Transcript Continuité sur un intervalle, TVI et calculs de dérivées

TS1 (LPO Jacques Ruffi´e)
Continuit´e sur un intervalle, TVI et calculs de d´eriv´ees
12 mars 2014
La prochaine fois, pour la physique, parler en fin de ce chapitre de
primitive et de df/dt
Continuit´e sur un intervalle, TVI et calculs de d´eriv´ees
Table des mati`
eres
I)
Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notion de continuit´e . . . . . . . . . . .
Y a-t-il diff´erents types de discontinuit´e ?
Lien entre d´erivabilit´e et continuit´e . . .
Op´erations sur les fonctions continues . .
II) Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires . .
III) Calculs de d´eriv´ees . . . . . . . . . . . .
1. Compl´ements . . . . . . . . . . . . . . .
2. Mise en ´evidence d’une expression unifi´ee
1.
2.
3.
4.
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1
1
2
4
4
4
7
7
8
⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
I)
Continuit´
e
1.
Notion de continuit´
e
Approche intuitive : une fonction f est continue sur un intervalle lorsqu’on peut y tracer sa courbe
«sans lever le crayon».
Une d´efinition peut ˆetre donn´ee `a l’aide du concept de limite.
Propri´
et´
e 1.
Soit une fonction f d´efinie sur un intervalle I contenant le r´eel a.
Si la fonction f admet une limite r´eelle en a alors on a lim f (x) = f (a).
x→a
D´
efinition
Soit une fonction f d´efinie sur un intervalle I contenant le r´eel a.
Dire que la fonction f est continue en a signifie qu’elle admet une limite r´eelle en a.
Dire que la fonction f est continue sur l’intervalle I signifie qu’elle est continue en tout point
de I.
Remarque
Dire que f est continue en a signifie donc que tout intervalle ouvert contenant f (a) contient
tous les nombres f (x) pour x assez proche de a.
Graphique `a l’appui.
D´
efinition
Dire qu’une fonction est continue sur un intervalle signifie qu’elle est continue en tout point
de cet intervalle.
Alain Gauchet
(Livre : Math’x TS (programme 2012) - Didier)
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Continuit´e sur un intervalle, TVI et calculs de d´eriv´ees
12 mars 2014
Exemple
1
d´efinie sur R∗ ,
x
f est continue sur ] − ∞; 0[ ;
f est continue sur ]0; +∞[ ;
f n’est pas continue en 0 puisqu’elle n’est mˆeme pas d´efinie en 0.
(En fait f est continue sur R∗ mais on n’a d´efini ici la continuit´e que sur un intervalle...).
Soit f : x 7→
•
•
•
•
Remarque
Une fonction continue en a est d´efinie en a mais la r´eciproque est fausse.
Exemple
La fonction partie enti`
ere E, d´efinie sur R par
E(x) = n o`u n ∈ Z avec n ≤ x < n + 1.
• on a E(4, 1) = 4 et E(−4, 1) = −5 ;
• la repr´esentation graphique de E (fonction en
escalier) ;
• montrons que E n’est pas continue en 1 :
a) on a E(1) = 1 ;
b) lim
E(x) = 0 ;
x→1
x<1
c) lim
E(x) = 1.
x→1
y
b
1
−3
−2
x>1
La limite `a droite et la limite `a gauche en 1 ´etant
diff´erentes, la fonction E n’admet pas de limite
en 1 ; elle n’est donc pas continue en 1.
• de fa¸con g´en´erale, E n’est pas continue en x ∈ Z
et elle est continue en x 6∈ Z.
b
2
b
b
c
b
−1
b−1 b
c
1
O
b
c−2
b
c
b
−3
c
b
c
b
x
2
Remarques
• Attention, sur la calculatrice, les discontinuit´es ne sont pas toujours apparentes...
• Une fonction de la foire aux monstres
( : attention au sens de «sans lever le crayon». La
x si x ∈ Q
fonction f d´efinie sur R par f (x) =
n’est pas continue.
0 sinon
Exercices
Oralement : 1 `a 8 p 48.
Difficile : 18 p 50.
Convention
Dans les tableaux de variations, les fl`eches obliques traduisent la continuit´e et la stricte monotonie de la
fonction sur l’intervalle consid´er´e.
2.
Y a-t-il diff´
erents types de discontinuit´
e?
Ici, distribuer une la fiche « TS1314 FicheDiscont.pdf ».
Alain Gauchet
(Livre : Math’x TS (programme 2012) - Didier)
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Oui ! Une fonction f d´efinie en a est continue en a si et seulement si elle a une limite r´eelle `a gauche
et une limite r´eelle `a droite en a et que ces deux limites sont ´egales `a f (a).
