Transcript Le plandans R Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon.

Le plan
3
dans R
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
Dans cette présentation nous verrons comment
déterminer l’équation d’un plan à l’aide des
vecteurs. Un plan est complètement déterminé
dans les cas suivants :
Un point du plan et un vecteur normal sont
connus.
Un point du plan et deux vecteurs directeurs
sont connus.
Cela constitue un repère du plan.
Trois points du plan sont connus.
Un vecteur joignant deux de ces points est un
vecteur directeur du plan.
Vecteur normal
Définition
Vecteur normal
Un vecteur normal à un plan de R3 est un vecteur perpendiculaire à
toutes les droites de ce plan.
Pour trouver l’équation d’un plan, on doit décrire la condition à
laquelle doit satisfaire un point pour être dans ce plan. Dans les
situations que nous allons présenter, cette condition s’exprime à
l’aide des vecteurs.
Exemple 11.1.1
Trouver une équation du plan passant par
le point R(2; 5; 8) et perpendiculaire au
vecteur N = (4; 3; 6).
La condition à laquelle doit satisfaire un
point P(x; y; z) quelconque pour être dans
le plan est que le vecteur
RP = (x – 2; y – 5; z – 8)
soit perpendiculaire au vecteur N = (4; 3; 6).
Autrement dit, pour que le point P(x; y; z) soit dans le plan, il faut que
le produit scalaire des vecteurs soit nul. On a donc :
N • RP = (4; 3; 6) • (x – 2; y – 5; z – 8) = 0
d’où : 4(x – 2) + 3(y – 5) + 6(z – 8) = 0 et l’équation du plan est :
4x + 3y + 6z – 71 = 0.
S
Équation cartésienne d’un plan de R3
Un point et un vecteur normal sont donnés
Considérons un plan dont on connaît
un point R(x1; y1; z1) et un vecteur
normal N = (a; b; c).
Pour qu’un point P(x ; y; z) soit dans
ce plan, il faut que le vecteur RP
soit perpendiculaire au vecteur N.
On doit donc avoir :
N • RP = (a ; b; c) • (x – x1; y – y1 ; z – z1) = 0,
d’où : ax + by + cz – ax1 – by1 – cz1 = 0 et l’équation cartésienne est :
ax + by + cz + d = 0, où d = – ax1 – by1 – cz1
Équation cartésienne d’un plan de R3
Un point et un vecteur normal sont donnés
Définition
Équation cartésienne d’un plan de R3
Soit R(x1; y1 ; z1), un point d’un plan ∏, et N = (a; b; c), un vecteur
normal à ce plan. On appelle équation cartésienne du plan
l’équation :
ax + by + cz + d = 0,
où d = –ax1 – by1 – cz1.
Remarque :
Dans l’équation cartésienne de la droite, les coefficients des variables
donnent un vecteur normal à la droite.
Équation cartésienne d’un plan de R3
Procédure
pour trouver l’équation cartésienne d’un plan de R3 dont un point
et un vecteur normal sont connus
1. Soit R, le point, et N, le vecteur
normal. Construire le vecteur allant
du point R à un point P quelconque
de coordonnées (x; y; z).
2. Effectuer le produit scalaire des
vecteurs N et RP.
3. Faire égaler le produit à 0 et
regrouper les constantes.
Exercice
Trouver une équation du plan passant par
le point R(3; 6; 5) et perpendiculaire au
vecteur N = (5; 2; 4).
La condition à laquelle doit satisfaire un
point P(x; y; z) quelconque pour être dans
le plan est que le vecteur
RP = (x – 3; y – 6; z – 5)
soit perpendiculaire au vecteur N = (5; 2; 4).
Autrement dit, pour que le point P(x; y; z) soit dans le plan, il faut que
le produit scalaire des vecteurs soit nul. On a donc :
N • RP = (5; 2; 4) • (x – 3; y – 6; z – 5) = 0
d’où : 5(x – 3) + 2(y – 6) + 4(z – 5) = 0 et l’équation du plan est :
5x + 2y + 4z – 47 = 0.
S
Représentation graphique de plans de R3
Une équation cartésienne de la forme :
ax + by + cz + d = 0
où a, b et c ne sont pas tous nuls, représente toujours un plan dans R3.
Lorsque a ≠ 0, b ≠ 0 et c ≠ 0, le plan coupe les trois axes et les points
d’intersection avec les axes sont :
• axe des x (–d/a; 0; 0),
• axe des y (0; –d/b; 0),
• axe des z (0; 0; –d/c).
