Soit p ∈ N.
On appelle coefficient binomial ”p parmi n” le nombre entier naturel, not´e np , ´egal au nombre de
combinaisons de p ´el´ements choisis parmi n ´el´ements.
En pratique, np correspond au nombre de fa¸cons de choisir p objets dans un ensemble comportant n
objets.
€Š
€Š
Exemples :
1) La r´eponse `a la question pos´ee au pr´eambule de cette partie est donc
€ Š.
4
3
2) Dans un exemple pr´ec´edent, on a d´enombr´e 6 2-combinaisons de {1; 2; 3; 4} : on en d´eduit que
€ Š = 6.
4
2
3) On pioche simultan´ement 6 cartes dans un jeu comportant 32 cartes. Combien de mains diff´erentes
peut-on alors obtenir ?
Remarques :
• L’origine de cette appellation ”coefficients binomiaux” provient de la formule (importante) du
binˆome de Newton que nous verrons `a la fin de ce chapitre.
2. cette derni`ere phrase ne comporte pas de mauvais jeu de mot...
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• Il est imp´eratif de comprendre que
2014-2015
€ Š est un entier, et non un ensemble...
n
p
Exemple fondamental :
A la fˆete foraine, on consid`ere l’exp´erience al´eatoire qui consiste `a tirer sur une cible. Pour chaque tir,
soit on touche la cible (Succ`es), soit on tire `a cˆot´e (Echec).
On consid`ere un s´erie de 4 tirs, et l’on compte le nombre de Succ`es S.
Combien de s´eries comportant 2 Succ`es existe-t-il ?
Ne pas h´esiter `
a faire un arbre pour se repr´esenter la situation.
Et si l’on cherche maintenant le nombre de s´eries de 10 tirs comportant 7 Succ`es ?
Proposition 10 - G´
en´
eralisation de l’exemple pr´
ec´
edent
Soit n ∈ N∗.
Soit p ∈ N.
On consid`ere une exp´erience dont l’issue est soit un Succ`es, soit un ´echec.
n
Si on r´ep`ete n fois cette exp´erience, il y a
fa¸cons d’obtenir p Succ`es `a l’issue de la r´ep´etition de ces
p
n exp´eriences.
n
Concr`etement, sur un arbre repr´esentant les issues de la r´ep´etition de ces n exp´eriences al´eatoires,
p
correspond au nombre de chemins r´ealisant exactement p Succ`es.
‚Œ
‚Œ
Exemple :
Il y a donc
€ Š s´eries de 10 tirs comportant exactement 7 Succ`es.
10
7
Remarque : On peut remarquer que, sans calcul, on a directement que, pour tout n entier naturel non
nul :
€ Š = 1. En effet, ∅ est l’unique partie de l’ensemble J1; nK (de cardinal n) comportant 0 ´el´ements.
€ Š = 1. En effet, J1; nK est l’unique partie de J1; nK (de cardinal n) comportant n ´el´ements.
•
€ Š = n. En effet, {1}, {2},..., {n} sont les parties de l’ensemble J1; nK (de cardinal n) comportant 1
•
•
n
0
n
n
n
1
´el´ements : et il y en a n.
Proposition 11 - Expression des coefficients binomiaux
Soient p et n deux entiers naturels.
• Si p 6 n, alors,
‚nŒ
p
• Si p > n, alors :
=
n!
p!(n − p)!
‚nŒ
p
=0
D´emonstration :
Il y a essentiellement deux mani`eres de prouver ce r´esultat :
• M´ethode 1 : en utilisant le lien existant entre un p-arrangement et une p-combinaison.
(A faire en classe)
• M´ethode 2 : en utilisant la relation de Pascal (cf r´esultat ult´erieur) que l’on peut d´emontrer `
a ce
stade du cours, ainsi qu’un raisonnement par r´ecurrence simple sur n.
Exemple :
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• La r´eponse `
a la question pos´ee au pr´eambule de cette partie est donc
• Le nombre de s´eries de 10 tirs comportant 7 Succ`es vaut
2014-2015
€ Š=4
4
3
€ Š = 10! = 120
10
7
7!3!
Exercice : On consid`ere l’exp´erience al´eatoire qui consiste `a tirer simultan´ement 5 cartes dans un
paquet comportant 52 cartes.
Quelle est la probabilit´e d’obtenir 5 cartes de la mˆeme couleur (coeur, carreau, tr`efle, pique) ?
4.2
Propri´
et´
es calculatoires
Proposition 12 - Sym´
etrie des coefficients binomiaux
Soit n ∈ N.
Soit p ∈ J0; nK.
Alors :
n
n
=
p
n−p
‚Œ ‚
Œ
D´emonstration :
Faire la preuve par calcul direct en classe.
