Transcript Année scolaire 2013/2014 Dénombrement PCSI Ensembles finis 1

Ann´
ee scolaire 2013/2014
D´enombrement
PCSI
Ensembles finis
1. D´
efinitions
D´
efinition 1 Soit E un ensemble non vide, E est fini s’il existe un entier n non nul et une application
bijective de {1, 2, · · · , n} sur E.
• n est unique n est le cardinal de E, on note n = CardE.
• Si E = ∅, on pose CardE = 0.
• Si E est fini, tout ensemble F tel qu’il existe une bijection de E sur F est fini de mˆeme cardinal que
E.
2. Op´
erations entre ensembles finis
(a) Union de deux ensembles dans un ensemble E fini
• Si A et B sont deux sous-ensembles disjoints d’un ensemble E fini alors A∪B est fini et Card(A∪
B) = Card(A) + Card(B)
• Si A et B sont deux sous-ensembles d’un ensemble E fini alors A ∪ B est fini et Card(A ∪ B) =
Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B)
Que vaut Card(A ∪ B ∪ C)?
(b) Compl´
ementaire
Si E est fini, A et B d´esignent deux sous-ensembles de E
• A est fini et CardA = CardE − CardA
• A − B est fini et Card(A − B) = CardA − Card(A ∩ B)
• Si B ⊂ A, on a Card(A − B) = CardA − CardB
(c) Produit cart´
esien
i. E1 , E2 d´esignent 2 ensembles finis de cardinaux respectifs c1 , c2 .
• E1 × E2 = {(x1 , x2 ), x1 ∈ E1 , x2 ∈ E2 }, E1 × E2 est fini de cardinal c1 c2 .
ii. E1 , E2 , . . . , Ep d´esignent p ensembles finis de cardinaux respectifs c1 , c2 , . . . , cp .
• E1 × E2 × . . . × Ep = {(x
E2 , . . . , xp ∈ Ep },
Q 1 , x2 , . . . , xp ), x1 ∈ E1 , x2 ∈ Q
E1 × E2 × . . . × Ep = i∈[[1,p]] Ei est fini de cardinal i∈[[1,p]] ci .
iii. Si E est de cardinal p, alors pour n ∈ N∗ , E n est de cardinal pn
D´
efinition 2 Un ´el´ement de E p est une p− liste d’´el´ements de E.
3. Applications entre ensembles finis
D´
efinition 3 Si A et B sont des ensembles, une application de A dans B est une fonction de A dans B
dont le domaine de d´efinition est ´egal `
a A.
A d´esigne un ensemble fini de cardinal n et B un ensemble fini de cardinal p.
(a) D´
enombrement des applications de A dans B
F E d´esigne l’ensemble des applications de A dans B.
1
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D´enombrement
PCSI
A
n
Th´
eor`
eme 1 Si Card(A) = n et Card(B) = p alors Card(B ) = p
• D´emonstration
(b) D´
enombrement des applications injectives de A dans B
D´
efinition 4 Si A et B sont deux ensembles et f une application de A dans B.
f est injective si ∀y ∈ B,
il existe au plus un x ∈ A tel que y = f (x)
Formulations ´equivalentes
f est injective si ∀(x, y) ∈ A2 ,
f est injective si ∀(x, y) ∈ A2 ,
x 6= y =⇒ f (x) 6= f (y)
f (x) = f (y) =⇒ x = y
Si p < n, il n’existe pas d’applications injectives de A dans B.
Si Card(A) = n et Card(B) = p, On note Anp le nombre d’applications injectives de A dans B.
Th´
eor`
eme 2 Anp = p(p − 1)(−2) . . . (p − n + 1) =
p!
(p − n)!
• D´emonstration
Une application injective d’un ensemble A de n ´el´ements dans un ensemble B `a p ´el´ements est appel´ee
arrangement de n ´el´ements parmi p.
Un arrangement est d´ecrit par une n−liste d’´el´ements de B distincts deux-`a-deux.
(c) D´
enombrement des applications bijectives de A dans B
Si p 6= n, il n’y a pas d’application bijective de A sur B.
Th´
eor`
eme 3 Si Card(A) = Card(B) = n, il y a n! applications bijectives de A dans B.
Une bijection de A sur A est appel´ee permutation de A.
4. Parties d’un ensemble fini
(a) Sous-ensembles d’un ensemble fini
P(A) d´esigne l’ensemble de toutes les parties de A.
Exemple: Si A = {a, b, c}, alors P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
Th´
eor`
eme 4 Si A est fini de cardinal n, alors P(A) est fini de cardinal 2n .