On peut esquisser une représentation graphique d’un plan dont une
équation cartésienne est donnée en déterminant ses points de
rencontre avec les axes et, pour alléger la représentation, on ne donne
parfois que le triangle déterminé par l’intersection avec les axes.
Exemple 11.1.2 a
Esquisser la représentation graphique
du plan d’équation :
∏1 : 6x + 4y + 3z – 12 = 0
Donner un vecteur normal au plan.
Pour déterminer le point de rencontre
du plan ∏1 avec l’axe des x, on pose
y = 0 et z = 0 dans l’équation :
6x + 4y + 3z – 12 = 0,
ce qui donne : 6x – 12 = 0. D’où : x = 2.
Le plan coupe donc l’axe des x au point (2; 0; 0). Il coupe l’axe des y
au point (0; 3; 0) et l’axe des z au point (0; 0; 4).
Ces trois points permettent de représenter une portion du plan.
Le vecteur normal tiré de l’équation cartésienne est N = (6; 4; 3).
S
Exemple 11.1.2 b
Esquisser la représentation graphique
du plan d’équation :
∏2 : 3x + 2y – 6 = 0
Donner un vecteur normal au plan.
En procédant comme en a, on trouve
que le plan ∏2 coupe l’axe des x au
point (2; 0; 0) et il coupe l’axe des y au
point (0; 3; 0).
Cependant, en posant x = 0 et y = 0, on obtient une impossibilité. Le
plan ne coupe pas l’axe des z.
La variable z est libre et le plan ∏2 est parallèle à l’axe des z.
Le vecteur normal tiré de l’équation cartésienne est N = (3; 2; 0).
S
Exemple 11.1.2 c
Esquisser la représentation graphique
du plan d’équation :
∏3 : y – 3 = 0
Donner un vecteur normal au plan.
Le plan ∏3 coupe l’axe des y au point
(0; 3; 0) mais il ne coupe pas l’axe des x
ni l’axe des z.
Les variables x et z sont libres et le plan ∏3 est parallèle à l’axe des x et
à l’axe des z.
S
Le vecteur normal tiré de l’équation cartésienne est N = (0; 1; 0).
Équation vectorielle et équations paramétriques
Définition
Vecteur directeur
Un vecteur directeur d’un plan est un vecteur parallèle à une des
droites du plan. Nous le noterons D.
En donnant un point et deux vecteurs directeurs linéairement
indépendants, on détermine complètement un plan. En effet, ce point
et ces vecteurs constituent un repère du plan. On peut donc en
trouver une équation en utilisant cette information.
Il y a différentes formes sous lesquelles on peut décrire symboliquement un plan dont on connaît un point et deux vecteurs
directeurs linéairement indépendants. On peut en donner une
équation vectorielle ou une description paramétrique.
Exemple 11.1.3
Trouver une équation vectorielle et une
description paramétrique du plan passant
par le point R(3; 2; 8) et parallèle aux
vecteurs directeurs :
D1 = (2; 1; 3) et D2 = (1; –2; 2).
Soit un point P(x; y; z) de ce plan, alors :
OP = OR + RP , d’où :
OP = OR + s D1 + t D2 , où s et t  R.
Cela donne l’équation vectorielle :
(x; y; z) = (3; 2; 8) + s (2; 1; 3) + t (1; –2; 2)
= (3 + 2 s + t; 2 + s – 2 t; 8 + 3 s + 2 t), où s et t  R.
D’où l’on tire la description paramétrique du plan :
x = 3 + 2s + t
, où s et t  R.
∏ : y = 2 + s – 2t
z = 8 + 3s + 2t
S
Équations paramétriques d’un plan de R3
Un point et deux vecteurs directeurs sont donnés
Considérons un plan dont on connaît un
point R(x1; y1; z1) et deux vecteurs directeurs D1 = (a; b; c) et D2 = (d; e; f).
Soit un point P(x; y; z) de ce plan, alors :
OP = OR + RP, d’où :
OP = OR + s D1 + t D2 , où s et t  R.
Cela donne l’équation vectorielle :
(x; y; z) = (x1; y1; z1) + s (a; b; c) + t (d; e; f)
= (x1 + a s + d t; y1 + b s + e t; z1 + c s + f t), où s et t  R.
x = x1 + a s + d t
D’où l’on tire : ∏ : y = y1 + b s + e t , où s et t  R.
z = z1 + c s + f t
Remarque :
SS
Dans la description paramétrique, les coefficients des paramètres
donnent des vecteurs directeurs du plan et les constantes donnent un
point du plan.