Proposition 13 - Relation de Pascal
Soient n et p deux entiers naturels.
Alors :
n+1
p+1
‚
Œ ‚nŒ ‚
=
n
+
p
p+1
Œ
D´emonstration :
Faire la preuve par calcul direct en classe.
Remarque : Cette relation fournit de fait un algorithme permettant de calculer la valeur des coefficients
binomiaux.
Cet algorithme peut ´egalement s’effectuer `a la main pour les petites valeurs de n (n < 10) : construction
du triangle dit de Pascal `
a faire en classe, qu’il est imp´eratif de savoir refaire.
Proposition 14 - Deux formules d’ inversion
Soit n ∈ N.
Soit p ∈ N.
Alors :
bien utiles
‚nŒ ‚n − 1Œ
• Si p > 1 et n > 1, alors
p
• Si p > 2 et n > 2, alors
p(p − 1)
p
‚nŒ
p
=n
p−1
= n(n − 1)
D´emonstration :
A faire en classe.
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‚n − 2Œ
p−2
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5.
Deux formules sommatoires faisant intervenir les coefficients binomiaux
5.1
La formule du binˆ
ome de Newton
Proposition 15 - Formule du binˆ
ome de Newton (dans le cas r´
eel)
2
Soit (a, b) ∈ R .
Soit n ∈ N.
Alors :
n
X
n k n−k
(a + b)n =
a b
k
‚Œ
k=0
D´emonstration :
Faire la preuve en classe.
Retenir les 3 ingr´edients n´ecessaires `
a cette preuve :
• Une d´emonstration par r´ecurrence sur n
• La relation de Pascal
• Des manipulations sommatoires
Remarques :
• Il s’agit d’une formule FONDAMENTALE !
• Pour pouvoir appliquer convenablement cette formule sur des exemples, il s’agit de savoir calculer
correctement les coefficients binomiaux, en utilisant notamment pour les petites valeurs de n.
• Si n = 2, si on applique la formule du binˆome pour d´evelopper (a+b)2 , on obtient a2 +2ab+b2 ...estce que cela vous dit quelque chose ?
• Il faut de surcroˆıt connaˆıtre (sans calcul) la formule dans le cas o`
un=3:
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
• Pour ´eviter les erreurs de calcul, il faut se souvenir que :
– la somme comporte n + 1 termes (la somme va de k = 0 `a k = n)
– les coefficients binomiaux apparaissent au niveau de chaque terme de la somme
–
la somme des puissances est constante et vaut n : k + (n − k) = n. Les puissances de a
croissent, alors que les puissances de b d´ecroissent.
• De plus, comme, pour tout entier naturel n, pour tout r´eel a et b, (a + b)n = (b + a)n , on en d´eduit
que l’on peut ´egalement ´ecrire
n
X
n k n−k
n
(a + b) =
b a
k
‚Œ
k=0
Remarquons ´egalement que l’on peut montrer directement l’´egalit´e
‚Œ
‚Œ
n
n
X
n j n−j X n k n−k
ab
=
b a
k
j
j=0
k=0
a` l’aide du changement de variable j = n − k et du caract`ere sym´etrique des coefficients binomiaux
(le faire en exercice).
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• Ce qui fait que la formule du binˆ
ome de Newton est vraie, c’est que la multiplication des r´eels
est distributive par rapport `
a l’addition des r´eels, et que la multiplication des r´
eels est une
op´
eration commutative.
Comme le produit matriciel n’est pas une op´eration commutative sur l’ensemble des matrices carr´e
de taille n `
a coefficients r´eels, on ne pourra pas utiliser, de mani`ere g´en´erale, la formule du binˆ
ome
dans le contexte matriciel.
Par contre, si A et B d´esignent deux matrices telles que AB = BA, alors, pour tout entier naturel
n,
n
X
n
(A + B)n =
Ak Bn−k
k
‚Œ
k=0
Proposition 16 - Une cons´
equence de la formule du binˆ
ome : d´
enombrement de P(E)
Soit n ∈ N.
Soit E un ensemble fini comportant n ´el´ements.
Alors, card(P(E)) = 2n
D´emonstration :
On effectuera en classe une preuve bas´ee sur le principe de disjonction explicit´e plus haut, et sur l’application `a rebours de la formule du binˆ
ome de Newton.
5.2
La formule de Vandermonde (hors programme)
Proposition 17 - Formule de Vandermonde (hors programme)
Soient n1 , n2 et p trois entiers naturels.
On suppose que p 6 n1 + n2 .
Alors :
p
X
n1 + n2
n1
n2
=
p
k
p−k
‚
Œ
‚ Œ‚
k=0
D´emonstration :
Faire la preuve en classe, en utilisant le principe de disjonction.
14 sur 14
Œ