Transcript Devoir surveillé de Sciences Physiques n˚6 du 04-02

1 – DS6
Sciences Physiques MP 2014-2015
Devoir surveill´
e de Sciences Physiques n˚6 du 04-02-2015
— Dur´ee : 4 heures —
Probl`
eme no 1 – Autour de l’eau
Centrale MP 2008
A. Synth`
ese de l’eau
Donn´ees thermodynamiques `
a 298, 15 K :
∆f H ◦ en kJ · mol−1
S ◦ en J · K−1 · mol−1
c◦p en J · K−1 · mol−1
H2gaz
0
130,7
28,8
O2gaz
0
205,2
29,4
H2 Ogaz
-214,8
188,8
33,6
Les capacit´es thermiques molaires standard seront consid´er´ees comme ind´ependantes de la temp´erature.
On se propose d’´etudier la r´eaction de formation de l’eau vapeur `a partir des gaz selon la r´eaction :
2H2 gaz + O2 gaz ⇋ 2H2 Ogaz
1. Calculer, `a la temp´erature T0 = 298, 15 K, l’enthalpie et l’entropie standard de r´eaction not´ees respectivement
∆r H ◦ (T0 ) et ∆r S ◦ (T0 ). Commenter les r´esultats obtenus.
2. Calculer dans l’approximation d’Ellingham la temp´erature d’inversion Ti de cet ´equilibre. Pour cette
temp´erature Ti , ´evaluer en ´electron-Volt l’´energie d’agitation thermique E0 = kB Ti avec kB = 1, 38 × 10−23 J ·
K−1 .
3. D´eterminer la capacit´e thermique standard de r´eaction ∆r c◦p .
4. En d´eduire une expression litt´erale de ∆r G◦ (T ), enthalpie libre standard de r´eaction `a la temp´erature T ,
en fonction de T , T0 , ∆r H ◦ (T0 ), ∆r S ◦ (T0 ) et ∆r c◦p .
5. On d´efinit alors la fonction f (T ) = ∆r G◦ (T ) − ∆r H ◦ (T0 ) + T ∆r S ◦ (T0 ). Que repr´esente cette fonction ?
Donner l’expression de f (T ) en fonction de T , T0 et ∆r c◦p .
´
6. On note T1 = 1 000 K. Evaluer
num´eriquement le rapport |f (T1 )/∆r G◦ (T1 )|. Commenter le r´esultat obtenu.
Si on ne l’enflamme pas, un m´elange de dihydrog`ene et de dioxyg`ene gazeux peut ne pas r´eagir, mˆeme sous
l’action de la lumi`ere. De tels m´elanges sont en ´equilibre m´etastable. Si les proportions des m´elanges ne sont
pas trop ´eloign´ees des proportions stœchiom´etriques, il est possible de rompre la m´etastabilit´e selon plusieurs
proc´ed´es (´etincelle, flamme, mousse de platine). Le comportement d’un m´elange stœchiom´etrique (m´elange
tonnant) varie selon les conditions de temp´erature et de pression. Aux basses pressions, l’explosion d’un m´elange
stœchiom´etrique est bien d´ecrite par un m´ecanisme simplifi´e propos´e par Hinshelwood(prix Nobel en ) :
´
– Etape
d’initiation entre les mol´ecules de dihydrog`ene et la paroi (not´ee P )
k1
H2 + P → 2H• + P
´
– Etape
de propagation
k2
H• + O2 → HO• + O
k3
O + H2
→ HO• + H•
k4
HO• + H2 → H2 O + H•
´
– Etape
de rupture en pr´esence de la paroi
k5
H• + P
→ fixation sur la paroi
k6
HO• + P → fixation sur la paroi
d [H2 O]
La vitesse de la r´eaction est d´efinie dans l’´etape de constante de vitesse k4 : v =
= k4 [H2 ] [HO• ].
