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Lyc´ee Dominique Villars
ECE 2
REVISIONS - CALCUL MATRICIEL
Exercice 1 (Inversibilit´e de matrice et Syst`emes lin´eaires).
1. Les matrices suivantes sont-elles inversibles ou pas. Si oui donner l’´ecriture matricielle de leur
inverse.




0 −1 1
2 0 0
2 1
C = 0 1 2
A=
B = 3 4 0
3 4
1 1 1
0 0 3


2 −2 1

D=
2 −3 2
Indication : On pourra calculer D 2 + 2D − 3I3
−1 2 0




0 0
1
0 1−p 0
E = 0 0 −1
F = 1
0
1 p ∈]0, 1[
1 −1 −1
0
p
0
2. R´esoudre les syst`emes lin´eaires suivants :
   
   
   
x
x
x
0
1
0
D y  = 0 ; D y  = 1 ; E y  = 0
0
1
0
z
z
z
   
x
1
; E y  = 1
1
z
   
x
−1
; E y  =  1 
z
4
3. Pour chacune des matrices M ci-dessus d´eterminer l’ensemble des valeurs r´eelles λ telles que
M − λI ne soit pas inversible.
Exercice 2 (Calcul de puissance de matrice via l’´etude de suites num´eriques).


1 −3 6
On d´efinit la matrice : A =  6 −8 12 .
3 −3 4
1. CalculerA2 et montrer qu’il existe deux r´eels a et b que l’on d´eterminera tels que A2 = aA + bI3 .
2. En d´eduire que A est inversible et exprimer A−1 en fonction de A et I3 .
3. Etablir par r´ecurrence que pour tout entier n il existe des r´eels un et vn tels que
An = un A + vn I
4. (a) On pose xn = un + vn . Montrer que, pour tout entier n > 0, on a xn = 1.
(b) Pour tout entier n > 0, on pose yn = 2un − vn .
Montrer que la suite (yn ) est g´eom´etrique et pr´eciser sa raison. Exprimer alors yn en fonction
de n.
(c) En d´eduire les expressions de un et vn en fonction de n.
5. Montrer que pour tout entier n > 0, on a
1 1
2 1
n
n
n
A =
− (−2) .A +
+ (−2) .I3
3 3
3 3
Cette formule est-elle encore valable pour n = −1

2 −1 −1
 −1
2 −1
☛ Mˆeme exercice avec la matrice B = 
 −1 −1
2
−1 −1 −1
?

−1
−1 

−1 
2
Exercice 3 (Calcul des puissances d’une matrice via une d´ecomposition D+N (de Dunford)).
Soit u la suite d´efinie par : u0 = 0, u1 = 1, u2 = −1 et pour tout entier n :
un+3 = un+2 + un+1 − un
Le but de cet exercice est de d´eterminer
la 
valeur de un en fonction de n.

un+2
On note pour tout entier n : Vn =  un+1 
un
1. (a) D´eterminer une matrice M telle que pour tout entier n,
Vn+1 = M · Vn .
M n .V
(b) D´emontrer que, pour tout entier n : Vn =
0.






1 1 −1
1 0 0
0 1 0
2. Soit A =  1 0 0 , D =  0 1 0  et N =  0 0 0  et B = N + D.
0 1 0
0 0 −1
0 0 0


1 1 1
(a) D´eterminer la matrice P =  x a u  telle que A · P = P · B.
y b v
(b) Monter que P est inversible.
(c) Montrer que A = P · B · P −1 et en d´eduire An en fonction de B n .
3. (a) Calculer N 2 et en d´eduire pour tout n entier la valeur de N n .
(b) En d´eduire la valeur de B n en fonction de n.
(c) Calculer enfin Vn puis un en fonction de n
Exercice type concours 4 (Matrice et marche al´eatoire - ESSEC 2002 option T).
1. R´
esolution d’un syst`
eme d’´
equations
On consid`ere le syst`eme de trois ´equations suivant o`
u y1 , y2 , y3 sont des nombres r´eels donn´es, et o`
u
les inconnues sont x1 , x2 , x3 :

