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P.C.S.I.1 Exercices
Exercice 1
A quelle
l’application
définie par
 condition

 0
x
x
∀X =  y  , ∀X 0 =  y 0  , Φ(X, X 0 ) = axx0 + 2xy 0 + byx0 + 2yy 0 + xz 0 + zx0 + zz 0 définit-elle un produit scalaire?
z
z0
Exercice 2
Avec les mêmes notations que ci-dessus, on considère Φ(X, X 0 ) = 4xx0 + xy 0 + yx0 + yy 0 + xz 0 + zx0 + zz 0 . Montrer
qu’on a ainsi défini un produit scalaire et donner une base orthonormale.
Exercice 3
Soit a ∈ R+ . Montrer que la formule Φ((x,y),(x0 ,y 0 )) = axx0 + b(xy 0 + x0 y) + cyy 0 définit un produit scalaire dans
R2 si et seulement si b2 − ac < 0.
Exercice 4
Dans E =
Rn
on pose (x1 , . . . ,xn )|(y1 . . . ,yn ) = a
n
X
xi yi + b
i=1
X
xi yj .
i6=j
A quelle condition cela définit-il un produit scalaire?
!2
n
n
X
X
6n
x2i .
Indication : on montrera :
xi
i=1
i=1
Exercice 5
Z
Pour P et Q ∈ R3 [X], on pose (P |Q) =
1
P (t)Q(t)dt. Vérifier que c’est un produit scalaire puis donner une
0
base orthogonale étagée de polynômes unitaires.
Exercice 6
On note `2 l’ensemble des suites (un ) de carré intégrable c’est-à-dire telles que
X
u2n converge.
Montrer `2 est un espace vectoriel, que pour tous u = (un ) et v = (vn ) ∈ `2 , le nombre (u|v) =
+∞
X
un vn existe et
n=0
que (u,v) 7→ (u|v) est un produit scalaire sur `2 .
Exercice 7
Le produit scalaire de Frobenius.
1. Notion de trace.
La trace d’une matrice carrée A est la somme de ses éléments diagonaux. On la note tr(A).
(a) Vérifier que la trace est linéaire.
(b) On pose A = (ai,j ) 16i6n et B = (bj,k ) 16j6n . Montrer que tr(AB) = tr(BA).
16j6n
16k6n
Pour toutes matrices A et B d’ordre n, on pose hA,Bi = tr(t AB).
2. Établir la bilinéarité et la symétrie.
3. Pour A = (ai,j ) 16i6n , donner l’expression de hA,Bi au moyen des ai,j et en déduire le caractère défini positif.
16j6n
Exercice 8
L’identité du parallélogramme.
Dans un espace euclidien E établir : ∀x, y ∈ E, kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ).
Pourquoi appelle-t-on cette relation l’identité du parallélogramme?
1
Exercice 9
Montrer que pour tous réels a1 , a2 . . . ,an on a :
a1 + a2 + · · · + an
6
n
r
a21 + a22 + · · · + a2n
.
n
Exercice 10
Z
Soit f positive continue par morceaux sur [0, 1]. On pose, pour tout n ∈ N,, In =
1
f n (t)dt.
0
Montrer que ∀n > 1, In2 6 In−1 In+1 .
Exercice 11
Montrer que pour tous réels a1 , a2 , . . . ,an > 0,
X
16i,j6n
ai
> n2
aj
.
Exercice 12
Soient n ∈
N∗ ,
x1 , . . . ,xn ∈
R∗+
tels que
n
X
xi = 1.
i=1
n
X
1
Montrer que :
> n2 et étudier le cas d’égalité.
xi
i=1
Exercice 13
Montrer que dans un plan vectoriel euclidien, il n’existe pas 3 vecteurs non nuls formant deux à deux des angles
2π
.
de mesures supérieures à
3
Exercice 14Z
1
(x − ax − bx − c) dx, a, b, c ∈ R .
3
Calculer min
2
2
0
Exercice 15 Z
Calculer min
a, b∈R
π
2
sin x − (ax + bx) dx .
2
0
Exercice 16
Le théorème de représentation
Soit E un espace euclidien. On note E 0 = L (E,R).
À tout vecteur x0 , on associe ϕx0 : E → R définie par x 7→ (x0 |x).
1. Montrer que ϕx0 ∈ E 0 .
2. Montrer que l’application de E dans E 0 qui à x0 associe ϕx0 est linéaire et déterminer son noyau.
3. Rappeler quelle est la dimension de E 0 et en déduire que Φ : x 7→ ϕx est un isomorphisme.


