Transcript La droite dans R Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Introduction Dans cette présentation, nous verrons comment obtenir l’équation d’une droite de.

La droite dans
2
R
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
Dans cette présentation, nous verrons comment obtenir l’équation
d’une droite de R2 dont certaines caractéristiques sont décrites à
l’aide des vecteurs.
Pour décrire une droite de R2, on peut :
• donner un point et un vecteur
perpendiculaire à la droite (ou
vecteur normal);
• donner un point et un vecteur
parallèle à la droite (ou vecteur
directeur).
Vecteur normal
Définition
Vecteur normal
Un vecteur normal à une droite de R2 est un vecteur perpendiculaire à cette droite. Nous le notons N.
Comme nous l’avons fait précédemment, nous emploierons parfois
la lettre grecque ∆ (delta) pour désigner une droite.
Rappelons que, pour trouver l’équation d’une droite, on doit décrire
la condition à laquelle doit satisfaire un point pour être sur cette
droite. Dans les situations que nous allons présenter, cette condition
s’exprime à l’aide des vecteurs.
Équation d’une droite de R2
Un point et un vecteur normal sont donnés
Considérons une droite dont on connaît un
point R(x1; y1) et un vecteur normal N = (a; b).
Pour qu’un point P(x ; y) soit sur cette droite,
il faut que le vecteur RP soit perpendiculaire
au vecteur N.
On doit donc avoir :
N • RP = (a ; b) • (x – x1; y – y1) = 0,
d’où : ax + by – ax1 – by1 = 0.
Dans cette équation, –ax1 – by1 est une constante que l’on désigne
par c. On a donc une équation de la forme :
ax + by + c = 0
Réciproquement, on peut prouver que ax + by + c = 0 est l’équation
d’une droite perpendiculaire au vecteur N = (a; b).
Équation cartésienne d’une droite de R2
Définition
Équation cartésienne d’une droite de R2
Soit R(x1; y1), un point d’une droite ∆, et N = (a; b), un vecteur
normal à cette droite. On appelle équation cartésienne de la droite
l’équation :
ax + by + c = 0,
où c = –ax1 – by1.
Remarque :
Dans l’équation cartésienne de la droite, les coefficients des variables
représentent un vecteur normal à la droite.
Équation cartésienne d’une droite de R2
Procédure
pour trouver l’équation cartésienne d’une droite de R2 dont un
point et un vecteur normal sont connus
1. Soit R, le point, et N, le vecteur normal.
Construire le vecteur allant du point R à un
point P quelconque de coordonnées (x; y).
2. Effectuer le produit scalaire des vecteurs N et
RP.
3. Faire égaler le produit à 0 et regrouper les
constantes.
Exemple 10.1.1
Trouver une équation cartésienne de la droite passant par le point
R(4; 5) et perpendiculaire au vecteur N = (2; 1).
Soit P(x ; y), un point quelconque de R2. Le
vecteur RP est alors :
RP = (x – 4; y – 5)
Pour que P soit sur cette droite, il faut que le
vecteur RP soit perpendiculaire au vecteur N.
Leur produit scalaire doit donc être nul.
N • RP = (2; 1) • (x – 4; y – 5) = 0
2x – 8 + y – 5 = 0
2x + y – 13 = 0
L’équation cartésienne est donc :
2x + y – 13 = 0
S
Exercice
Trouver une équation cartésienne de la droite passant par le point
R(6; 3) et perpendiculaire au vecteur N = (1; 3).
Soit P(x ; y), un point quelconque de R2. Le
vecteur RP est alors :
RP = (x – 6; y – 3)
Pour que P soit sur cette droite, il faut que le
vecteur RP soit perpendiculaire au vecteur N.
Leur produit scalaire doit donc être nul.
N • RP = (1; 3) • (x – 6; y – 3) = 0
x – 6 + 3y – 9 = 0
x + 3y – 15 = 0
L’équation cartésienne est donc :
x + 3y – 15 = 0
S
Vecteur directeur
Définition
Vecteur directeur
Un vecteur directeur est un vecteur parallèle à un lieu géométrique,
à une droite ou à un plan. Nous le noterons D.
En donnant un point et un vecteur directeur, on détermine
complètement une droite. On peut donc en trouver une équation en
utilisant cette information.
