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TSTI 2D
CH VII : Fonction logarithme népérien
A la découverte d’une nouvelle fonction de référence
Les calculatrices possèdent une touche ln qui correspond à une fonction appelée logarithme
népérien, et notée ln.
L’image du réel x par la fonction ln se note ln  x  et se lit « logarithme népérien de x » .
Pour calculer l’image du réel 1 par la fonction ln on tape ln 1 ENTER . La calculatrice affiche 0.
On écrit : ln 1  0 .
1. Calcul d’images, courbe représentative
a) Compléter le tableau ci-dessous : arrondir les valeurs à 102
x
ln  x 
0,5
1
2
3
20
100
b) Courbe représentative
Sur l’écran de la calculatrice on obtient la courbe suivante représentative
de la fonction ln
Par lecture graphique, conjecturer les résultats suivants :
L’ensemble de définition de la fonction logarithme
est : ………………………………
Le sens de variation de la fonction logarithme :
…………………………………………………………………………………………..
Les limites aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction logarithme :
…………………………………………………………………………………………..
L’ensemble de solution de l’équation ln  x   0 est :…………………………………..
Le signe de la fonction logarithme :
x
Signe de ln  x 
2. Lien avec la fonction exponentielle
a) Compléter le tableau ci-dessous :
x
e
e5
e2
ln  x 
e
Conjecturer à l’aide du tableau précédent la valeur de ln  e x  :
1
2
 
Pour tout x réel, ln e x 
b) Compléter , à l’aide de la calculatrice les égalités suivantes :
eln  2 
;e
ln  0,5

;e
Conjecturer la valeur de e
ln  8
ln  x 

;e
ln 15

pour tout x réel strictement positif :
TSTI2D CH VII : Fonction logarithme népérien
1
I Définition, premières propriétés
1) Définition
La fonction exponentielle est strictement croissante sur
.
Pour tout réel k de 0; , l’équation e x  k admet une unique solution dans
.
Définitions
(1) On appelle logarithme népérien du réel strictement positif k , l’unique solution de l’équation
d’inconnue a, ea  k . On note cette solution ln  k  .
(2) La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur 0; qui à tout réel x
strictement positif associe l’unique réel noté ln  x  dont l’exponentielle est x.
y  ln  x  et x  0 équivaut à e y  x .
Exemples : ln 1  0 car e0  1 ; ln  e   1 car e1  e .
Propriété :
Les courbes représentatives des fonctions ln et exp sont symétriques par
rapport à la droite d’équation y  x .
2) Conséquences
Propriétés
(1) La fonction ln est définie sur 0; .
(2) Pour tout réel x  0 , e    x .
(3) Pour tout réel x, ln e x  x .
ln x
 
 
Exemples : ln e3  3 et e
ln  3
3
Exercice 1 : Préciser la validité d’une expression. Simplifier des écritures.
a) Pour quelles valeurs de x les expressions suivantes ont-elles un sens ?
ln  x  1 ; ln 1  e x  ; ln 1  x   ln  x  2 ; ln  x 2  x  2  .
b) Ecrire le plus simplement possible :
ln  2
e
 ;
 ln e
3
e
2  ln  8 
; e
 ln  3
e
2
ln  
3
Exercice 2
Résoudre les équations suivantes :
e x  5 ; e2 x  3e x  2  0 ; ln  x   3 ; 2  ln  x    3ln  x   2  0 .
2
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2
3 ) Sens de variation de la fonction ln
Propriété
La fonction ln est strictement croissante sur 0; .
Conséquences
Pour tous réels a et b strictement positifs ,
Signe de la fonction ln
ln  a   ln  b   a  b
ln  a   ln  b   a  b
ln  x   0  x  1
Pour tout réel x strictement positif
,
ln  x   0  0  x  1
ln  x   0  x  1
Exercice 3
Résoudre chacune des inéquations suivantes :
a. 2ln  x   5  0 ; b. ln  x   1 ; c. 3e2 x  21  0 .
Exercice 4
Méthode
Pour résoudre une équation du type ln u  x   ln v  x  ( respectivement une inéquation du type
ln u  x   ln v  x  , ln u  x   ln v  x  …) :

on détermine l’ensemble de définition D : x  D  u  x   0 et v  x   0 ;

on résout dans D l’équation u  x   v  x  ( respectivement l’inéquation u  x   v  x  …).
1. Donner l’ensemble de définition puis résoudre chacune des équations :