x1
 
4. On suppose E muni d’une base orthonormée B = (e1 , . . . ,en ). Soit ϕ : E → R qui à x de coordonnées  ...
xn
n
X
associe
aj xj où (a1 , . . . ,an ) est une famille de réels.
j=1
(a) Quelle est la matrice de ϕ dans la base B de E et la base canonique (?) de R?
(b) Quel est le vecteur x0 tel que ϕ = Φ(x0 )?
2
Exercice 17
Une application de l’exercice précédent.
Z
Soit n ∈ N. Montrer qu’il existe un unique polynôme An ∈ Rn [X] tel que ∀P ∈ Rn [X], P (0) =
1
An (t)P (t)dt.
0
Montrer que An est de degré n.
Exercice 18
Soit E un espace euclidien et ~x0 un vecteur unitaire de E. Déterminer les expressions générales des projecteurs et
⊥
symétries orthogonaux associés à la décomposition E = R~x0 ⊕ ~x⊥
0.
E étantmuni
 d’une B.O.N. (~e1 , . . . , ~en ), déterminer les matrices de ces endomorphismes dans cette base. On
a1
 
notera  ... les coordonnées de ~x0 dans cette base.
an
Exercice 19
Z
1
On pose ∀P, Q ∈ R[X], (P |Q) =
P (t)Q(t)dt.
−1
1. Vérifier qu’on a ainsi défini un produit scalaire dans R[X].
Désormais, R[X] est muni de ce produit scalaire.
2. Montrer que :
∀n ∈ N∗ , ∀P, Q ∈ R[X],
n−1
h
i1
X
P (n) |Q =
(−1)k P (n−1−k) (t)Q(k) (t)
+ (−1)n P |Q(n)
k=0
−1
3. Pour tout (p, q) ∈ N2 , calculer Ip,q = ((1 − X)p |(1 + X)q ) (intégrales d’Euler).
(n)
On pose, pour tout n ∈ N, Pn = (X 2 − 1)n et Ln = Pn (polynômes de Legendre).
4. Déterminer le degré, le coefficient dominant et la parité de Ln .
5. Démontrer que pour tout n ∈ N∗ , Ln est orthogonal à Rn−1 [X] ; en déduire que la famille (Ln )n∈N est
orthogonale.
6. Pour tout n ∈ N, calculer kLn k puis déterminer, pour tout n ∈ N, une base orthonormale de Rn [X].
Exercice 20
Soit [a,b] un segment non trivial et f : [a,b] → R+ une fonction continue non nulle.
Z b
Pour tous P, Q ∈ R[X], on pose (P |Q) =
f (t)P (t)Q(t)dt.
a
1. Montrer qu’on a bien défini un produit scalaire.
2. Montrer qu’il existe une unique famille orthogonale de vecteurs unitaires (Pn )n∈N telle que pour tout
n, d◦ (Pn ) = n.
3. Montrer que chaque polynôme Pn est scindé à racines simples.
Indication :
On suppose que Pn s’annule et change de signe en p valeurs x1 , . . . ,xp telles que a < x1 < x2 < · · · < xp < b
p
Y
avec p < n. Justifier que t 7→ Pn (t) (t − xi ) est de signe constant et aboutir à une contradiction en
i=1
!
p
Y
considérant Pn
(X − xi ) .
i=1
Exercice 21
Soit E, préhilbertien réel et f : E → E telle que f (0) = 0 et ∀(x,y) ∈ E 2 , kf (x) − f (y)k = kx − yk.
1. Montrer que f conserve la norme puis le produit scalaire.
2. En déduire que f est linéaire.
3
Exercice 22
Soit F le sous-espace vectoriel de R4 (muni de sa structure euclidienne canonique) d’équations
x + y + z + t = 0
x − y + z − t = 0
Trouver l’expression analytique du projecteur orthogonal sur F .
Exercice 23
Le produit vectoriel dans R3 .
1. Notion d’orientation. E désigne ici un R-espace vectoriel de dimension finie. Pour B, B 0 deux bases de E,
on dit que B 0 à la même orientation que B 0 lors det(PB,B0 ) > 0.
(a) Montrer que cette relation est une relation d’équivalence et que si B 0 et B 00 ne sont pas de même
orientation qu’une base B alors B 0 et B 00 sont de même orientation entre elles.
(b) Soit B = (i,j,k) une base d’un R-espace de dimension 3.
Parmi les bases obtenues en permutant les vecteurs de B, dire lesquelles sont de même orientation que
B et lesquelles sont d’orientation contraire.
On dit qu’on a orienté un espace de dimension n lorsqu’on a choisi une base B0 arbitrairement. Toutes les
bases de même orientation que B0 sont dites directes et les autres indirectes.
Dans Rn , on choisit toujours la base conique pour déterminer l’orientation.
2. Matrices orthogonales.
 