Elle peut donc ˆetre discontinue en a pour plusieurs raisons.
a. Premi`ere raison possible : f admet une limite r´eelle `a gauche et une limite r´eelle `a droite en a,
mais ces deux limites ne sont pas ´egales (c’est par exemple le cas de la fonction partie enti`
ere
vue dans le paragraphe pr´ec´edent).
y
b
2
b
1
−3
b
−2
b
c
b
−1
b−1 b
c
1
O
b
c−2
b
c
b
−3
c
b
c
b
x
2
b. Deuxi`eme raison possible : f admet une limite r´eelle commune `a gauche et `a droite en a, mais elle
y admet une autre valeur que cette limite commune.
En voici un exemple graphique :
y
1 b
−3
−2
−1
O
x
c
b
1
2
c. Troisi`eme raison possible, et les choses deviennent compliqu´ees : f n’a pas de limite `a droite ou `a
gauche en a. Il faut bien avouer que dans la pratique, presque toutes les fonctions ont une limite
`a gauche et `a droite. Mais il faut avoir vu ces contrexemples, pour bien comprendre la th´eorie,
comme celui de la fonction f d´efinie par
pour tout x ∈ R∗ f (x) = cos (1/x) , et f (0) = 0
y
x
O
Elle n’a pas de limite `a droite ni `a gauche en 0. Quand x tend vers 0, f (x) oscille continˆument entre
−1 et 1, de plus en plus vite `a mesure que x se rapproche de 0.
Fin de la fiche « TS1314 FicheDiscont.pdf ».
Alain Gauchet
(Livre : Math’x TS (programme 2012) - Didier)
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3.
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Lien entre d´
erivabilit´
e et continuit´
e
Propri´
et´
e 2.
(Admise)
Si une fonction f est d´erivable sur l’intervalle I, alors elle est continue sur I.
Remarque : la r´eciproque est fausse, une fonction continue en un r´eel a de I n’est pas n´ecessairement
d´erivable en a.
Par exemple les fonctions valeur absolue et racine carr´ee sont continues en 0 mais non d´erivables en 0.
4.
Op´
erations sur les fonctions continues
Propri´
et´
e 3.
On admet que les fonctions de r´ef´erences (affines, carr´e, inverse, racine carr´ee, valeur absolue), leurs
sommes, leurs multiples par un r´eel, leurs produits, leurs quotients et leurs compos´ees sont continues sur
les intervalles o`u ils sont d´efinies !
Notamment toute fonction polynˆome est continue sur R et toute fonction rationnelle (quotient de polynˆomes) est continue sur son ensemble de d´efinition.
Exemple de fonction compos´ee : f (x) =
√
x + 3.
Attention, la somme de deux fonctions discontinues en un point peut ˆetre continue en ce point (exemple :
la d´eriv´ee de la fonction valeur absolue et son oppos´ee !).
|x|
est continue mais on peut la prolonger en une fonction discontinue.
Attention, la fonction x 7→
x
Exemples... (polynˆomes...)
II)
Le th´
eor`
eme des valeurs interm´
ediaires
Remarque
Observation d’un tableau de variation : une fonction continue sur [a, b] prend toutes les valeurs
comprises entre f (a) et f (b).
Alain Gauchet
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Th´
eor`
eme 1.
(Admis)
Th´
eor`
eme des valeurs interm´
ediaires (TVI)
Soient une fonction f d´efinie et continue sur un intervalle I et a et b deux r´eels de I. Alors pour tout
r´eel k compris entre f (a) et f (b), il existe c ∈ [a, b]
tel que f (c) = k.
y
C
f (a) bc
k
b
bc
b
bc
a
f (b) bc
bc
c
bbc
x
b
Autrement dit l’´equation f (x) = k admet au moins une solution.
Autrement dit tout r´eel k compris entre f (a) et f (b) a un ant´ec´edent dans l’intervalle [a; b].
Remarque : ce th´eor`eme est un th´eor`eme d’existence, il affirme l’existence d’une solution, mais il ne
donne pas de solution et il ne garantit pas l’unicit´e.
Des m´ethodes num´eriques permettent de donner des valeurs approch´ees de solutions.
Exemple graphique de fonction discontinue o`u il n’y a pas d’ant´ec´edent `a une valeur interm´ediaire...
Exemple graphique d’une fonction discontinue o`u la conclusion du TVI s’applique quand mˆeme...
Exercice
Graphique : 23 p 50.
Tableau de variation : 25 p 51.
Corollaire 1.
Un fonction continue qui change de signe s’annule.
Exemples...
Approche du th´
eor`
eme de la bijection qui suit.
Soit une fonction f repr´esent´ee par le tableau de variations suivant :
x
−10
f (x)
−5
10
5
ր
D´eterminer le nombre de solutions de l’´equation f (x) = 0.
D’apr`es le tableau de variation, la fonction f est continue et strictement croissante sur [−10; 10].
On a f (−10) = −5 et f (10) = 5.
Alain Gauchet
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Le r´eel 0 ´etant compris entre −5 et 5, et la fonction f ´etant continue, d’apr`es le TVI, il existe une
solution α de l’´equation f (x) = 0 dans l’intervalle [−10; 10] ;
de plus la fonction f ´etant strictement croissante, cette solution est unique.
Th´
eor`
eme 2.
Soit une fonction f strictement monotone sur [a; b].