dt
Pour chaque ´etape, l’ordre est ´egal `a la mol´ecularit´e. Par exemple sur l’´etape de constante de vitesse k3 , on a
v3 = k3 [O] [H2 ]. Ce m´ecanisme r´eactionnel est ´etudi´e en suivant le principe de Bodenstein. Ce principe dit
que pour tous les interm´ediaires r´eactionnels comme O, H• ou O• , on peut ´ecrire que :
d [O• ]
=0
dt
JR Seigne
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DS6 – 2
7. Montrer que dans le mod`ele d’Hinshelwood la vitesse de formation de l’eau se met sous la forme :
n
v=
m
d [H2 O]
α [H2 ] [O2 ]
=
dt
β + γ [H2 ] − δ [H2 ] [O2 ]
D´eterminer les entiers n et m, ainsi que les expressions des coefficients α, β, γ, et δ en fonction des constantes
de vitesse ki pour i ∈ {1, . . . , 6}.
´
8. Etablir
pour un m´elange stœchiom´etrique et `a une temp´erature T donn´ee, l’expression de la pression
d’explosion correspondant `a un emballement de la r´eaction.
B. Domaine de stabilit´
e thermodynamique de l’eau
RT
ln x ≃ 0, 06 log x.
F
◦
◦
◦
On donne : EPb2+ /Pbs = E1 = −0, 13 V, EPbO2s /Pb2+ = E2◦ = 1, 46 V et Pb(OH)2 s ⇋ Pb2+ +2HO− de pKs = 16, 1.
Le diagramme potentiel-pH du plomb est repr´esent´e `a la figure 1 pour une concentration atomique en ´el´ement
plomb de c0 = 0, 1 mol · L−1 .
Dans toute cette partie, on fera l’approximation
E( V)
2, 00
F
PbO2 s
b
1, 00
G
b
Pb2+
H
b
0, 00 A(x)
b
b
~
B
Pb(OH)2 s
C
Pbs
−1, 00
0
b
7
14
Figure 1 – Diagramme E − pH du plomb
pH
9. D´eterminer les coordonn´ees des points B et G.
10. Donner la valeur de la pente du segment de droite [F, G].
11. D´eterminer le potentiel normal apparent `a pH = 0 du couple PbO2 s /Pb(OH)2 s .
On se propose d’´etudier l’action de l’acide chlorhydrique sur le plomb selon l’´equilibre :
Pbs + 2H3 O+ ⇋ 2H2 O + Pb2+ + H2 gaz
Consid´erons un syst`eme constitu´e d’une plaque de plomb trempant dans une solution d’acide chlorhydrique.
12. Calculer la valeur num´erique de l’enthalpie libre de r´eaction d’un tel syst`eme quand pH = 0, Pb2+ =
0, 1 mol · L−1 et pH2 = 1 bar.
13. Pour quelle valeur du pH l’enthalpie libre de r´eaction du syst`eme pr´ec´edent devient-elle nulle ?
14. Du point de vue thermodynamique, une solution d’acide chlorhydrique `a c0 = 0, 1 mol· L−1 est-elle capable
d’oxyder le m´etal plomb ?
La figure 2 donne les courbes intensit´e-potentiel du couple H2 O/H2 gaz sur diff´erents m´etaux (mercure, plomb
et platine) ainsi que celle du couple Pb2+ /Pbs .
15. Donner l’ordre de grandeur des surtensions cathodiques ηHg et ηPb du couple H2 O/H2 gaz sur le mercure
et sur le plomb respectivement.
16. Quel ph´enom`ene physique est `a l’origine du palier observ´e sur la courbe intensit´e-potentiel du couple
Pb2+ /Pbs ? La valeur num´erique de ce palier d´epend-elle de la concentration en ions Pb2+ ?
17. Que se passe-t-il si l’on plonge une plaque de plomb dans une solution d’acide chlorhydrique a` c0 =
0, 1 mol · L−1 ? Pourquoi ?
18. Qu’observe-t-on si l’exp´erimentateur touche la plaque de plomb avec un fil de platine ? Justifier votre
r´eponse par une construction graphique ?