 
x1
y1
n
X
 .. 
 .. 
n
R est muni du produit scalaire canonique : ∀X =  .  , ∀Y =  .  , (X|Y ) = X T Y =
xi yi .
3.
4.
5.
6.
7.
i=1
xn
yn
Une matrice A = (C1 , . . . ,Cn ) est dite orthogonale lorsque ses colonnes forment une base orthonormale pour
le produit scalaire canonique.
On note On (R) l’ensemble des matrices orthogonales.
(a) Déterminer la forme générale des matrices appartenant à O2 (R).
(b) Montrer qu’une matrice A ∈ Mn (R) est orthogonale si et seulement si AT A = In .
(c) Montrer que On (R) est un sous-groupe de GLn (R) c’est-à-dire que :
• On (R) ⊂ GLn (R)
• ∀A, B ∈ On (R), AB ∈ On (R)
• ∀A ∈ On (R), A−1 ∈ On (R).
(d) Montrer que ∀A ∈ On (R), det(A) ∈ {−1, + 1}.
(e) Soit B = (e1 , . . . ,en ) une base orthonormale d’un R-e.v euclidien E .
Montrer qu’une base C = (f1 , . . . ,fn ) est orthonormale si et seulement si PB,C ∈ On (R).
Dans toute la suite E désigne un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.
Produit mixte.
Montrer que si B et C sont deux bases orthonormales directes, alors detB = detC .
On appelle produit mixte de trois vecteurs u, v, w et on note [u,v,w] le nombre detB (u,v,w) où B est une
base orthonormale directe.
Produit vectoriel (définition) On rappelle que, pour toute forme linéaire ϕ0 , il existe un unique vecteur x0
tel que ∀x ∈ E, ϕ0 (x) = (x0 |x).
Montrer que, pour tous vecteurs u et v ∈ E, il existe un unique vecteur noté u ∧ v tel que ∀x ∈ E, [u,v,x] =
(u ∧ v|x).
Montrer que le produit vectoriel est bilinéaire et antisymétrique.
Indication : Quand on veut prouver que deux vecteurs a et b sont égaux, il suffit de montrer que
∀x ∈ E, (a|x) = (b|x).
Montrer que ∀u, v, (u,v) est libre si et seulement si u ∧ v 6= 0 et que, dans ce cas, u ∧ v est orthogonal à u
et v.
Calculer les coordonnées de u ∧ u0 dans une base orthonormale directe en fonction de celles de u et u0 .
4