• Preuves
i. Preuve par r´
ecurrence
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ii. Preuve directe
(b) Nombre de parties `
ap´
el´
ements de A
Th´
eor`
eme 5 Si A est un ensemble de cardinal n, p ´etant un nombre entier inf´erieur `
a n, une
combinaison de p ´
el´
ements de A est une partie de A contenant p ´el´ements. Le nombre de
combinaisons de p ´el´ements de A, c’est-`
a-dire le nombre de parties de A ayant p ´el´ements, est not´e
Apn
n
n
=
, il est tel que:
p
p
p!
• D´emonstration
Exemples le nombre de suites strictement croissantes de p ´el´ements de {1, 2, · · · , n}.
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IV: Coefficients binomiaux
1. On a
n(n − 1) · · · (n − p + 1)
n!
n
n
n
n
=
. On a donc
=
=
Par convention
=0
p
p
n−p
p
p!(n − p)!
p(p − 1) · · · 1
si p > n
n
p
• An = p!
.
p
n(n − 1)
n
n
n
n
n
n
∗ On a
=
= 1 et
=
= n et
=
=
0
n
1
n−1
2
n−2
2
n
n−1
∗ Pour n ≥ 1 et 1 ≤ k ≤ n, on a: k
=n
k
k−1
•
2. Formule de Pascal
n
n−1
n−1
Th´
eor`
eme 6 Pour n ≥ 1 et 1 ≤ p ≤ n, on a
=
+
p
p
p−1
• D´emonstration par le d´enombrement
et la formule de Pascal ´elargie:
X
n n+1
p
p+1
n
k
=
+
+ ··· +
=
p+1
p
p
p
p
k=p
• D´emonstration par r´ecurrence
3. Formule de Newton
Th´
eor`
eme 7 Si a et b sont deux ´el´ements de R ou C, (a + b)n =
k=n
X
k=0
• D´emonstration par le d´enombrement
4
k=n n k n−k X n n−k k
a b
=
a
b
k
k
k=0
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Cons´
equences
k=n
X
k=0
n
k
D´enombrement
= 2n
k=n
X
(−1)k
k=0
n
=0
k
4. Formule de Van der Monde
Th´
eor`
eme 8 Pour tous entiers naturels a, b, n, on a, avec les conventions d´ecrites plus haut:
X
n a+b
a
b
=
n
k
n−k
k=0
• D´emonstration par le d´enombrement
Cas particulier: Pour n ∈ N, on a
2n
n
=
n 2
X
n
k
k=0
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.
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II)D´
enombrement D´
enombrer, c’est compter les ´el´ements d’un ensemble fini.
Quelques r`egles pour bien d´enombrer:
1. Savoir pr´ecis´ement ce que l’on compte
2. Ne rien oublier
3. Ne pas compter deux fois le mˆeme ´el´ement
Quelques m´ethodes
1. Parfois il peut ˆetre int´eressant de ‘reconstruire’ l’ensemble dont on calcule le cardinal.
(a) on peut le ‘reconstruire’ sans ˆetre oblig´e de respecter les r`egles de la chronologie du protocole observ´e.
On a alors une vue plus claire de ce que l’on peut d´enombrer.
(b) On peut faire cette reconstruction sous forme de choix successifs.
2. il peut ˆetre int´eressant de partitionner l’ensemble que l’on d´enombre selon un crit`ere donn´e
3. On peut utiliser un sch´ema
4. On peut aussi utiliser un codage qui d´ecrit les ´el´ements que l’on compte. il convient alors de s’assurer que
le codage permet bien de d´ecrire sans ambiguit´e ces ´el´ements.
SURTOUT NE PAS AVOIR D’A PRIORI NI D’IDEES TOUTES FAITES
Les id´ees du genre ’pas d’ordre donc utilisation d’un coefficient binomial’ et’ il y a un ordre donc on emploie
une p−liste’ m`enent forc´ement `
a des r´esultats incorrects.
1. Interpr´
etations des r´
esultats pr´
ec´
edents
listes
rangements
tirages
np
Apn
n
p
6
applications
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Exercice 1
1. Nombre de fa¸cons de classer 6 personnes.
2. On a un ensemble de 10 personnes, on veut en choisir 3 et leur donner `a chacune un rˆole diff´erent: combien
de choix possibles?
3. E = {a, b, c, d, e, f }
(a) Donner un exemple de liste de 4 ´el´ements de E.
Combien y-a-t-il de listes de 4 ´el´ements de E?
(b) Donner un exemple de liste de 4 ´el´ements de E distincts.
Combien y-a-t-il de listes de 4 ´el´ements de E distincts?
(c) Donner un exemple de partie de E `a 4 ´el´ements.
Combien y-a-t-il de parties de E `a 4 ´el´ements?
Exercice 2 Une personne compose au hasard un num´ero de t´el´ephone `a 8 chiffres
1. Combien de num´eros de t´el´ephone diff´erents peut-elle composer?
2. Combien de num´eros dont les chiffres sont tous distincts?
3. Combien de num´eros diff´erents peut-elle composer si elle s’impose de composer des num´eros commen¸cant
par 01, 02, 03, 04 ou 05?