JR Seigne
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Pb2+ /Pbs
i( mA)
1
0
-1
Hg
-1
Pb
-0.5
Pt
0
E( V)
Figure 2 – Diagramme intensit´e-potentiel
Probl`
eme no 2 – Les ceintures de Van Allen
Centrale TSI 2005
La Terre est entour´ee de zones, appel´ees ✭✭ ceintures de Van Allen ✮✮, o`
u des particules charg´ees, de haute
´energie, sont pi´eg´ees par le champ magn´etique terrestre. Dans ces zones, les trajectoires des particules s’enroulent
autour des lignes de champ terrestre. Au fur et `a mesure que les particules se rapprochent des pˆoles magn´etiques
de la terre, les trajectoires se resserrent et la composante longitudinale de la vitesse des particules le long des
lignes de champ diminue ; elle peut finir mˆeme par s’annuler et les particules correspondantes repartent alors
en sens inverse vers l’autre pˆole o`
u le mˆeme rebroussement se produit. Ces particules oscillent ainsi entre deux
points M0 et M0′ appel´es points miroirs (cf. fig. 3).
Tube de champ
M0
Terre
b
Trajectoire de la
particule charg´ee
Points miroirs
M0′
b
Figure 3 – Trajectoires de particules charg´ees
Le probl`eme qui suit se propose d’expliquer la pr´esence des ceintures de Van Allen autour de la Terre. On se
place dans le cadre de la m´ecanique newtonienne et on n´eglige toutes les forces autres que la force magn´etique.
Donn´ees num´eriques :
Charge de l’´electron (module) :
Masse d’un proton :
Masse d’un ´electron :
Rayon terrestre :
e = 1, 60 × 10−19 C
mp = 1, 67 × 10−27 kg
me = 9, 1 × 10−31 kg
RT = 6 400 kg
µ0 = 4 × π × 10−7 H · m−1
1Z eV = 1, 6 × 10−19 J
x0
π
dx
p
=
2 − x2
2
x
0
0
A. Mouvement d’une particule charg´
ee dans un champ magn´
etique uniforme
~ uniforme et permanent
Une particule, de masse m et de charge q, est soumise `a l’action d’un champ magn´etique B
(ind´ependant du temps), dans le r´ef´erentiel R(Oxyz) suppos´e galil´een. On appelle respectivement ~ex , ~ey , ~ez les
vecteurs unitaires des axes Ox, Oy et Oz.
~ est colin´eaire `a (Oz) : B
~ = B~ez , B > 0. On pose ω = qB . La vitesse ~v de la particule
Le champ magn´etique B
m
a pour composantes vx , vy et vL : ~v = vx~ex + vy ~ey + vL~ez ; on pose ~v⊥ = vx~ex + vy ~ey et ~vL = vL~ez ; ~v⊥
~
et ~vL d´esignent ainsi les composantes de la vitesse respectivement perpendiculaire et parall`ele au champ B.
`
La norme du vecteur ~v⊥ est not´ee v⊥ = ~v⊥ k. A l’instant initial, la particule se trouve en O avec la vitesse
~v0 = v⊥0~ex + vL0~ez , avec v⊥0 > 0 et vL0 > 0.
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DS6 – 4
1. Montrer que l’´energie cin´etique Ec de la particule est une constante du mouvement.
2. Montrer que ~vL est une constante du mouvement. En d´eduire que v⊥ est ´egalement constant au cours du
mouvement.
On pose Ec⊥ =
~
a B.
`
1
mv 2 . On ´etudie la projection du mouvement de la particule dans le plan P⊥ perpendiculaire
2 ⊥
3. D´eterminer les composantes vx et vy de la vitesse de la particule en fonction de v⊥0 , ω et du temps t.
4. En d´eduire les coordonn´ees x et y de la particule `a l’instant t.
5. Montrer que la projection de la trajectoire de la particule dans le plan P⊥ est un cercle Γ de centre C
(centre guide) et de rayon a (rayon de giration). D´eterminer les coordonn´ees xC et yC de C, le rayon a et la
p´eriode de r´evolution T1 de la particule sur ce cercle en fonction de v⊥0 et ω.
6. Tracer, avec soin, le cercle Γ dans le plan P⊥ , dans le cas d’un proton, puis dans le cas d’un ´electron.
Pr´eciser en particulier les sens de parcours de chaque particule sur Γ.
2
2
7. Application num´erique : B = 0, 5 µT. On suppose v⊥0
= 10vL0
.
