Transcript UPMC Examen du 7 avril 2014 (1h30) 1M002 Université - imj

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Examen du 7 avril 2014 (1h30)
1M002
´ Pierre et Marie Curie 2013–2014
Universite
1M002, Devoir sur table num´ero 2, 7 avril 2014 (1h30)
Aucun document n’est autoris´
e. L’utilisation de tout appareil ´
electronique de calcul et
des t´
el´
ephones portables est interdite. Pendant l’´
epreuve, les t´
el´
ephones portables doivent
ˆ
etre ´
eteints et rang´
es. Les correcteurs tiendront compte de la qualit´e de la r´edaction et de la pr´ecision
des raisonnements. Ce devoir comporte deux parties : une partie I d’exercices `a r´ediger (12 points) et
une partie II d’exercices o`
u seules les r´eponses sont demand´ees (3 points).
Le total des points est volontairement sup´erieur a` 12 et les notes > 12 seront ramen´ees a` 12.
Partie I (12 pts)
Exercice 1 (4 pts). Pour tout n ∈ N, soit un =
Z 1
0
1
dx.
(1 + x2 )n
1. Calculer u0 et u1 .
Z 1
Z 1
dx
π
= Actan(1) − Actan(0) = .
2
4
0 1+x
0
2. Montrer que la suite (un ) est d´ecroissante. En d´eduire que c’est une suite convergente.
1
Lorsque x > 0 on a l’in´egalit´e 1 ≥
. On multiplie les deux membres par le nombre r´eel positif
1 + x2
1
1
(1 + x2 )−n pour trouver
≥
. Par int´egration entre 0 et 1 il vient un ≥ un+1 .
2
n
(1 + x )
(1 + x2 )n+1
dx = 1 et u1 =
u0 =
3. En proc´edant `
a une int´egration par parties, montrer que pour tout n ≥ 1 on a
un =
1
+ 2n(un − un+1 ).
2n
On choisit bien sˆ
ur de d´eriver la fonction fn (t) =
fn0 (t) =
1
et d’int´egrer la constante 1. Comme
(1 + t2 )n
−2nt
, il vient
(1 + t2 )n+1
un =
[tfn (t)]10
Z 1
2
2 n+1
t (1 + t )
+ 2n
0
1
dt = n + 2n
2
Z 1 2
t +1−1
0
(1 +
t2 )n+1
dt =
1
+ 2n(un − un+1 ).
2n
4. Conclure que pour tout n ≥ 0, il existe deux nombres rationnels an et bn tels que un = an + πbn .
On proc`ede par r´ecurrence sur n ≥ 0. L’initialisation est ´etablie en 1), puisque il suffit de choisir
1
a0 = 1, b0 = 0 puis a1 = 0, b1 = . H´er´edit´e : Supposons que au rang n, un est de la forme
4
un = an + πbn , pour deux nombres rationnels an et bn . La question 3 montre que
un+1 =
1
2n + 1
1
2n + 1
un + n =
(an + πbn ) + n .
2n
2
2n
2
2n + 1
1
2n + 1
Donc un+1 est de la forme un+1 = an+1 + πbn+1 avec an+1 =
an + n et bn+1 =
bn .
2n
2
2n
Les nombres an+1 et bn+1 sont bien des nombres rationnels puisque ce sont des sommes et des
produits de nombres rationnels d’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence.
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Examen du 7 avril 2014 (1h30)
1M002


3 3 1


Exercice 2 (5 pts). Soit M =  5 1 1  et B la base canonique de R3 .
0 0 1
a) D´eterminer le polynˆ
ome caract´eristique de M.
PM (x) = d´et(M − xId) = −(x − 1)(x − 6)(x + 2) = −x3 + 5x2 + 8x − 12.
b) D´eterminer les valeurs propres de M. Quelle est la dimension des espaces propres associ´es ?
Il y a trois valeurs propres distinctes qui sont 1, 6 et −2. Les espaces propres associ´es sont tous de
dimensions ≥ 1, et la somme de leurs dimensions fait au plus 3. Ainsi les trois espaces propres E1 , E6 et
E−2 sont tous de dimension 1.
c) D´eterminer une base B 0 de R3 form´ee exclusivement de vecteurs propres de M.
On cherche d’abord 
les vecteurs
X tels que M X = X. On r´esoud 
le syst`
 eme et l’on trouve que E1 =

