Transcript TD8 - Anthony Mansuy

Lyc´ee Clemenceau - Reims
ECE1
TD8
Continuit´
e
Continuit´
e des fonctions
Exercice 1
´
Etudier
la continuit´e des fonctions suivantes:
(
f1 (x) =
f3 (x) =



(
f5 (x) =
ln(1+x3 )
3x2
0
(
f7 (x) =
exp(2x2 )−1
x
0
f9 (x) =
x
si x 6= 0,
−1
1
si x = 0.
|x − 1|
√
si x ∈ [0, 1[∪]1, +∞[,
1− x
2
si x = 1.
ex
f2 (x) =
f4 (x) = x − bxc
si x > 0,
si x = 0.
f6 (x) =
si x 6= 0,
si x = 0.
0 si x < 0,
ex si x ≥ 0.
ln(1+2x)
x
2
si x > 0,
si x = 0.
f8 (x) = x(x − bxc)
( 3
x −8
si x 6= 2,
x−2
f10 (x) =
12 si x = 2.
x ln(|x − 1|) si x ≤ 0,
1
(x − 1)e− x si x > 0.
Exercice 2
1. Soit f1 :]0, 1[→ R la fonction d´efinie par: ∀ x ∈]0, 1[, f1 (x) =
1
. f1 est-elle prolongeable par
ln(x)
continuit´e en 0 ou en 1?
√
2. Soit f2 :
R∗+
→ R la fonction d´efinie par: ∀ x > 0, f2 (x) =
x+1−
√
x
√
x
. f2 est-elle prolongeable
par continuit´e en 0?
3. Soit α ∈ R et soit f3 : R∗+ → R la fonction d´efinie par: ∀ x > 0, f3 (x) = xα . f3 est-elle
prolongeable par continuit´e en 0 (on discutera selon les valeurs de α)?
4. Soit f4 : R∗ → R la fonction d´efinie par: ∀ x > 0, f4 (x) = 1 + x2
par continuit´e en 0?
1
x2
. f4 est-elle prolongeable
Exercice 3
Peut-on prolonger par continuit´e les fonctions suivantes:
1 f (x) = x 1 + ,
x
x2 − |x|
g(x) = 2
,
x + |x|
x3 + 5x + 6
h(x) =
,
x3 + 1
i(x) =
2x − 1 si x < 1,
1
si x > 1.
x
√
Exercice 4
x+1−2
On consid`ere la fonction f (x) =
.
x−3
1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition de la fonction f et ´etudier sa continuit´e sur cet ensemble.
2. Peut-on prolonger f par continuit´e sur [−1, +∞[.
1
Lyc´ee Clemenceau - Reims
ECE1
Exercice 5
Soit f la fonction d´efinie sur R par:


1
xe x
si x < 0,
f (x) =
0
si x = 0,

x ln(x) si x > 0.
f est-elle continue?
Image d’un intervalle par une fonction continue
Exercice 6
1. Montrer que l’´equation ln(x) = 2 − x admet au moins une solution dans l’intervalle [1, 2].
2. Montrer que l’´equation x3 + x2 − 4x + 1 = 0 admet exactement trois solutions distinctes sur R.
Exercice 7
1. Soit f : [0, 1] → [0, 1] continue. On pose ϕ(x) = f (x) − x.
(a) Montrer que ϕ(0) ≥ 0 et ϕ(1) ≤ 0.
(b) En d´eduire qu’il existe c ∈ [0, 1] tel que f (c) = c.
2. Soient f, g : [0, 1] → R continues telles que f (0) ≤ g(0) et f (1) ≥ g(1). On pose ϕ(x) =
f (x) − g(x).
(a) D´eterminer le signe de ϕ(0) et de ϕ(1).
(b) En d´eduire qu’il existe c ∈ [0, 1] tel que f (c) = g(c).
Exercice 8
1. Montrer qu’une fonction continue sur un intervalle I ne s’annulant pas garde un signe constant.
2. Montrer que toute fonction polynˆ
omiale de degr´e impair a au moins une racine r´eelle.
Exercice 9
1. Donner un exemple d’une fonction f de [0, 1], non constante, telle que ∀ x ∈ [0, 1], (f (x))2 = 1.
2. Soit f une fonction continue sur [0, 1] telle que ∀ x ∈ [0, 1], (f (x))2 = 1. Montrer que f est
constante.
3. Soient f et g deux fonctions continues sur [0, 1] telles que pour tout x ∈ [0, 1], (f (x))2 = (g(x))2 6=
0. Montrer que f = g ou f = −g.
Exercice 10
Montrer que l’intervalle [0, 1] est stable par la fonction f (x) = ex − x − 1, c’est-`a-dire que pour tout
x ∈ [0, 1], f (x) ∈ [0, 1].