Calculer, pour un ´electron d’´energie cin´etique Ec = 55 keV, le module v de sa vitesse, le rayon a et la p´eriode
T1 ; que pensez-vous de la valeur de v ? Mˆemes questions pour un proton d’´energie cin´etique Ec = 0, 55 MeV.
8. L’orbite circulaire Γ peut ˆetre assimil´ee `a une petite spire de courant ; d´eterminer l’intensit´e i de ce
~ = −M~ez
courant associ´e au mouvement de la particule sur Γ et en d´eduire le moment dipolaire magn´etique M
correspondant. Exprimer M (M > 0) en fonction de Ec⊥ et B puis en fonction de q, m et du flux Φ du champ
~ `a travers l’orbite circulaire Γ.
B
9. Quelle est la trajectoire de la particule charg´ee ? Expliquer pourquoi elle s’enroule sur un tube de champ
~
de B.
10. On peut d´ecomposer le mouvement de la particule en un mouvement sur un cercle dont le centre C se
d´eplace `a la vitesse ~vL le long de (Oz). Quelle distance b parcourt le centre C sur (Oz) durant la p´eriode T1 ?
v2
2
Exprimer b en fonction de vL et ω. Comparer b et a dans le cas o`
u vL0
= ⊥0 .
10
B. Mouvement d’une particule charg´
ee dans un champ magn´
etique non uniforme
~ n’est plus tout `a fait uniforme, ses variations restant tr`es faibles sur une distance
On suppose que le champ B
~ pr´esente la sym´etrie de r´evolution autour de
de l’ordre du rayon de giration a ou de la distance b. Le champ B
~ ne d´epend que de z dans la zone situ´ee au
l’axe (Oz) ; en outre, on admet que la composante Bz du champ B
voisinage de l’axe (Oz) o`
u se d´eplace la particule charg´ee et dans laquelle il n’y a aucun courant. On suppose
en outre Bz positive. Un point M de cette zone est rep´er´e par ses coordonn´ees cylindriques (ρ, θ, z).
~ est nulle.
11. Montrer que la composante orthoradiale Bθ du champ B
~ `a travers un petit cylindre judicieusement choisi, d´eterminer la compo12. En exprimant le flux du champ B
~ au point M en fonction de ρ et de la d´eriv´ee dBz .
sante radiale Bρ du champ B
dz
~ ✭✭ localement ✮✮ uniforme, on peut utiliser certains r´esultats de la partie 18 : dans
En consid´erant le champ B
~ autour d’un
ce champ, une particule charg´ee d´ecrit un mouvement circulaire dans un plan perpendiculaire `a B,
~
centre guide C se d´epla¸cant le long de (Oz) ; mais, puisque B varie d’un point `a un autre, le rayon a du cercle,
la p´eriode T1 de r´evolution (dont les expressions trouv´ees `a la partie 18 restent valables en rempla¸cant B par
Bz ) varient ´egalement au cours du mouvement et le d´eplacement de C sur (Oz) n’est plus uniforme (les vitesses
vL et v⊥ ne sont plus constantes).
13. Montrer que la composante Fz sur l’axe (Oz) de la force qui agit sur la particule charg´ee a pour expression
mv 2 dBz
Fz = − ⊥
.
2Bz dz
dM
14. En utilisant l’expression de M obtenue a` la question 8 dans laquelle B est remplac´e par Bz , calculer
;
dt
en d´eduire que M est une constante du mouvement. Peut-on encore dire que la particule s’enroule sur un tube
~ au cours de son mouvement ?
de champ du champ B
15. Exprimer l’´energie cin´etique Ec de la particule en fonction de m, vL , M et Bz .
16. En d´eduire que la particule charg´ee ne peut entrer dans une zone o`
u la composante Bz du champ d´epasse
une valeur maximale Bmax que l’on exprimera en fonction de Ec et M .
Sur la figure 4, ont ´et´e repr´esent´ees plusieurs lignes de champ dans le plan m´eridien passant par (Oz). On
~
constate que le plan (Oxy) est un plan de sym´etrie pour la distribution de courants cr´eant le champ B.