Pour tout r´eel k compris entre f (a) et f (b), s’il existe un r´eel c ∈ [a, b] tel que f (c) = k alors il est
unique.
Autrement dit, si un r´eel k compris entre f (a) et f (b) a un ant´ec´edent dans l’intervalle [a, b], alors il
n’en a qu’un.
Preuve.
Montrons l’unicit´e.
Soit une fonction f strictement croissante sur [a; b].
Soient deux solutions distinctes α et α′ de l’´equation f (x) = k.
Supposons par exemple α < α′ . Comme la fonction f est strictement croissante alors f (α) < f (α′),
c’est-`a-dire k < k. Impossible.
Donc α = α′ . La solution est donc unique.
Soit maintenant une fonction f strictement d´ecroissante, alors en appliquant la propri´et´e que nous
venons de montrer `a la fonction −f qui est strictement croissante, on montre aussi l’unicit´e.
Logiq Ceci est une preuve par l’absurde, on peut aussi prouver ce th´eor`eme en utilisant la contrapos´ee
de la d´efinition de la stricte croissance...
Remarque
Ainsi, le TVI prouve l’existence d’une solution et la stricte monotonie prouve l’unicit´e.
On explique bri`evement ce qu’est une bijection...
Exercices
• esolu 3 p 41).
TICEBalayage sur le tableur de la calculatrice : 26 p 51 (Cf exercice r´
• Algo Dichotomie : 32 p 51 (lire le TP3 page 46 et notamment l’algorithme de l’encadr´e en bas
de la page ou encore les programmes page 47 et programmer sur la calculatrice).
Distribuer la fiche « C2 exercice32 AideTI.pdf ».
• Une application : 35 p 52.
Les deux th´eor`emes pr´ec´edents s’´etendent `a des intervalles non n´ecessairement born´es, non n´ecessairement ferm´es, d’o`u le th´eor`eme suivant.
Th´
eor`
eme 3.
(Admis).
a, b, α et β d´esignent des r´eels ou ±∞.
Soit une fonction f continue et strictement monotone sur un intervalle I quelconque d’extr´emit´es a et b,
telle que :
lim f (x) = α et lim f (x) = β .
x→a
x→b
Alors tout r´eel k compris entre α et β a un unique ant´ec´edent dans l’intervalle I.
Exemple : tout r´eel a un ant´ec´edent unique par la fonction carr´e sur R, d’o`u la fonction racine carr´ee.
Alain Gauchet
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III)
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Calculs de d´
eriv´
ees
Rappel rapide de la d´efition de la d´erivabilit´e et du nombre d´eriv´e...
1.
Compl´
ements
Propri´
et´
e 4.
(Admise).
Soit une fonction u d´erivable et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction f d´efinie sur I
p
u′(x)
par f (x) = u(x) est d´erivable sur l’intervalle I et on a ∀x ∈ I, f ′ (x) = p
.
2 u(x)
√
u′
Plus synth´etiquement, on peut retenir ( u)′ = √ .
2 u
Exemples...
Exercice
39 p 52.
Propri´
et´
e 5.
(Admise).
Soient une fonction u d´erivable sur un intervalle I et un entier relatif non nul n.
Soit la fonction f d´efinie sur I par f (x) = un (x). Alors,
• si n > 0, la fonction f est d´erivable sur l’intervalle I ;
• si n < 0 et la fonciton u ne s’annule pas sur I, la fonction f est d´erivable sur l’intervalle I.
Dans les deux cas on a ∀x ∈ I, f ′ (x) = nu′ (x)un−1 (x).
Plus synthtiquement, on peut retenir (un )′ = nu′ × un−1 pour n ∈ Z∗ .
Exemples...
Exercice
41 p 52.
Propri´
et´
e 6.
(Admise).
Soient deux r´eels a et b, et une fonction g d´erivable sur un intervalle I.
Pour tout r´eel x tel que ax + b ∈ I, la fonction f : x 7→ g(ax + b) est d´erivable et on a f ′ (x) =
a × g ′(ax + b).
On constate la coh´erence avec les deux propri´et´es pr´ec´edentes...
C’est une propri´et´e `a retenir pour les nouvelles fonctions de r´ef´erence que nous verrons dans l’ann´ee.
Exemples...
Exercices
Alain Gauchet
(Livre : Math’x TS (programme 2012) - Didier)
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Continuit´e sur un intervalle, TVI et calculs de d´eriv´ees
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46 p 52.
Variations : 49 & 50 p 53.
Optimisation : 53 p 53.
2.
Mise en ´
evidence d’une expression unifi´
ee
... (f (u(x)))′ = f ′ (u(x))u′(x)... mais la connaissance de cette formule « n’est pas une capacit´e attendue ».
AP : Exemples de fonctions discontinues, ou `a d´eriv´ees non continues.
Pour l’exponentielle et le logarithme, les formules seront vues dans les chapitres concern´es...
Alain Gauchet
(Livre : Math’x TS (programme 2012) - Didier)
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