Il y a différentes formes sous lesquelles on peut décrire symboliquement une droite dont on connaît un point et un vecteur
directeur. On peut en donner une équation vectorielle, une description paramétrique ou une équation symétrique.
Vecteur position
Rappelons qu’un repère d’une droite
est constitué d’un point de celle-ci et
d’un vecteur directeur.
À partir d’un point fixe considéré
comme origine, on peut décrire
chaque point de la droite par un
vecteur position.
En considérant que le domaine de variation du paramètre est R, on
obtient alors une équation vectorielle de la droite, soit :
OX = OP + t D, où t est un nombre réel.
Remarque :
Dans R2, les vecteurs OX, OP et D s’expriment en fonction de la base.
On utilisera la base orthonormée usuelle.
Équations paramétriques d’une droite de R2
Un point et un vecteur directeur sont donnés
Considérons une droite dont on connaît
un point R(x1; y1) et un vecteur directeur
D = (a; b).
Soit un point P(x; y) de cette droite, alors :
OP = OR + RP , d’où :
OP = OR + t D, où t est un nombre réel.
Cela donne l’équation vectorielle :
(x; y) = (x1; y1) + t (a; b) = (x1 + a t; y1 + b t) , où t est un nombre réel.
L’égalité des vecteurs donne la description paramétrique de la droite :
x = x1 + a t
, où t est un nombre réel.
∆:
y = y1 + b t
Remarque :
Dans une description paramétrique de la droite, les coefficients du
paramètre donnent un vecteur directeur de la droite et les constantes
donnent un point de la droite.
Équations vectorielle et paramétriques
Définition
Équation vectorielle et équations paramétriques
Soit R(x1; y1), un point d’une droite, et D = (a; b), un vecteur
directeur de cette droite. On appelle équation vectorielle de la droite
l’équation :
OP = OR + t D, où t est un nombre réel.
En exprimant les vecteurs dans la base usuelle de R2, cela donne :
(x; y) = (x1; y1) + t (a; b) = (x1 + a t; y1 + b t) , où t est un nombre réel.
On appelle équations paramétriques de la droite les équations :
∆:
x = x1 + a t
y = y1 + b t
, où t est un nombre réel.
Exemple 10.1.2
Trouver les équations paramétriques, puis une équation cartésienne
de la droite passant par le point R(3; 2) et parallèle au vecteur
D = (–1; 3).
Soit
; y), un
quelconque
de àR2partir
. Ce
PourP(x
trouver
unepoint
équation
cartésienne
des équations
il faut éliminer
point
est sur laparamétriques,
droite si le vecteur
RP est
le paramètre.
Pourdirecteur.
ce faire,C’est
isolons
t dans
parallèle
au vecteur
à dire
s’il
chacune
des équations.
existe
un scalaire
t tel queOn
: trouve alors :
x–3
y–2
t=
= OR
t= +tD
–1OPet
3
x – 3 les vecteurs
y–2
En
considérant
algébriques dans la base usuelle, on a :
D’où
:
=
–1
3
S
(x; y) = (3; 2) + t (–1; 3) = (3 – t; 2 + 3t)
Cela donne : 3x – 9 = –y + 2
Les équations paramétriques sont alors :
Et on xobtient
= 3 – tl’équation cartésienne :
, où t est un nombre réel.
∆:
3x + y – 11 = 0
y = 2+ 3 t
Exercice
Trouver les équations paramétriques, puis une équation cartésienne
de la droite passant par le point R(4; 2) et parallèle au vecteur
D = (3; –2).
2. Ce
Soit
; y), une
un point
quelconque
de àRpartir
PourP(x
trouver
équation
cartésienne
point
est sur laparamétriques,
droite si le vecteur
RP est
des équations
il faut éliminer
le paramètre.
Pourdirecteur.
ce faire,C’est
isolons
t dans
parallèle
au vecteur
à dire
s’il
chacune
des équations.
On
existe
un scalaire
t tel que
: trouve alors :
x–4
y–2
OP = OR + t D
t=
3 et t = –2
x – 4 les vecteurs
y–2
En
considérant
algébriques dans la base usuelle, on a :
D’où
:
=
3
–2
S
(x;donne
y) = (4;
+ t+(3;
Cela
: 2)–2x
8 =–2)
3y=– (4
6 + 3 t; 2 – 2t)
Les
équations
sont alors
Et on
obtient paramétriques
l’équation cartésienne
: :–2x – 3y + 14 = 0
En multipliant
x = 4 + 3tles deux membres de l’équation par –1, on a :
, où t est un nombre réel.