a. ln  x  3  ln  2  x  ; b. ln x2  3x  4  ln  3x  ; c. ln  2x  4  0 .
2. Donner l’ensemble de définition puis résoudre chacune des inéquations :
a. 2ln  x   5  0 ; b. ln  x   1 ; c. ln 3x  2  ln  x  5 .
Exercice 5
Etudier le signe des fonctions suivantes
a. f définie sur 0; par f  x   1  ln  x 
b. g définie sur 0; par g  x    2  ln  x   ln  x  .
 3

c. h définie sur   ;   par h  x   ln 3  2x  .
 2

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3
II Propriétés algébriques
1) Relation fonctionnelle
Théorème
Pour tous réels a, b strictement positifs, ln  ab  ln  a   ln b 
2) Conséquences
Théorème
Pour tous réels a, b strictement positifs et tout entier relatif n :
a
1
ln    ln  a   ln  b 
ln     ln  b 
b
b
1
ln a  ln  a 
ln  a n   n ln  a 
2
 
Exercice 6
1. Exprimer en fonction de ln  2 ou de ln  3 :
 e5 
2
a. ln  6  ; b. ln  9  ; c. ln   ; d. ln   ; e. ln 43  5ln  2  ; f. ln
3
 12 
 
 3   12 ln  43  .
x
2. Pour x réel strictement positif, simplifier l’expression ln  5 x   ln   .
5
Résoudre l’équation : ln  x   ln  x  3  ln  4 .
Exercice 7
Résoudre dans 0; l’ équation et les inéquations suivantes :
a. ln  x   ln 3  2ln 5 ; b. ln  x   ln  x  3  ln  4 ; c. ln  x   ln 5  3ln 2  ;
d. ln  x   ln  4  3ln  2 .
Exercice 8
On place un capital C0 , sans prélèvement, à un taux d’intérêts composés de 4% à capitalisation
annuelle.
On note C n le capital à la fin de la nième année.
1. Quelle est la nature de la suite Cn  ? En déduire C n en fonction de n.
2. Déterminer le nombre d’années nécessaires pour doubler le capital placé.
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III Etude de la fonction ln
1) Limites en 0 et en 
Théorème
lim ln  x    et lim ln  x   
x 0
x 
2) Dérivabilité
Théorème
La fonction ln est dérivable sur 0; et pour tout réel x  0 , ln'  x  
2) Tableau de variation et courbe représentative
1
.
x
4
3
y=ln(x)
2
x
Signe de ln'  x 
Variations
de ln
1
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-1
-2
-3
Déterminer les équations des tangentes à la courbe
aux points d’abscisses 1 et e et les tracer.
Livre page 104 n°15, n°17 et n°19
Exercice 9
a) Calculer les dérivées des fonctions suivantes définies sur 0; par :
f1  x  
2 ln  x   1
x
; f 2  x   2 x 1  ln  x   .
b) Calcul de limites
Déterminer la limite en 0 de : f  x   ln  x   5; g  x   ln  x  2  ; h  x   x 
Déterminer la limite en  de : f  x   3  ln  x  ; g  x  
1
ln  x 
; k  x 
1
 ln  x  .
x
25
.
ln  x 
Exercice 10 : Etude de fonction
On considère la fonction f définie sur 0; par f  x   x2  8x  8  6ln  x  .
a) Etudier le sens de variation de f.
b) Calculer les limites de f en 0 et en  .
c) Dresser le tableau de variation de f.
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4 ) Croissances comparées des fonctions x
ln  x  et x
xn
a) Exercice
Soit f la fonction définie sur 0; par f  x   ln  x   2 x .
a) Etudier le sens de variation de f sur 0; .
b) En déduire le signe de f  x  .
c) Démontrer que pour tout x  1, 0 
ln  x 
ln  x 
2

. En déduire la limite quand x tend vers  de
.
x
x
x
b) Théorème
lim
x 
ln  x 
x
0
; pour tout entier n  2 , lim
x 
ln  x 
xn
0
Exercice 11
a) Déterminer la limite en  de la fonction f définie sur 0; par f  x   x2 1  ln  x   .
b) Même question avec la fonction g définie sur 0; par g  x  
4  ln  x 
x
.
Exercice 12
Soit f la fonction définie sur 0; par f  x  
orthogonal  O; i , j  .
ln x
et C la courbe représentative de f dans un repère
x
a) Etudier le sens de variation de f.
b) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. Interpréter graphiquement les
résultats.
c) Déterminer une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 1.
d) Tracer C et T.
Exercice 13
Soit f la fonction définie sur 0; par f  x   ln x 
e
;
x
1) a) Etudier le sens de variation de f.
b) Calculer f  e  et en déduire le signe de f  x  .
2) Soit g la fonction définie sur 0; par g  x    x  e  ln x 1 .
a) Etudier le sens de variation de g.
c) Dresser le tableau de variation de g.
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V Fonction ln (u)
1) Définition
On considère une fonction u , définie et strictement positive sur un intervalle I .
Pour tout x de I,  ln  u    x   ln  u  x   .
2) Dérivée
Théorème
Soit u une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
u'
La fonction ln  u  est dérivable sur I est sa dérivée est :  ln  u   '  .
u
Remarque : Sur I, u ' et  ln  u   ' sont de même signe car u est strictement positive.
Exercice 14
Calculer la dérivée de chacune des fonctions.
a) f définie sur
b) g définie sur
 