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Trace du plan (Oxy)
b
b
O
b
M1 z
M1′
Figure 4 – Lignes de champ
~ du point O au point M1 ? Justifier bri`evement la r´eponse. Mˆeme
17. Comment varie l’intensit´e du champ B
′
question du point O au point M1 . Que peut-on dire de l’intensit´e B0 du champ en O ? Les points M1 et M1′
´etant sym´etriques par rapport `a O sur l’axe (Oz) le champ y a mˆeme intensit´e B1 .
18. On suppose Bmax compris entre B0 et B1 . Montrer que, dans ces conditions, le centre guide C oscille
p´eriodiquement entre deux points M0 et M0′ sym´etriques par rapport au point O, d’abscisses respectives z0 > 0
et −z0 (M0 est situ´
O et M1 , M0′ est situ´e entre O et M1′ ) et que la p´eriode T2 de ce mouvement est
re entre
Z z0
m
dz
p
donn´ee par T2 = 4
o`
u B(z) repr´esente l’intensit´e du champ magn´etique en un point
2M 0
Bmax − B(z)
M variable de l’axe (Oz) situ´e entre O et M0 .
´
C. Etude
du champ magn´
etique terrestre
~ est assimilable au champ maOn admet que le champ magn´etique terrestre B
~T =
gn´etique d’un dipˆole magn´etique situ´e au centre A de la terre, de moment M
−MT ~eZ .
Z
MT est positif et ~eZ d´esigne le vecteur unitaire de l’axe g´eomagn´etique de la terre
qui est l´eg`erement inclin´e par rapport `a l’axe de rotation terrestre : le signe moins
tient compte du fait que sud et nord magn´etiques sont invers´es par rapport au
sud et nord g´eographiques. Un point de l’espace est rep´er´e par ses coordonn´ees
sph´eriques (r, ϕ, ψ) par rapport `a l’axe g´eomagn´etique.
ϕ
b
A
M
r
Y
~T
M
En un point M suffisamment ´eloign´e de A, les composantes du champ magn´eψ
~ s’´ecrivent B
~ = Br ~er + Bϕ~eϕ + Bψ ~eψ avec Br = − µ0 MT 2 cos ϕ , Bϕ =
X
tique B
3
4π
r
µ0 MT sin ϕ
−
et
B
=
0
;
~
e
,
~
e
et
~
e
sont
les
vecteurs
unitaires
sph´
e
riques.
ψ
r
ϕ
ψ
4π
r3
´
19. Etablir
l’´equation diff´erentielle d’une ligne de champ. En int´egrant cette ´equation, montrer que l’´equation
d’une ligne de champ est donn´ee par l’expression r = r0 sin2 ϕ o`
u r0 d´esigne une constante.
20. Tracer l’allure de quelques lignes de champ dans un plan m´eridien (plan d´efini par ψ =constante) sans
oublier d’y indiquer le sens du champ. Que repr´esente la distance r0 pour une ligne de champ ?
21. Calculer l’intensit´e B = B(ϕ) du champ magn´etique sur une ligne de champ ; en d´esignant par B0
l’intensit´e correspondante dans le plan ´equatorial magn´etique (plan d´efini par ϕ = π/2), ´ecrire B sous la forme
B = B0 f (ϕ).
Exprimer B0 en fonction de MT , r0 et µ0 et expliciter la fonction f (ϕ).
22. Pour quelle valeur ϕ l’intensit´e B(ϕ) du champ est-elle minimale ? Exprimer la valeur Bmin correspondante
en fonction de B0 .
23. V´erifier que f (π − ϕ) = f (ϕ). Repr´esenter le graphe de f (ϕ) en pr´ecisant le domaine de variation de ϕ.
On se propose de d´eterminer, en un point P (d´efini par l’angle ϕ = ϕP ) situ´e `a la surface de la terre, l’intensit´e
de la composante horizontale Bh = |Bϕ | du champ magn´etique terrestre en mesurant les petites oscillations
dans un plan horizontal d’une aiguille aimant´ee.
L’aiguille aimant´ee est un petit solide qui peut tourner sans frottement autour de son axe vertical. Elle est
~
assimilable `a un dipˆole magn´etique de
moment
magn´etique Ma horizontal et de moment d’inertie J par rapport
~a .
a son axe de rotation. On pose α = ~eϕ , M
`
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24. Quelle est la position d’´equilibre stable de l’aiguille aimant´ee dans le champ magn´etique terrestre ? Justifier
bri`evement la r´eponse.