∆:
2x + 3y – 14 = 0
y = 2 – 2t
Équation symétrique d’une droite de R2
Définition
Équation symétrique
Soit R(x1; y1), un point d’une droite, et D = (a; b), un vecteur
directeur de cette droite. L’équation symétrique de la droite est :
y – y1
x – x1
, si a ≠ 0 et b ≠ 0.
=
b
a
Remarque :
Dans une équation symétrique de la droite, les dénominateurs donnent
un vecteur directeur de la droite et les constantes donnent un point de
la droite.
Positions relatives de droites dans R2
Droites parallèles
Caractéristiques des droites parallèles
Les vecteurs normaux sont parallèles :
$ k  R tel queN1 = k N2
Les vecteurs directeurs sont parallèles :
$ k  R tel que D1 = k D2
Le vecteur normal de l’une des droites
est perpendiculaire au vecteur directeur
de l’autre droite :
D1 • N2 = 0 et N1 • D2 = 0
Positions relatives de droites dans R2
Droites parallèles
Caractéristiques des droites parallèles distinctes
• Lorsqu’un point R(x1; y1) est sur l’une des
droites, il ne peut être sur l’autre droite :
si R ∆1, alors R  ∆2
• Il n’y a aucun point d’intersection.
Caractéristiques des droites parallèles confondues
• Lorsqu’un point R(x1; y1) est sur l’une des
droites, il est sur l’autre droite :
si R ∆1, alors R  ∆2
• Il y a une infinité de points d’intersection.
Positions relatives de droites dans R2
Droites concourantes
Caractéristiques des droites concourantes
• Les droites ne sont pas parallèles.
• Les vecteurs normaux sont non colinéaires :
" k  R\{0}, N1 ≠ k N2
• Les vecteurs directeurs sont non colinéaires :
" k  R\{0},D1 ≠ k D2
• Le vecteur normal de l’une des droites
n’est pas perpendiculaire au vecteur
directeur de l’autre droite :
N1 • D2 ≠ 0 et D1 • N2 ≠ 0
• Il y a un seul point d’intersection.
Exemple 10.1.4
Déterminer la position relative des droites ∆1 et ∆2, où :
x = 2 + 3t
S
∆1 : 2x – 3y + 16 = 0 et ∆2 :
y = 4 + 2t
Trouver le point d’intersection, le cas échéant.
Pour
déterminerdes
si les
droites sont
oucartésienne
confondues,donnent
il suffit un
Les coefficients
variables
dansdistinctes
l’équation
de
considérer
un point quelconque de l’une des droites et de vérifier
vecteur
normal
N1 = (2; –3).
s’il est sur l’autre droite.
Les dénominateurs dans les équations paramétriques donnent un
En
posant,
par exemple,
vecteur
directeur
D2 = (3;x2).= 1 dans l’équation de ∆1, on obtient
2Le– produit
3y + 16 =scalaire
0, d’oùdonne
–3y = :–18
= 6.
(2;Le
–3)point
• (3; P2)1(1;
= 66)– est
6 =donc
0. un
N1 •etDy2 =
point de ∆1.
En
lesles
coordonnées
de ce
point dans les équations
de lasont
Parsubstituant
conséquent,
vecteurs sont
perpendiculaires
et les droites
droite
∆2, on obtient :
parallèles.
1 = 2 + 3t, d’où : t = –1/3
6 = 4 + 2t, d’où : t = 1
Ces égalités contradictoires indiquent que le point (1; 6) n’est pas
sur la droite ∆2. Les droites sont donc parallèles distinctes.
Exercice
Déterminer la position relative des droites ∆1 et ∆2, où :
x = –3 + 3t
S
∆1 : 4x + 3y – 24 = 0 et ∆2 :
y = 12 – 4t
Trouver le point d’intersection, le cas échéant.
Pour
déterminerdes
si les
droites sont
confondues,donnent
il suffit un
Les coefficients
variables
dansdistinctes
l’équationoucartésienne
de
considérer
un point quelconque de l’une des droites et de vérifier
vecteur
normal
N1 = (4; 3).
s’il est sur l’autre droite.