 x1 − x2 + x3 = y 1
x2 − 2x3 = y2
qu’on ´ecrira matriciellement sous la forme P X = Y

x3 = y 3
X d´esignant ci-dessus la matrice-colonne dont les ´el´ements (de haut en bas) sont x1 , x2 , x3 et Y la
matrice-colonne dont les ´el´ements (de haut en bas) sont y1 , y2 , y3 .
1. Pr´eciser la matrice P de ce syst`eme.
2. R´esoudre le syst`eme d’´equations pr´ec´edent.
3. En d´eduire la matrice inverse P −1 .
2. Calculs matriciels pr´
eliminaires
On consid`ere la matrice M suivante :

 1



M = 0


 0
1
2
1
2
0
1
3
1
3
1
3









.
1. Expliciter le produit matriciel D = P −1 M P et v´erifier que la matrice D est diagonale.
2. En d´eduire que M = P DP −1 , puis que M n = P D n P −1 pour tout nombre entier naturel n.
3. Expliciter alors les matrices D n et M n (on v´erifiera le calcul effectu´e en faisant n = 0 et n = 1).
3. Etude d’une marche al´
eatoire
Un individu se d´eplace sur les trois points A0 d’abscisse 0, A1 d’abscisse 1 et A2 d’abscisse 2 selon les
r`egles suivantes :
• A l’instant initial 0, il est au point d’abscisse 2..
• S’il est au point d’abscisse 2 `
a l’instant n (n ∈ IN ), il est de fa¸con ´equiprobable en l’un des 3 points
d’abscisses 0, 1 ou 2 `
a l’instant n + 1.
• S’il est au point d’abscisse 1 `
a l’instant n (n ∈ IN ), il est de fa¸con ´equiprobable en l’un des 2 points
d’abscisses 0 ou 1 `
a l’instant n + 1.
• S’il est au point d’abscisse 0 `
a l’instant n (n ∈ IN ), il reste au point d’abscisse 0 `a l’instant n + 1..
Pour tout nombre entier naturel n, on d´esigne par Xn la variable al´eatoire indiquant l’abscisse du point
o`
u se trouve l’individu `
a l’instant n et par E (Xn ) son esp´erance.
1. Exprimer `
a l’aide du th´eor`eme des probabilit´es totales les probabilit´es
P (Xn+1 = 0)
P (Xn+1 = 1)
P (Xn+1 = 2)
en fonction des probabilit´es P (Xn = 0), P (Xn = 1) et P (Xn = 2).
2. En d´eduire une matrice M d’ordre 3 telle que
Un+1 = M Un
o`
u Un , d´esigne la matrice-colonne dont les ´el´ements (de haut en bas) sont P (Xn = 0), P (Xn = 1)
et P (Xn = 2).
3. Exprimer le produit matriciel 0 1 2 M en fonction de la matrice-ligne 0 1 2 .
4. En multipliant `
a gauche par la matrice-ligne 0 1 2 l’´egalit´e matricielle Un+1 = M Un ,
exprimer
E (Xn+1 ) en fonction de E (Xn )
5. En d´eduire E (Xn ) en fonction de n et sa limite quand n tend vers +∞.
6. Pr´eciser U0 et exprimer Un , en fonction de M n et U0 .
7. En d´eduire P (Xn = 0), P (Xn = 1), P (Xn = 2) et leurs limites quand n tend vers +∞,
8. Retrouver `
a l’aide de ces r´esultats l’esp´erance E (Xn ) et sa limite quand n tend vers +∞.
Exercice type concours 5 (Probl`eme - HEC option T).
On consid`ere les matrices

1 0
 0 1
I =
 0 0
0 0
carr´ees d’ordre 4 suivantes


0 0
1 1 1


0 0 
1 1 1
J =
 1 1 1
1 0 
0 1
1 1 1
:

1
1 

1 
1
et

2

1
1
A= 
5 1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1. Calculer la matrice J 2 , puis, pour tout entier naturel n non nul, la matrice J n .