´
25. Etablir
l’´equation diff´erentielle du mouvement de l’aiguille soumise au champ magn´etique terrestre.
26. En d´eduire la p´eriode τ0 des petites oscillations de cette aiguille en fonction de Bh , J et la norme Ma de
~ a.
M
~ e cr´e´e par une bobine
27. Les valeurs de Ma et J n’´etant pas connues, on utilise le champ magn´etique B
~ e et la compoparcourue par un courant ´electrique pour s’en affranchir. On place d’abord la bobine telle que B
sante horizontale du champ terrestre soient parall`eles et de mˆeme sens et on mesure la p´eriode τ1 des petites
oscillations de l’aiguille aimant´ee. On change ensuite le sens du courant dans la bobine et on mesure la nouvelle
~ e cr´e´e
valeur τ2 de la p´eriode des petites oscillations. En d´eduire Bh en fonction de l’intensit´e Be du champ B
par la bobine et du rapport τ1 /τ2 (on supposera Bh < Be ).
28. Application num´erique : en un point P d´efini par ϕP = 50◦ , on mesure Be = 100 µT et τ1 /τ2 = 0, 78.
Calculer Bh .
En d´eduire le moment magn´etique terrestre MT . Dans quel intervalle l’intensit´e du champ magn´etique terrestre
sur la surface de la terre varie-t-elle ?
D. Pi´
egeage des particules charg´
ees par le champ magn´
etique terrestre
Dans cette partie, on utilise les notations des parties pr´ec´edentes. En n´egligeant l’influence de la courbure des
lignes de champ terrestre, on peut utiliser tous les r´esultats de la partie 10 : une particule charg´ee dans l’espace,
soumise `a l’action du champ terrestre, s’enroule sur un tube de champ d´efini par le param`etre r0 et on suppose
qu’elle est pi´eg´ee entre les points miroirs M0 et M0′ d´efinis respectivement par les angles ϕ0 et π − ϕ0 .
29. Expliquer bri`evement que l’expression
de la p´eriode T2 d’oscillations entre M0 et M0′ , obtenue `a la question
r
Z ϕ0
m
ds
p
. Exprimer le module de l’´el´ement d’abscisse
18 peut s’´ecrire maintenant T2 = 4
2M π/2 Bmax − B(ϕ)
curviligne ds de la ligne de champ consid´er´ee en fonction de r0 et ϕ.
r
m
30. Montrer que, si ϕ0 reste voisin de π/2, l’expression ci-dessus devient T2 ≃ γr0
. Quelle est l’unit´e
M B0
du coefficient γ ? Justifier la r´eponse. Quelle est sa valeur num´erique ?
Application num´erique : on reprend les valeurs num´eriques des questions pr´ec´edentes. La particule charg´ee,
d’´energie cin´etique Ec , s’enroule autour d’une ligne de champ d´efinie par le param`etre r0 = 4RT . On suppose
qu’`a un instant pris comme instant initial, cette particule se trouve dans le plan ´equatorial magn´etique (ϕ = π/2),
k~vL k2
1
avec une vitesse dont les composantes ~v⊥ et ~vL v´erifient
=
.
k~v⊥ k2
10
31. Calculer Bmin sur la ligne de champ.
32. Calculer la valeur de Bmax pour cette particule. V´erifier que les conditions de pi´egeage sont effectivement
satisfaites et que ϕ0 reste voisin de π/2. Moyennant cette derni`ere remarque, d´eterminer la valeur de ϕ0 .
33. En d´eduire les valeurs de T2 pour un ´electron d’´energie Ec = 55 keV et un proton d’´energie Ec = 0, 55 MeV.
Que pensez-vous des valeurs trouv´ees sachant que des mesures donnent des valeurs de de l’ordre de 100 ms pour
l’´electron et de l’ordre de 10 s pour le proton ?
34. Quels sont les effets des particules charg´ees sur un vaisseau spatial qui traverserait les ceintures de Van
Allen ?
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