Les dénominateurs dans les équations paramétriques donnent un
En posant, par exemple, x = 3 dans l’équation de ∆1, on obtient
vecteur directeur D = (3; –4).
12 + 3y – 24 = 0, d’où2 3y = 12 et y = 4. Le point P1(3; 4) est donc un
Le produit
point
de ∆1.scalaire donne : N1 • D2 = (4; 3) • (3; –4) = 12 – 12 = 0.
En
ce point dans l’équation
de la
Par substituant
conséquent,les
lescoordonnées
vecteurs sontdeperpendiculaires
et les droites
sont
droite
∆2, on obtient :
parallèles.
3 = –3 + 3t, d’où : t = 2
4 = 12 – 4t, d’où : t = 2
Ces égalités indiquent que le point (3; 4) est sur la droite ∆2. Par
conséquent, les droites sont parallèles confondues.
Exemple 10.1.5
Déterminer la position relative des droites ∆1 et ∆2, où :
x = 7 + 5t
S
∆1 : 4x – y – 11 = 0 et ∆2 :
y = 1 + 4t
Trouver
le point d’intersection,
cas échéant.
Pour
déterminer
le point delerencontre
des droites, on peut
substituer
les équations
paramétriques
dans l’équation
cartésienne
Les coefficients
des variables
dans l’équation
cartésienne
donnent un
et
calculer
la valeur
du –1).
paramètre au point d’intersection. Cela
vecteur
normal
N1 = (4;
donne
:
+ 5t) – (1 dans
+ 4t) –les
11 =équations
0
Les coefficients
du 4(7
paramètre
paramétriques
28 + 20t –
4t –4).
11 = 0
donnent un vecteur directeur
D21 =– (5;
16t + 16 = 0
= (4; –1) • (5; 4) = 20 – 4 = 16 ≠ 0.
Le produit scalaire donne : N1 •tD=2 –1
En
les équations
paramétriques,
on trouveet:les droites
Parsubstituant
conséquent,dans
les vecteurs
ne sont
pas perpendiculaires
sont concourantes. x = 7 + 5  (–1) = 2
y = 1 + 4  (–1) = –3
Le point de rencontre des deux droites est donc (2; –3).
Exercice
Déterminer la position relative des droites ∆1 et ∆2, où :
x = 9 + 2t
S
∆1 : 7x + 3y – 26 = 0 et ∆2 :
y = 3 + 3t
Trouver
le point d’intersection,
cas échéant.des droites, on peut
Pour
déterminer
le point dele rencontre
substituer
les équations
paramétriques
dans l’équation
cartésienne
Les coefficients
des variables
dans l’équation
cartésienne
donnent un
et
calculer
la valeur du paramètre au point d’intersection. Cela
vecteur
normal
N1 = (7; 3).
donne :
+ 2t) + 3(3 dans
+ 3t) –les
26 =
0
Les coefficients du7(9
paramètre
équations
paramétriques
63 + 14t + 9 + 9t – 26 = 0
donnent un vecteur directeur
D = (2; 3).
23t +246 = 0
= (7; 3) • (2; 3) = 14 + 9 = 23 ≠ 0.
Le produit scalaire donne : N1 •t D
=2–2
En
les équations
paramétriques,
on trouve
Parsubstituant
conséquent,dans
les vecteurs
ne sont
pas perpendiculaires
et :les droites
x = 9 + 2  (–2) = 5
sont concourantes.
y = 3 + 3  (–2) = –3
Le point de rencontre des deux droites est donc (5; –3).
Conclusion
On peut caractériser une droite de R2 en donnant un point de celle-ci
et en définissant son orientation , soit par un vecteur normal ou par
un vecteur directeur. Ces informations sont suffisantes pour
déterminer une équation de la droite.
À partir de l’équation d’une droite, on peut déterminer soit un
vecteur normal, soit un vecteur directeur. En comparant les vecteurs
décrivant l’orientation de deux droites, on peut savoir si celles-ci sont
parallèles ou concourantes.
Lorsque les droites sont parallèles et qu’elle n’ont pas de point
commun, elles sont parallèles distinctes. Si elles ont un point
commun, elles sont confondues.
Lecture
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en
sciences de la nature. Section 10.1, p.283-289.
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en
sciences humaines. Section 9.1, p.219-225.
Exercices
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en
sciences de la nature. Section 10.2, p. 290-291.
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en
sciences humaines. Section 9.2, p.226-227.