4. Combien de num´eros dont les chiffres constituent une suite strictement croissante?
5. Combien de num´eros dont les chiffres contiennent au plus cinq z´eros?
6. Combien de num´eros compos´es avec deux chiffres seulement?
Exercice 3 Dans une course de 10 voitures, d´eterminer le nombre de classements possibles dans les cas suivants
:
1. Toutes les voitures sont arriv´ees et il n’y a pas d’ex-aequo.
2. Toutes les voitures sont arriv´ees et il y a exactement deux ex-aequo.
3. Toutes les voitures sont arriv´ees et il y a deux ex-aequo `a la premi`ere place (pas d’ex-aequo par ailleurs).
4. Trois voitures ne sont pas arriv´ees et il n’y a pas d’ex-aequo.
5. Trois voitures ne sont pas arriv´ees et il y a exactement deux ex-aequo.
Exercice 4
On place 4 jetons identiques sur un damier de 16 cases dispos´ees en carr´e (4 lignes et 4 colonnes).
D´eterminer
1. Le nombre de r´epartitions possibles
2. Les r´epartitions telles qu’il y ait exactement un jeton par ligne et par colonne
3. les r´epartitions telles qu’il y ait exactement une colonne sans jeton
4. les r´epartitions telles qu’il y ait au moins une colonne sans jeton
5. les r´epartitions telles qu’il y ait exactement une ligne et une colonne sans jeton
6. les r´epartitions telles qu’il y ait au moins une ligne et une colonne sans jeton
Exercice 5 On place n boules distinctes dans 3 cases not´ees A, B, C.
1. Combien y-a-t-il de rangements possibles?
2. Combien y-a-t-il de rangements qui laissent la case A et elle-seule vide?
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3. Combien y-a-t-il de rangements qui ne laissent aucune case vide?
Exercice 6 Une urne contient n boules num´erot´ees de 1 `a n (n ∈ N, n ≥ 3). On tire successivement 10 boules
de cette urne avec remise de la boule dans l’urne apr`es chaque tirage. On appelle tirage le r´esultat de cette
op´eration
1. D´eterminer le nombre total de tirages possibles.
2. D´eterminer le nombre de tirages possibles pour lesquels
(a) La boule no 2 apparaˆıt exactement trois fois;
(b) La boule no 2 apparaˆıt pour la quatri`eme fois la huiti`eme fois que l’on tire une boule de l’urne
(c) Le num´ero de la premi`ere boule tir´ee est strictement inf´erieur au num´ero de la dixi`eme boule tir´ee.
(d) Il n’y ait que deux num´eros exactement qui apparaissent .
Exercice 7: Etude du poker
Le poker se joue avec un jeu de 52 cartes. Au d´ebut d’une partie, chaque joueur re¸coit une main de 5 cartes, il
existe 8 combinaisons int´eressantes parmi lesquelles:
1. la paire: 2 cartes de mˆeme valeur
2. la double paire: 2 paires
3. le brelan: 3 cartes de mˆeme valeur
4. le full: 1 brelan et 1 paire
Combien y-a-t-il de full, de paires, de doubles paires?
Exercice 8 On consid`ere n ´equipes de football de 1`ere division et n ´equipes de football de 2`eme division. On
tire au sort n rencontres successives entre ces 2n ´equipes (chaque ´equipe joue un match et un seul). Combien
y-a-t-il d’organisations de rencontres possibles qui opposent une ´equipe de 1`ere division `a une ´equipe de 2`eme
division.
Exercice 9 Soit E un ensemble de cardinal n.
Combien y a-t-il de couples (A, B) de parties de E tels que A ∩ B = ∅? tels que A ∪ B = E?
k=[n/2] k=[n/2] X
X
n
n
Exercice 10 Pour tout n dans N, on pose S =
et P =
2k
2k + 1
k=0
k=0
Calculer S et P .
Exercice 11: Codage
On consid`ere le quadrillage ci-contre,
on se d´eplace sur ce quadrillage : on
se d´eplace toujours d’un carreau vers
le haut ou vers la droite, les chemins
r´epondant `
a ces contraintes sont appel´es chemins monotones.
Sur un quadrillage, on donne A(0, 0) et R(n, p), (n, p) ∈ N2 .
1. Trouver le nombre de chemins monotones allant de A `a R.
2. Soit B(i, j) un point du quadrillage (0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ p, trouver le nombre de chemins monotones allant
de O vers A passant par B.
3. On suppose n = p. On consid`ere les points Ci (i, n − i). Trouver le nombre total de chemins monotones
i=n 2
X
n
passant par les points Ci pour i variant de 1 `a n. En d´eduire
.
i
i=0
8