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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014
Enoncés
1
Diagonalisation de forme bilinéaire symétrique
Exercice 1 [ 00024 ] [correction]
Soit A ∈ Mn (R) inversible.
a) Justifier que t AA est la matrice dans la base canonique d’un produit scalaire
sur Rn .
b) En orthonormalisant la base canonique pour ce produit scalaire, établir qu’il
existe une matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement
positifs P vérifiant
t t
P AAP = In
c) Etablir qu’il existe Q orthogonale et R triangulaire supérieure à coefficients
diagonaux strictement positifs vérifiant A = QR.
d) Etudier l’unicité de cette écriture.
Exercice 2 [ 00019 ] [correction]
[Décomposition de Cholesky]
Soit S ∈ Sn++ (R). Montrer qu’il existe une unique matrice triangulaire supérieure
T à coefficients diagonaux positifs vérifiant S = t T T .
Exercice 3 [ 02760 ] [correction]
Montrer que le déterminant d’une matrice symétrique réelle définie positive est
majoré par le produit de ses éléments diagonaux.
Exercice 4 [ 03087 ] [correction]
[Inégalité de Hadamard]
Soit S = (si,j ) ∈ Sn++ (R).
a) Montrer qu’il existe T ∈ Tn+ (R) vérifiant S = t T T .
b) En déduire que
n
Y
det S 6
si,i
i=1
c) Etablir que pour tout A = (ai,j ) ∈ Mn (R)

|det A| 6 
n X
n
Y
1/2
a2i,j 
j=1 i=1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Corrections
Corrections
2
donne M = t P P . D’une part mi,i =
n
P
j=1
Exercice 1 : [énoncé]
a) La matrice t AA est définie positive.
b) Par le procédé de Schmidt, on peut orthonormaliser la base canonique de Rn et
la matrice de passage correspondante est alors triangulaire supérieure. Puisque la
matrice d’un produit scalaire dans une base orthonormée est l’identité, la formule
de changement de base donne t P t AAP = In avec P triangulaire supérieure
inversible.
c) Les matrices Q = AP et R = P −1 conviennent.
d) Si A = QR = Q0 R0 alors QQ0−1 = R0 R−1 est une matrice orthogonale
triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs. En étudiant
successivement ses colonnes, on obtient QQ0−1 = R0 R−1 = In puis l’unicité de la
décomposition.
det M = (det P )2 =
n
Q
i=1
p2i,j > p2i,i et d’autre part
p2i,i permettent de conclure.
Exercice 4 : [énoncé]
a) Soit ϕ la forme bilinéaire symétrique sur Rn représentée par S dans la base
canonique B de Rn .
ϕ est un produit scalaire car S ∈ Sn++ (R).
Soit B 0 l’orthonormalisée de Schmidt de la famille B pour le produit scalaire ϕ.
Notons T la matrice de passage de B 0 à B. Celle-ci est triangulaire supérieure.
Puisque la matrice de la forme bilinéaire symétrique ϕ dans la base orthonormée
B 0 est In , la formule de changement de base donne
S = t T In T = t T T
Exercice 2 : [énoncé]
Existence : Soit ϕ la forme bilinéaire symétrique sur Rn représentée par S dans la
base canonique B de Rn .
ϕ est un produit scalaire car S ∈ Sn++ (R).
Soit B 0 l’orthonormalisée de Schmidt de la famille B pour le produit scalaire ϕ.
Notons T la matrice de passage de B 0 à B. Celle-ci est triangulaire supérieure à
coefficients diagonaux positifs.
Puisque la matrice de la forme bilinéaire symétrique ϕ dans la base orthonormée
B 0 est In , la formule de changement de base donne S = t T In T = t T T .
Unicité : Supposons T, T 0 solutions. Puisque S est inversible, les matrices T et T 0
sont elles aussi inversibles.
On a t T T = t T 0 T 0 donc T T 0−1 = t T −1t T 0 = t (T 0 T −1 ).
Or la matrice T T 0−1 est triangulaire supérieure alors que t (T 0 T −1 ) est
triangulaire inférieure. On en déduit que T T 0−1 = D avec D matrice diagonale.
De plus les coefficients diagonaux de T et T 0 étant strictement positifs, l’égalité
T = DT 0 entraîne que les coefficients diagonaux de D sont eux aussi positifs.
Enfin, l’égalité t T T = t T 0 T 0 donnet T 0 D2 T 0 = t T 0 T 0 puis D2 = In d’où D = In et
finalement T = T 0 .
b) Notons ti,j les coefficients de la matrice T .
On a
i
X
si,i =
t2k,i > t2i,i
k=1
donc
n
Y
i=1
si,i >
n
Y
t2i,i > (det T )2 = det S
i=1
c) Si A ∈
/ GLn (R), la propriété est immédiate.
Si A ∈ GLn (R) alors S = t AA ∈ Sn++ (R) et sj,j =
n
P
i=1
(det A)2 = det S 6
n X
n
Y
a2i,j donc
a2i,j
j=1 i=1
puis l’inégalité proposée.
Exercice 3 : [énoncé]
Soit M ∈ Sn++ (R). ϕ(x, y) = t XM Y définit un produit scalaire sur E = Rn .
En orthonormalisant pour le produit scalaire ϕ la base canonique B de Rn par le
procédé de Schmidt, on obtient une base B 0 et la matrice de passage P de B 0 à B
est triangulaire supérieure. Par changement de base ϕ(x, y) = t X 0 Y 0 = t X t P P Y
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