Transcript UPMC Examen du 7 avril 2014 (1h30) 1M002 Université - imj

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Examen du 7 avril 2014 (1h30)
1M002
´ Pierre et Marie Curie 2013–2014
Universite
1M002, Devoir sur table num´ero 2, 7 avril 2014 (1h30)
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e. L’utilisation de tout appareil ´
electronique de calcul et
des t´
el´
ephones portables est interdite. Pendant l’´
epreuve, les t´
el´
ephones portables doivent
ˆ
etre ´
eteints et rang´
es. Les correcteurs tiendront compte de la qualit´e de la r´edaction et de la pr´ecision
des raisonnements. Ce devoir comporte deux parties : une partie I d’exercices `a r´ediger (11 points) et
une partie II d’exercices o`
u seules les r´eponses sont demand´ees (4 points).
Le total des points est volontairement sup´erieur a` 12 et les notes > 12 seront ramen´ees a` 12.
Partie I (11 pts)
Exercice 1 (4 pts). Pour tout n ∈ N, soit un =
Z 1
0
1
dx.
(1 + x2 )n
1. Calculer u0 et u1 .
2. Montrer que la suite (un ) est d´ecroissante. En d´eduire que c’est une suite convergente.
3. En proc´edant `
a une int´egration par parties, montrer que pour tout n ≥ 1 on a
un =
1
+ 2n(un − un+1 ).
2n
4. Conclure que pour tout n ≥ 0, il existe deux nombres rationnels an et bn tels que un = an + πbn .


3 3 1


Exercice 2 (5 pts). Soit M =  5 1 1  et B la base canonique de R3 .
0 0 1
a) D´eterminer le polynˆ
ome caract´eristique de M.
b) D´eterminer les valeurs propres de M. Quelle est la dimension des espaces propres associ´es ?
c) D´eterminer une base B 0 de R3 form´ee exclusivement de vecteurs propres de M.
d) D´eterminer la matrice de passage P de la base B vers la base B 0 , et calculer son d´eterminant d´et P,
puis son inverse P −1 .
n
e) Donner une expression simple pourP −1 M
d´eduire
 une expression comme fonction de n pour
 P. En 
an
1




chaque coefficient du vecteur colonne  bn  = M n  0  .
0
cn
Exercice 3 (2 pts). a) Soit D ⊂ C le disque form´e des nombres complexes de module ≤ 1. Montrer que
z 3 + 3i
pour tout z ∈ D, F (z) =
est aussi dans D.
4
b) Soit a ∈ R. En observant que a est une racine de Q, donner la d´ecomposition en facteurs irr´eductibles
r´eels du polynˆome Q(x) = x3 − a3 .
c) Donner la d´ecomposition en facteurs irr´eductibles complexes du polynˆome Q(x) = x3 − a3 . On pourra
commencer par traiter le cas a = 1 avant de traiter le cas g´en´eral.
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Examen du 7 avril 2014 (1h30)
1M002
Dans les deux exercices suivants, on ne demande pas de justifier les calculs. Seule la r´eponse est demand´ee
et sera ´evalu´ee.
Exercice 4 (2 pts).
1. D´eterminer la d´ecomposition en ´el´ements simples de la fraction rationnelle f (t) =
2. D´eterminer une primitive de f : t 7→
t
sur l’intervalle ]1, +∞[.
(t − 1)(t3 − 1)
Exercice 5 (2 pt). D´eterminer une primitive de g(t) =
cos(t)
.
2 + sin2 (t)
t
.
(t − 1)(t3 − 1)