Transcript Qui dit 1ère loi d’Isaac dit souvent projection vectorielle … Des mathématiques avant toute chose ! Considérons deux systèmes d’axes (Ox;Oy). y Pour l’axe Ox, on choisira un.

Qui dit 1ère loi d’Isaac dit souvent
projection vectorielle …
Des mathématiques avant toute
chose !
Considérons deux systèmes
d’axes (Ox;Oy).
y
Pour l’axe Ox, on choisira
un vecteur unitaire i tel
que :
Pour l’axe Oy, on choisira
un vecteur unitaire j tel
que :
j
O
i
x
Des mathématiques avant toute
chose !
y
Imaginons un point M tel que :
Les coordonnées de ce
point peuvent s’écrire :
3
M
0
Soit :
car
j
O
M 3i 0 j 3i
M
i
i
i
x
Des mathématiques avant toute
chose !
y
Imaginons un point M tel que : M
Les coordonnées de ce
point peuvent s’écrire :
Soit :
0
M
4
j
j
j
car
j
O
M Oi 4 j 4 j
i
x
Des mathématiques avant toute
chose !
Intéressons nous au vecteur y
OM
M
Les coordonnées de ce
vecteur s’écrivent :
 xM  xO
OM 
y M  yO
0  0
OM 
4  0
soit
soit
0
OM 
4
j
O
i
OM  0 i  4 j  4 j
x
Des mathématiques avant toute
chose !
Intéressons nous au vecteur y
OM
Les coordonnées de ce
vecteur s’écrivent :
 xM  xO
OM 
y M  yO
3  0
OM 
0  0
soit
soit
3
OM 
0
j
O
OM  3 i  0 j  3 i
M
i
x
Des mathématiques avant toute
y
chose !
M
Imaginons un point M tel que :
Les coordonnées de ce
point peuvent s’écrire :
3
M
4
Intéressons nous au vecteur
j
O
i
OM
x
Des mathématiques avant toute
y
chose !
M
Pour trouver les coordonnées
de ce vecteur, on peut faire le
calcul suivant :
 xM  xO
OM 
y M  yO
3  0
OM 
4  0
soit
soit
3
OM 
4
OM  3 i  4 j
j
O
i
Les composantes ou coordonnées (ici, 3 et 4)
représentent la longueur des projections du
vecteur sur les deux axes (Ox ; Oy)
x
Des mathématiques avant toute
chose !
Pour trouver les coordonnées
de ce vecteur, on peut
également
procéder
par
projections orthogonales.
y
M
Traçons d’abord le projeté
orthogonal
du
point
M
sur l’axe Ox :
j
O
i
OA est le projeté orthogonal du vecteur OM
sur l’axe Ox.
A
x
Des mathématiques avant toute
chose !
Traçons
le
projeté y
orthogonale du point M sur
B
l’axe Oy :
le
projeté
OB est
orthogonal du vecteur OM
sur l’axe Oy.
M
j
O
i
A
x
Des mathématiques avant toute
chose !
OA et OB sont
les
composantes du vecteur
y
M
B
OM
Pour
trouver
les
composantes d’un vecteur,
il faut donc faire les
projections orthogonales de
celui-ci sur le système
d’axes considéré.
j
O
i
A
x
Et la physique dans tout ça ?
Mathématiques et physique font
bon ménage …
Considérons un objet à l’équilibre sur un plan
horizontal
Deux forces : poids et réaction du plan
D’après la 1ère loi d’Isaac, on a :
PR0
R
P
Et en terme d’intensité ?
Pour passer des notations vectorielles aux
valeurs des forces, il est impératif de passer par
les composantes des vecteurs  donc projections
orthogonales !
Mathématiques et physique font
bon ménage …
Choisissons un système d’axe (Ox ;
Oy) avec Ox parallèle au plan
horizontal.
PR0
Si la somme vectorielle est
nulle, alors il en est de même
pour
la
somme
des
composantes
de
chaque
vecteur suivant chaque axe.
Projetons,
donc,
les
composantes
de
chaque
vecteur sur chaque axe.
y
R
x
P
Mathématiques et physique font
bon ménage …
PR0
0
0  0

Proj. Selon Oy P  R  0

y
Proj. Selon Ox
A partir de la relation (1), on a :
P=R
(1)
R
x
P
Les composantes sont algébriques c’est-à-dire
que leurs valeurs peuvent être positives ou
négatives.
Mathématiques et physique font
bon ménage …
Considérons un objet à l’équilibre sur un plan
incliné (avec frottements).
R
Deux forces : poids et réaction du plan
D’après la 1ère loi d’Isaac, on a :
PR0
a
P
Et en terme d’intensité ?
Pour passer des notations vectorielles aux
valeurs, il est impératif de passer par les
composantes (ALGEBRIQUES) des vecteurs 
donc projections orthogonales !
Mathématiques et physique font
bon ménage …
Choisissons un système d’axe (Ox ; y
Oy) avec Ox parallèle au plan
incliné.
R
PR0
Si la somme vectorielle est
nulle, alors il en est de même
pour la somme ALGEBRIQUE
des composantes de chaque
vecteur suivant chaque axe.
Projetons,
donc,
les
composantes
de
chaque
vecteur sur chaque axe.
a
P
x
PR0
y
R
Projection selon Ox :
P.sina  R.sina  0
Projection selon Oy :
a
P.cosa  R.cosa  0
Ainsi, connaissant P et a,
on peut trouver la valeur
de R par exemple.
a
a
P
a
a
x