Exercice
Trouver une équation vectorielle et une description paramétrique du
plan passant par le point R(–4; 8; –3) et parallèle aux vecteurs
directeurs :
D1 = (4; –2; 5) et D2 = (2; 6; –3).
Soit un point P(x; y; z) de ce plan, alors :
OP = OR + RP , d’où :
OP = OR + s D1 + t D2 , où s et t  R.
Cela donne l’équation vectorielle :
(x; y; z) = (–4; 8; –3) + s (4; –2; 5) + t (2; 6; –3).
= (–4 + 4 s + 2t; 8 – 2s + 6 t; –3 + 5 s – 3 t), où s et t  R.
D’où l’on tire la description paramétrique du plan :
x = –4 + 4 s + 2t
∏ : y = 8 – 2s + 6 t , où s et t  R.
z = –3 + 5 s – 3 t
S
Exemple 11.1.4
Trouver une équation cartésienne du plan ∏
passant par les points de coordonnées A(2; –5; 7),
B(4; –2; 8) et C(–3; 2; –1).
Déterminons d’abord deux vecteurs directeurs :
D1 = AB = (2; 3; 1) et D2 = AC = (–5; 7; –8).
Puis, un vecteur normal par le produit vectoriel :
i
j k
N = AB AC =
2
3
1 = –31 i + 11 j + 29 k
–5
7 –8
Le vecteur normal est N = (–31; 11; 29).
Un point P(x; y; z) est dans le plan ∏ si et seulement si les vecteurs N
et AP = (x – 2; y + 5; z – 7) sont perpendiculaires.
On a donc : N • AP = (–31; 11; 29) • (x – 2; y + 5; z – 7)
= –31(x – 2) + 11(y + 5) + 29(z – 7)
S
= –31x + 11y + 29z – 86 = 0
Cette équation est une équation cartésienne du plan passant par les
points A, B et C.
Équation cartésienne et vecteurs coplanaires
Pour trouver l’équation cartésienne d’un plan dont un point et deux
vecteurs directeurs sont connus, on peut procéder plus directement.
Ainsi, dans l’exemple précédent, le point P fait partie du plan ∏ si et
seulement si les vecteurs AP, AB et AC sont coplanaires.
C’est-à-dire si et seulement si le déterminant dont les lignes sont les
composantes des vecteurs est égal à 0, d’où :
x–2 y+5 z–7
2
3
1
det(AP, AB, AC) =
–5
7
–8
= (x – 2)(–31) – (y + 5)(–11) + (z – 7)(29)
= –31x + 11y + 29z – 86
Le point P appartient au plan ∏ si et seulement si :
–31x + 11y + 29z – 86 = 0
C’est une équation cartésienne du plan ∏.
Exemple 11.1.5
Trouver une équation cartésienne du plan ∏
passant par le point R(3; 2; –1) et parallèle aux
vecteurs : D1 = (2; 1; 5) et D2 = (4; –2; 2).
Un point P(x; y; z) est dans le plan ∏ si et
seulement si les vecteurs RP, D1 et D2
sont coplanaires.
x–3 y–2 z+1
2
1
5
det(RP, D1, D2) =
4
–2
2
= 12(x – 3) – (–16)(y – 2) + (–8)(z + 1)
= 12x + 16y – 8z – 76
En faisant égaler à 0, on a 12x + 16y – 8z – 76 = 0.
S
Puisque tous les coefficients sont divisibles par 4, on peut donner une
équation simplifiée, soit :
3x + 4y – 2z – 19 = 0
Équations vectorielle et paramétriques
Définition
Équation vectorielle et équations paramétriques
Soit R(x1; y1 ; z1), un point d’un plan, et D1 = (a; b; c) et D2 = (d; e; f),
deux vecteurs directeurs de ce plan. On appelle équation vectorielle
du plan l’équation :
OP = OR + s D1 + t D2 , où s et t  R.
En exprimant les vecteurs dans la base usuelle de R3, cela donne :
(x; y; z) = (x1; y1 ; z1) + s (a; b; c) + t (d; e; f)
= (x1 + a s + d t; y1 + b s + e t; z1 + c s + f t) , où s et t  R.
On appelle équations paramétriques du plan les équations :
x = x1 + a s + d t
∏:
y = y1 + b s + e t , où s et t sont des nombres réels.
z = z1 + c s + f t
Équations vectorielle et paramétriques
Procédure
pour trouver une équation vectorielle ou une description
paramétrique d’un plan passant par trois points
Soit A, B et C, les trois points.
1. Déterminer deux vecteurs directeurs,
par exemple :
D1 = AB et D2 = AC .