Exercice 11
1. Montrer que l’´equation ln(x) = −x admet une unique solution dans R∗+ puis v´erifier que cette
solution appartient `
a l’intervalle ] 1e , 1[.
2
Lyc´ee Clemenceau - Reims
ECE1
2. Montrer que l’´equation x2 = 3 − ln(x) admet une unique solution dans R∗+ puis v´erifier que cette
solution appartient `
a l’intervalle ]1, 2[.
Exercice 12
x
Soit f (x) =
.
1 + |x|
1. Montrer que f est une bijection de R dans un intervalle J `a d´eterminer.
2. D´eterminer la bijection r´eciproque de f .
3. Tracer dans un mˆeme rep`ere orthonorm´e les courbes repr´esentatives de f et de f −1 .
Exercice 13
ex − e−x
Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈ R par: f (x) =
.
2
1. Montrer que f est une bijection de R dans un intervalle J `a d´eterminer.
2. D´eterminer la bijection r´eciproque f −1 de f .
3. Tracer dans un mˆeme rep`ere orthonorm´e les courbes repr´esentatives de f et de f −1 .
Exercice 14
ex − 1
Soit f la fonction d´efinie sur R par: f (x) = x
.
e +1
´
1. Etudier
les variations de f .
2. Montrer que f r´ealise une bijection de R sur un intervalle J `a expliciter.
3. En quels points sa bijection r´eciproque f −1 est-elle continue? d´erivable?
1
1
4. Calculer (f −1 )0 (0), (f −1 )0 ( ), (f −1 )0 (− ).
2
4
5. Soit x ∈ f (R). D´eterminer un ant´ec´edent de x par f . En d´eduire f −1 .
6. D´eterminer (f −1 )0 (x) lorsque f −1 est d´erivable en x. Retrouver les r´esultats de la question 4.
7. Tracer dans un mˆeme rep`ere orthonorm´e les courbes repr´esentatives de f et de f −1 .
Exercice 15
Consid´erons la fonction d´efinie par f (x) = x ln(x).
´
1. Etudier
les variations de f .
1
2. En d´eduire que f r´ealise une bijection de
, +∞ sur un intervalle J `a expliciter.
e
3. En quel point f −1 est-elle d´erivable?
4. Calculer (f −1 )0 (0), (f −1 )0 (e), (f −1 )0 (2e2 ).
5. Tracer dans un mˆeme rep`ere orthonorm´e les courbes repr´esentatives de f et de f −1 .
3
Lyc´ee Clemenceau - Reims
ECE1
Suites d´
efinies implicitement
Exercice 16
Posons fn (x) = xn + 1 − nx.
1. Montrer que, pour chaque entier n ≥ 2, l’´equation xn + 1 = nx poss`ede une unique solution dans
l’intervalle [0, 1]. On note xn cette racine.
2. Justifier que ∀n ≥ 2,
1
2
≤ xn ≤ . En d´eduire lim xn .
x→+∞
n
n
3. En utilisant l’´egalit´e fn (xn ) = 0, d´eterminer lim nxn .
x→+∞
´
4. Etudier
le signe de fn+1 (x) − fn (x). En ´evaluant en x = un , en d´eduire le signe de fn+1 (xn ).
5. D´eterminer la monotonie de la suite (xn )n .
Exercice 17
Pour tout entier n sup´erieur ou ´egal `
a 1, on d´efinit la fonction fn par:
∀x ∈ R+ , fn (x) = xn + 9x2 − 4.
1. Montrer que l’´equation fn (x) = 0 n’a qu’une seule solution positive, not´ee un .
2
2. Calculer u1 et u2 et v´erifier que: ∀ n ∈ N∗ , un ∈]0, [.
3
3. Montrer que, pour tout x ´el´ement de ]0, 1[, on a : fn+1 (x) < fn (x).
4. En ´evaluant l’in´egalit´e pr´ec´edente en x = un , d´eterminer le signe de fn+1 (un ).
Quelle est alors la monotonie de la suite (un ) ?
5. Montrer que la suite (un ) est convergente. On note ` sa limite.
6. A l’aide de la question 2., encadrer (un )n puis d´eterminer lim unn .
n→+∞
En d´eduire la limite de (4 −
9u2n )
et expliciter `.
Exercice 18
On d´esigne par n un entier sup´erieur ou ´egal `a 3. On note fn la fonction d´efinie par:
fn (x) = x − n ln(x).