par g  x   ln  2  3e
par f  x   ln x2  1 .
0,27 x
.
1

c) h définie sur  ;   par h  x    2x 1 ln  2x  1 .
2

3) Limite
Propriété
On considère une fonction u strictement positive sur un intervalle I.
a, b et c désignent soit des réels, soit  , soit  , a est un élément de I ou une borne de
I, b est un réel positif.
Si lim u  x   b et lim ln  X   c alors lim ln  u  x    c .
x a
X b
x a
Exercice 15
Déterminer les limites suivantes :
 x 3
lim ln 
ln  x 2  2 x  .
 ; xlim
x 

 x 1 
4) Etude de fonctions
Exercice 16
Soit f la fonction définie sur 0;6 par f  x   ln  6  x   2ln  x  . On appelle C la courbe représentative de
f dans un repère orthonormal d’unité graphique 1 cm.
1. a) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
b) Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
2. a) Calculer f '  x  , déterminer son signe sur I et en déduire le sens de variation de f.
b) Dresser le tableau de variation de f.
3. a) Résoudre l’équation f  x   0 . On appelle x0 la solution de cette équation.
b) Donner l’équation de la tangente T à C au point d’abscisse x0 .
4) Tracer la courbe C et la droite T.
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7
V Fonction logarithme décimal
1) Activité
On définit la fonction logarithme décimal notée log sur 0; par log  x  
ln  x 
ln 10 
.
 
a) Calculer log 1 , log 10 , log 100  , log 10k , k  .
b) Montrer que la fonction log a le même sens de variation que la fonction ln.
Tracer sur l’écran de la calculatrice les courbes des fonctions log et ln.
c) Démontrer que, pour tous réels a, b strictement positifs, log  ab   log  a   log b  .
2) Définition
La fonction logarithme décimal, notée log, est la fonction définie sur 0; par log  x  
ln  x 
ln 10 
.
Les propriétés algébriques de la fonction ln sont vérifiées par la fonction log.
Exercice 17
En acoustique, l’intensité I d’un son se mesure en W. m-2 ( watts par m2).
Le niveau sonore, exprimé en dB, d’un son d’intensité I est alors donné par la formule :
 I 
N  I   10log   , où I 0 est une intensité de référence choisie de façon expérimentale et qui
 I0 
correspond à l’intensité la plus faible perceptible par l’oreille humaine pour un son de fréquence
1 000 Hz.
1. a) Calculer , en décibels, le niveau sonore N  I0  .
b) Lors du décollage de la fusée Ariane, on a observé que I  I 0 1017 . Calculer, en décibels, le niveau
sonore correspondant.
2. Dans cette question, on va voir l’effet sur le niveau sonore du cumul de plusieurs sons, sachant que
les intensités sonores s’ajoutent.
a) Le niveau sonore d’une conversation sur un ton normal est d’environ 60 dB, celui d’une tondeuse à
gazon d’environ 80 dB. Exprimer, en fonction de I 0 , l’intensité sonore I c de la conversation et
l’intensité sonore I t de la tondeuse à gazon.
On note I  I c  I t . Calculer le niveau sonore N  I  en dB. Les niveaux sonores s’additionnent-t-ils ?
b) Le niveau sonore d’une voiture passant dans la rue est d’environ 80 dB. Calculer le niveau sonore
correspondant au passage simultané de deux voitures.
Commentaires :
L’échelle des niveaux sonores en dB a deux avantages par rapport à l’échelle des intensités sonores :
 les intensités sonores varient avec de très grands écarts, ce qui n’est pas le cas des niveaux
sonores : le fait d’utiliser une échelle logarithmique permet de manipuler des valeurs moins
« écartées » ( ce qui a été vu dans la question 1.) ;
 le niveau sonore correspond aux sensations de l(oreille : lorsque deux sons se superposent, les
niveaux sonores ne s’additionnent pas, le son le plus fort « absorbe » le plus faible ( ce qui a été
vu dans la question 2.).
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