2. Substituer les coordonnées de l’un des
points et les composantes des deux
vecteurs directeurs dans la forme
générale de l’équation cherchée.
Équation cartésienne
Procédure
pour trouver une équation cartésienne d’un plan passant par trois
points connus
Soit A, B et C, les trois points.
1. Déterminer les vecteurs directeurs :
D1 = AB et D2 = AC et le vecteur AP,
où P(x; y; z) est un point quelconque .
2. Effectuer le calcul de :
det(AP, AB, AC)
Faire égaler à 0.
3. Regrouper les constantes.
Produit mixte de vecteurs
Définition
Produit mixte de vecteurs algébriques
Soit u = (u1; u2; u3), v = (v1; v2; v3) et w = (w1; w2; w3), trois vecteurs
de R3.
Le produit mixte de ces trois vecteurs est défini par :
u • (v w)
Calcul du produit mixte
Déterminons la procédure à suivre pour effectuer le produit mixte.
Soit u = (u1; u2; u3), v = (v1; v2; v3) et w = (w1; w2; w3), trois vecteurs
de R3. Le produit vectoriel donne :
i
v w =
j
v2
w2
v1
w1
k
v3
w3
= C11 i + C12 j + C13 k = (C11; C12; C13)
En effectuant le produit scalaire, on obtient :
SS
u • (v w) = (u1; u2; u3) • (C11; C12; C13) = u1 C11 + u2 C12 + u3C13
=
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
On constate que, pour calculer le produit mixte des trois vecteurs, il
suffit de calculer le déterminant de la matrice dont les lignes sont
formées des composantes des trois vecteurs.
Calcul du produit mixte
Théorème
Produit mixte et déterminant
Soit u, v et w, trois vecteurs de R3. Alors :
u • (v w) = det(u, v, w)
Remarque
Le produit mixte est nul si les vecteurs u, v et w sont coplanaires. S
En effet, le vecteur u est alors perpendiculaire au produit vectoriel v
 w.
Si les vecteurs ne sont pas coplanaires, le produit mixte est non nul.
Produit mixte
Propriétés
du produit mixte
Soit u, v et w , trois vecteurs de R3.
1. u • (v w) = 0



det(u, v, w) = 0
u, v et w sont coplanaires
u, v et w sont linéairement dépendants.
2. u • (u w) = det(u, u, w) = 0
3. u • (v w) = –u • (w v)
= w • (u v)
4. ku • (mv nw) = kmn [u • (v w)]
, où k, m et n  R.
On démontre facilement ces propriétés en utilisant celles des
déterminants.
Produit mixte
Produit mixte
Théorème
Valeur absolue du produit mixte
Soit u, v et w, trois vecteurs de R3. Alors :
Le volume du parallélépipède construit sur ces vecteurs est donné
par :
V = u • (v w) = det(u, v, w)
Produit mixte nul
Le produit mixte est nul si et seulement si les trois vecteurs sont
coplanaires. Pour des vecteurs algébriques de R3, cela se traduit par
le fait que l’une des lignes du déterminant est combinaison linéaire
des deux autres.
Exemple 11.1.7
Calculer le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs :
u = (2; 1; 4), v = (3; –2; 5) et
w = (8; 1; 3)
Le produit mixte donne :
u • (v w) =
2
3
8
1
–2
1
4
5
3
= [2 (–11)] – [1 (–31)] + [4 (19)] = 85
On a donc :
u • (v w)
= 85
Le volume du parallélépipède est donc de 85 unités de volume.
S
Conclusion
On peut caractériser un plan de R3 en donnant un point de celui-ci ou
en donnant un vecteur normal ou deux vecteurs directeurs. Cela est
suffisant pour déterminer une équation du plan.
À partir de l’équation cartésienne d’un plan, on peut déterminer un
vecteur normal. À partir d’une description paramétrique, on peut
déterminer deux vecteurs directeurs.
On peut déterminer l’équation cartésienne du plan dont on connaît
un point et deux vecteurs directeurs à l’aide du produit mixte. Ce
produit que l’on obtient par le calcul d’un déterminant nous permet
également de calculer le volume d’un parallélépipède et de vérifier si
des vecteurs sont linéairement indépendants ou linéairement dépendants.
Lecture
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en
sciences de la nature. Section 11.1, p.309-318.
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en
sciences humaines. Section 10.1, p. 247-257.
Exercices
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en
sciences de la nature. Section 11.2, p. 318-320.
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en
sciences humaines. Section 10.2, p.257-259.