1. (a) D´eterminer l’ensemble de d´efinition Dfn de fn .
(b) D´eterminer les limites de fn aux bornes de son ensemble de d´efinition.
(c) Justifier que fn est continue et d´erivable sur Dfn . Calculer fn0 .
(d) Dresser le tableau de variations de fn .
2. (a) D´eterminer le signe de fn (n) (on pourra utiliser l’approximation e = 2.72).
(b) En d´eduire que l’´equation fn (x) = 0 admet exactement deux solutions. En notant un la plus
petite et vn la plus grande de ces deux solutions, on v´erifiera que: ∀ n ≥ 3, 0 < un < n < vn .
3. Quelle est la nature de la suite (vn )n≥3 ?
4. (a) Calculer fn (1) et fn (e).
(b) En d´eduire que ∀ n ≥ 3, 1 < un < e.
4
Lyc´ee Clemenceau - Reims
ECE1
1
e
(c) Rappelons que ∀ n ≥ 3, fn (un ) = 0. Montrer que ∀ n ≥ 3, e n < un < e n .
(d) En d´eduire que lim un = 1.
n→+∞
Exercice 19
On note (En ) l’´equation
x3
= n.
x2 + 1
1. Montrer que pour tout n ∈ N, l’´equation (En ) poss`ede une unique solution, not´ee xn , sur R.
2. Quelle est la monotonie de la suite (xn )?
3. Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, n ≤ xn ≤ n + 1.
4. En d´eduire lim xn et lim
n→+∞
n→+∞
xn
.
n
Exercice 20
On consid`ere la fonction f (x) = ex + x.
1. Montrer que f r´ealise une bijection de R sur un intervalle `a expliciter.
2. Justifier que pour tout entier naturel n, l’´equation f (x) = n poss`ede une unique solution que
l’on notera par la suite xn .
3. Quelle est la monotonie de la suite (xn )?
4. D´emontrer que ∀ n ≥ 1, ln(n − ln(n)) ≤ xn ≤ ln(n).
5. En d´eduire la limite de la suite (xn ) puis d´eterminer lim
n→+∞
xn
.
ln(n)
Exercice 21
On consid`ere l’´equation (En ) : x ln(x) = n.
1. Montrer que, pour tout entier naturel n, l’´equation (En ) poss`ede une unique solution, not´ee xn ,
sur [1, +∞[.
2. Quelle est la monotonie de la suite (xn )?
3. Montrer que ∀ n ≥ 1, xn ≤ n.
4. En d´eduire que ∀ n ≥ 2, xn ≥
n
n
puis que xn ≤
.
ln(n)
ln(n) − ln(ln(n))
ln(n)xn
.
n→+∞
n
5. Calculer lim
Exercice 22
On consid`ere pour tout entier n ∈ N∗ l’´equation suivante:
(En )
x5 + x + 1 = n.
1. Montrer que la fonction f (x) = x5 + x + 1 r´ealise une bijection de R sur un intervalle J que l’on
pr´ecisera.
2. Montrer que pour tout entier n ∈ N∗ , l’´equation (En ) admet une unique solution not´ee xn .
3. Soit f −1 la bijection r´eciproque de f . Donner le tableau de variation de f −1 .
5
Lyc´ee Clemenceau - Reims
ECE1
4. Montrer que la suite (xn ) est strictement croissante et ´etudier sa convergence.
Exercice 23
1. Montrer que: ∀ x > 0, x − 1 − ln(x) ≥ 0.
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, l’´equation
xn sur ]0; +∞[.
x2
− x ln(x) = n poss`ede une unique solution
2
3. Montrer que la suite (xn )n∈N est croissante et diverge vers +∞.
Exercice 24
Soit f : R → R la fonction d´efinie par ∀ x ∈ R, f (x) = ex − x.
´
1. Etude
de la fonction f :
(a) D´eterminer les limites de f en ±∞.
(b) Montrer que la courbe repr´esentative Cf de f admet la droite ∆ d’´equation y = x comme
´
asymptote oblique en −∞. Etudier
la position relative de Cf par rapport `a ∆.
´
(c) Etudier
les variations de f et dressez son tableau de variations.
(d) Tracer Cf .
´
2. Etude
d’une suite d´efinie implicitement:
(a) Montrer que pour tout n ≥ 2, l’´equation f (x) = n poss`ede exactement deux solutions de
signes contraires.
La solution positive de cette ´equation est not´ee αn .
´
(b) Etudier
les variations de la suite αn .
(c) D´emontrer que
∀ n ∈ N, αn ≥ ln(n).
En d´eduire le comportement asymptotique de la suite (αn )n≥2 .
6