Transcript Corrigés - Mathématiques

´ de
´rale de Lausanne
Ecole Polytechnique Fe
´matiques
Section des mathe
´e
Analyse pour la Physique ⇒ Analyse avance
Quelques exercices avant le d´ebut - le corrig´e 1
Septembre 2014
1. L’in´
egalit´
e fondamentale. Sachant que pour tous x r´eel x2 ≥ 0 et x2 = 0 si
et seulement si x = 0 montrer que
a2 + b2 ≥ 2ab
(1)
pour tous a, b r´eels. Dans quel cas cette in´egalit´e est une identit´e ?
Corrig´
e. Prendre x = a − b d’o`
u l’´egalit´e si et seulement si a = b. Remarquons
encore que l’in´egalit´e (1) est triviale si ab < 0. Dans ce cas on remplace b par
−b (c’est-`
a-dire prendre x = a + b) pour en d´eduire a2 + b2 ≥ −2ab. C’est
pourquoi on consid`ere (1) seulement pour a, b ≥ 0 ou l’on ´ecrit sous la forme
a2 + b2 ≥ 2|ab| en utilisant la valeur absolue | · | (voir cours).
(a) En utilisant que pour tous y > 0 l’unique solution positive de x2 = y est
√
x = y d´eduire de l’´eq (1) l’ingalit´e arithm´etico-g´eom´etrique :
√
x1 x2 ≤
x1 + x2
2
(2)
pour tous x1 , x2 ≥ 0.
√
√
Corrig´
e. Prendre a = x1 , b = x2 dans (1).
(b) D´eduire de l’´eq (1) que pour tous a, b r´eels et λ > 0 :
λa2 + λ−1 b2 ≥ 2ab.
(3)
Pour quel(s) λ en fonction de a, b on obtient l’in´egalit´e stricte ?
√
√
Corrig´
e. Dans (1) on remplace a par a′ = a λ et b par b′ = b λ−1 .
′2
′2
′ ′
′ ′
Alors, ab = a b et a + b ≥ 2a b est ´equivalente `
a (3). Il en suit qu’on a
une identit´e si et seulement si a′ = b′ . Par cons´equent, l’in´egalit´e est stricte
b
pour tous λ > 0 si a = 0 et pour tous λ ̸= (et λ > 0) si a ̸= 0.
a
Remarque. Si on applique (3) `
a plusieurs couples ai , bi ,i = 1, . . . , n avec
le mˆeme λ > 0 on obtient en prenant la somme
λ(a21 + . . . a2n ) + λ−1 (b21 + . . . b2n ) ≥ 2(a1 b1 + . . . an bn )
on peut
√d´emontrer l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz en prenant ”le meilleur”
b2 + . . . b2n
λ = √ 1
car par ce qui pr´ec`ede pour ce choix le membre de
2
a21 + . . . a√
n
√
u
gauche devient 2 a21 + . . . a2n b21 + . . . b2n d’o`
√
√
a21 + . . . a2n b21 + . . . b2n ≥ a1 b1 + . . . an bn .
c
1. ⃝Joachim
Stubbe, EPFL, 2013
C’est un exemple pour illustrer l’utilit´e de cette in´egalit´e fondamental en
math´ematiques appliqu´ees.
(c) Soient 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . . tels que pour tous R r´eels et tous entier positif n
x1 + . . . + xn ≥ nR2 −
R4
.
4π
En d´eduire que x1 + . . . + xn ≥ πn2 .
Corrig´
e. En compl´etant le carr´e l’in´egalit´e est ´equivalente `
a
( 2
)2
√
R
x1 + . . . + xn ≥ πn2 − √ − πn .
4π
On trouve la meilleure estimation pour x1 + . . . + xn si le carr´e est nul,
c’est-`
a-dire si on choisit R2 = 2πn d’o`
u l’affirmation.
2. Un cas sp´
ecial d’une in´
egalit´
e de Karamata. Soient x1 , x2 , y1 , y2 des r´eels
tels que x1 ≥ x2 , y1 ≥ y2 , x1 ≥ y1 et x1 + x2 = y1 + y2 . Montrer que
x21 + x22 ≥ y12 + y22 .
Id´ee : Prendre la diff´erence de deux membres et appliquer une formule de binˆ
ome.
Corrig´
e. D’abord notons que x1 + x2 = y1 + y2 est ´equivalente `
a x2 − y2 =
−(x1 − y1 ). On a
x21 + x22 − y12 + y22 = x21 − y12 + x22 − y22
= (x1 − y1 )(x1 + y1 ) + (x2 − y2 )(x2 + y2 )
= (x1 − y1 )(x1 + y1 − x2 − y2 )
= (x1 − y1 )(x1 − x2 + y1 − y2 )
Par l’hypoth`ese les deux facteurs sont non-n´egatifs (≥ 0) d’o`
u l’affirmation. Pour
plus d’informations sur l’in´egalit´e de Karamata (Jovan Karamata, 1902-1967)
voir le livre ”Inequalities”, E. Beckenbach et R. Bellmann, Springer, 1965 ou la
page sur wikip´edia : http://en.wikipedia.org/wiki/Karamata’s_inequality
3. Au-del`
a des enjeux mondiaux : l’infini. Supposons que l’univers est infini,
homog`ene et isotrope en tout temps au sens suivant : les ´etoiles d’une luminosit´e
isotrope plus grande que L > 0 sont uniform´ement r´eparties. Autrement, dit
dans chaque secteur du ciel le nombre d’´etoiles `
a distance inf´erieure de r est
proportionnel `
a r3 . On sait que la luminosit´e observ´ee (le flux lumineux re¸cu)
est inversement proportionnelle du carr´e de la distance. Le ciel est noir la nuit.