1
1




V ect(e01 ) avec e01 =  1  . De mˆeme E6 = V ect(e02 ) avec e02 =  1  . Enfin E−2 = V ect(e03 ) avec
0
−5


3


0
` des valeurs propres distinctes, donc ils
e3 =  −5  . Les vecteurs propres e01 , e02 , e03 sont associ´es a
0
forment une famille libre d’apr`es le cours. Ils sont au nombre de 3, donc B 0 = (e01 , e02 , e03 ) est une base de
R3 .
d) D´eterminer la matrice de passage P de la base B vers la base B 0 , et calculer son d´eterminant d´et P,
puis son inverse P −1 .




1 1 3
0
0
−1/5




1/5  .
P =  1 1 −5  , d´et P = 40, P −1 =  5/8 3/8
−5 0 0
1/8 −1/8
0
n
e) Donner une expression simple pourP −1 M
d´eduire
 une expression comme fonction de n pour
 P. En 
an
1




chaque coefficient du vecteur colonne  bn  = M n  0  .
0
cn
Notons D la matrice diagonale D = diag(1, 6, −2). L’ordre dans lequel on a rang´e les vecteurs propres
dans B 0 assure que


1n 0
0


0 .
P −1 M n P = (P −1 M P )n = Dn =  0 6n
0 0 (−2)n
Par suite en utilisant la premi`ere colonne de P −1 il vient






1
1n 0
0
1






0  P −1  0 
M n  0  = P  0 6n
n
0
0 0 (−2)
0



1n 0
0
0



0   5/8 
= P  0 6n
0 0 (−2)n
1/8

0
(2)

1 

= P  6n 5 
8
(−2)n

(1)
(3)

6n 5 + 3(−2)n
1 n

=  6 5 − 5(−2)n  .
8
0
(4)
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1M002
Exercice 3 (3 pts). a) Soit D ⊂ C le disque form´e des nombres complexes de module ≤ 1. Montrer que
z 3 + 3i
pour tout z ∈ D, F (z) =
est aussi dans D.
4
L’in´egalit´e triangulaire entre nombre complexes donne
|
z 3 + 3i
1
1+3
| ≤ (|z 3 | + 3) ≤
= 1.
4
4
4
b) Soit a ∈ R . En observant que a est une racine de Q, donner la d´ecomposition en facteurs irr´eductibles
r´eels du polynˆome Q(x) = x3 − a3 .
La division euclidienne de Q(x) par x − a donne Q(x) = (x − a)(x2 + ax + a2 . Le deuxi`eme facteur
est un polynˆ
ome de degr´e deux irr´eductible sur R puisque son discriminant est strictement n´egatif :
2
2
∆ = a − 4a = −3a2 < 0. (Il faut traiter `
a part le cas a = 0 auquel cas Q(x) = x.x.x est la d´ecomposition
en facteurs irr´eductibles.
c) Donner la d´ecomposition en facteurs irr´eductibles complexes du polynˆome Q(x) = x3 − a3 .
2iπ
En notant j = e 3 il vient x3 − 1 = (x − 1)(x − j)(x − j 2 ). Par suite
x
Q(x) = x3 − a3 = a3 (( )3 − 1)
a
x
x
3 x
= a ( − 1)( − j)( − j 2 )
a
a
a
= (x − a)(x − aj)(x − aj 2 ).
Dans les trois exercices suivants, on ne demande pas de justifier les calculs. Seule la r´eponse est demand´ee
et sera ´evalu´ee.
Exercice 4 (2 pts).
1. D´eterminer la d´ecomposition en ´el´ements simples de la fraction rationnelle f (t) =
f (t) =
1
1
−
.
2
2
3(t − 1)
3(t + t + 1)
t
sur l’intervalle ]1, +∞[.
(t − 1)(t3 − 1)
Z
2
2t + 1
1
f (t)dt = −
− √ arctan( √ ).
3(t − 1) 3 3
3
2. D´eterminer une primitive de f : t 7→
cos(t)
Exercice 5 (1 pt). D´eterminer une primitive de g(t) =
.
2 + sin2 (t)
√
Z
2
sin(t)
g(t)dt =
arctan( √ ).
2
2
t
.
(t − 1)(t3 − 1)