1
1 

1 
2
.
2.a. Exprimer la matrice A en fonction des matrices I et J.
b. En d´eduire, pour tout entier naturel n non nul, l’´egalit´e
An
1
1
= nI +
5
4
1
1− n
5
J.
3. On consid`ere les suites num´eriques (pn )n∈N , (qn )n∈N , (rn )n∈N , (sn )n∈N d´efinies par leurs premiers
termes p0 = 1, q0 = r0 = s0 = 0, et, pour tout entier naturel n, par les relations de r´ecurrence :
1
1
1
2
pn + qn + rn + sn
5
5
5
5
1
2
1
1
qn+1 = pn + qn + rn + sn
5
5
5
5
1
2
1
1
rn+1 = pn + qn + rn + sn
5
5
5
5
1
1
1
2
sn+1 = pn + qn + rn + sn
5
5
5
5
pn+1 =


pn
 qn 

On note, pour tout entier naturel n, Xn , la matrice-colonne suivante: Xn = 
 rn .
sn
a. V´erifier, pour tout entier naturel n, l’´egalit´e matricielle: Xn+1 = AXn . En d´eduire, pour tout entier
naturel n non nul, l’´egalit´e : Xn = An X0 .
b. Donner, pour tout entier naturel n non nul, les expressions de pn , qn , rn , sn en fonction de n.
c. D´eterminer les limites des suites (pn )n∈N , (qn )n∈N , (rn )n∈N , (sn )n∈N .
d. D´eterminer la convergence de la s´erie puis la valeur de la somme
+∞
X
(−16pi + 8qi + 8si )
i=1
4. Application `
a un jeu de hasard
On suppose qu’un joueur fait avancer un pion sur les quatre cases d’un disque partag´e en quadrants
num´erot´es 0, 1, 2, 3 dans le sens des aiguilles d’une montre, selon le protocole suivant :
• au d´ebut du jeu, le pion est sur la case 0;
• `a chaque coup, le joueur tire, de fa¸con ´equiprobable, un ´el´ement k de {0, 1, 2, 3, 4}, et avance son
pion de k cases, en tournant dans le sens des aiguilles d’une montre.
On note, pour tout entier naturel n, Pn l’´ev´enement ”juste avant le (n + 1)i`eme coup, le pion est sur
la case 0”, Qn l’´ev´enement ”juste avant le (n + 1)i`eme coup, le pion est sur la case 1”, l’´ev´enement
”juste avant le (n + 1)i`eme coup, le pion est sur la case 2”, Sn l’´ev´enement ”juste avant le (n + 1)i`eme
coup, le pion est sur la case 3”.
` l’aide de la formule des probabilit´es totales, exprimer, pour tout entier naturel n, les probabilit´es
a. A
des ´ev´enements Pn+1 , Qn+1 , Rn+1 , Sn+1 , en fonction des probabilit´es des ´ev´enements Pn , Qn , Rn , Sn .
b. En d´eduire que ces probabilit´es sont donn´ees par les valeurs des suites (pn )n∈N ,
(qn )n∈N , (rn )n∈N , (sn )n∈N d´efinies `
a la question 3.
c. Interpr´eter alors le r´esultat de la question 3.c.
d. On suppose que, chaque fois que le pion s’arrˆete sur la case 0, le joueur paye 16 euros et que, chaque
fois que le pion s’arrˆete sur une des cases 1 ou 3, le joueur re¸coit 8 euros (dans le cas o`
u le pion s’arrˆete
sur la case 2, rien ne se passe).
Interpr´eter le nombre Gn de la question 3.d.. Le jeu est-il, en moyenne, favorable au joueur?