En d´eduire une contradiction.
Corrig´
e. L’exercice est une version simplifi´ee du paradoxe d’Olbers (Heinrich
Olbers 1758-1840, Astronome et m´edecin) car dans les hypoth`eses l’univers est
statique et les ´etoiles existent en tout temps (donc on n’utilise pas que la vitesse
de propagation c est finie). Alors, argumentons dans ce mod`ele : si pour tout
r > 0 le nombre d’´etoiles `
a distance inf´erieure de r est Cr3 pour une constante
C > 0, alors le flux lumineux re¸cu de chaque est plus grand kLr−2 pour une
constante k > 0 ( c’est le flux lumineux re¸cu si l’´etoile ´etait `
a la distance r). Le
flux lumineux re¸cu total est donc kCLr. Comme r est arbitrairement grand il
est de mˆeme kCLr d’o`
u la contradiction avec le fait que le ciel est noir la nuit.
Pour une discussion plus approfondie voir http ://prof.planck.fr/article383.html
(le site fran¸cais du satellite ”Planck”)
4. Nombres : intervalles et entiers. Pour b > a ≥ 0 soit Na,b le nombre
d’entiers naturels dans l’intervalle [a, b] := {x : x r´eel et a ≤ x ≤ b}. Donner
Na,b et montrer que b − a − 1 ≤ Na,b ≤ b − a + 1.
Corrig´
e. Il est utile (mais pas indispensable) d’introduire la partie enti`ere d’un
nombre r´eel x que l’on note [x] et qui v´erifie
x − 1 < [x] ≤ x.
Autrement dit, la partie enti`ere de x est le premier entier en-dessous de x si x
n’est pas entier. On distingue deux cas :
(a) Si a est un entier, alors [a] ∈ [a, b]. De plus, [b] ∈ [a, b] puisque [a] =
a ≤ [b] ≤ b. Noter que [b] + 1 ∈
/ [a, b] car [b] + 1 > b. Il en suit que
Na,b = [b] − [a] + 1.
(b) Si a n’est pas un entier, alors [a] ∈
/ [a, b]. Si [b] = [a], alors Na,b = 0. Si
[b] > [a], alors [a]+1 ∈ [a, b] puisque a < [a]+1 ≤ [b] ≤ b. Par ces in´egalit´es
il suit ´egalement [b] ∈ [a, b] d’o`
u Na,b = [b] − [a].
Alors,
{
[b]-[a]+1, si a est un entier ;
Na,b =
[b]-[a],
si a n’est pas un entier.
En utilisant les in´egalit´es pour la partie enti`ere il en suit dans les deux cas que
b − a − 1 < Na,b ≤ b − a + 1.
Ce r´esultat signifie que le nombre d’entiers dans un intervalle [a, b] est essentiellement donn´e par la longueur b − a de l’intervalle (si b − a est grand) :
1−
1
Na,b
1
<
≤1+
.
b−a
b−a
b−a
Remarque : Ce genre d’estimations jouent un rˆ
ole important dans la physique quantique (estimer le nombre d’´etats li´es) ou en th´eorie des nombres, par
exemple estimer le nombre des points (x, y) avec x, y des entiers dans un disque
de rayon R.
5. Nombres et Astronomie : la p´
eriode synodique. Deux objets A et B
tournent `
a vitesse constante dans le mˆeme sens autour du centre O sur des
cercles de rayon rA < rB avec des p´eriodes TA < TB . Au temps t = 0 ils se
trouvent sur une droite dans l’ordre OAB.
(a) Donner le temps T ∗ > 0 (dit la p´eriode synodique) qu’ils sont de nouveau
sur une droite dans l’ordre OAB pour la premi`ere fois.
Corrig´
e. Les vitesses angulaires ωA , ωB sont constantes et ωA TA = 2π =
ωB TB . La p´eriode synodique T ∗ est la solution du syst`eme (voir le dessin) :
T ∗ ωA = 2π + α, T ∗ ωB = α car A a fait un tour de plus. Alors,
T∗ =
TB TA
.
TB − TA
(b) Si TA , TB sont des entiers positifs quand ils sont pour la premi`ere fois dans
la mˆeme position de O, A, B qu’au temps t = 0 ?
Corrig´
e. Soit T ce temps. Alors, il existe des entier positifs nA , nB tels
que T = nA TA = nB TB . T est le plus petit commun multiple de TA et TB .
(c) Pour TA , TB des r´eels positifs donner un exemple qu’ils ne sont plus jamais
dans position initiale.
TA
Corrig´
e. Si
n’est pas un nombre rationnel, alors il n’y a pas d’entiers
TB
nA , nB tels que nA TA = nB TB .
(d) Les mˆemes questions si A et B tournent dans le sens oppos´e.
Corrig´
e. Dans ce cas la p´eriode synodique T ∗ est la solution du syst`eme
(voir le dessin) : T ∗ ωA = 2π − α, T ∗ ωB = α. Alors,
T∗ =
TB TA
TB + TA
ou
1
1
1
=
+
.
T∗
TA
TB
Pour les autres questions les r´eponses sont les mˆemes.