Transcript RAPPORT D`ACTIVITÉS 2014

Lyc´
ee St-Joseph de Tivoli
Premi`
ere S
Octobre 2014
Corrig´
e du DL n°1 de Math´
ematiques
- Second degr´e -
On note F : x ∈ R 7→ x2 − 10x − 22. On donne le programme suivant :
1. Expliquons le fonctionnement de ce programme et la valeur qu’il renvoie.
֒→ La boucle For fait prendre `a la variable I tous les entiers naturels de 1 a` 99.
֒→ Pour chacun de ces entiers I :
I
, c-`a-dle chiffre de dizaines de I ;
10
◦ on stocke dans la variable U la quantit´e I − 10 × D, c-`a-dle chiffre des unit´es de I.
◦ on stocke dans la variable D la partie enti`ere de
֒→ Puis, deux cas se pr´esentent :
◦ si D = 0, c-`a-dsi I est un chiffre, la variable P prend la valeur U (c-`a-dI) ;
◦ sinon (c-`a-dsi I ∈ [ 10 ; 99 ]), la variable P prend la valeur D × U.
À ette étape de l'algorithme, on peut alors onstater que, dans tous les as, la variable P ontient
le produit des hires qui omposent le nombre I .
֒→ Finalement, on teste (via une boucle If) si F (I) est ´egal `a P , c-`a-dsi l’image de I par le trinˆome F
est ´egal au produit des chiffres de I. Si tel est le cas, l’algorithme affiche l’entier I correspondant.
En r´esum´e, cet algorithme renvoie les ´eventuels entiers compris entre 1 et 99 dont les images par F sont
´egales au produit des chiffres qui constituent ces entiers.
2. Le programme propos´e est ´ecrit en langage TI. On peut, `a l’aide des documents disponibles sur
http://tivomaths.free.fr/, le traduire pour les calculatrices Casio.
De fa¸con plus g´en´erale, voici la traduction de ce programme en algorithme (dans le langage naturel).
1
pour I allant de 1 `a 99 faire
2
D prend la valeur : partie enti`ere de
3
U prend la valeur I − 10 × D
si D = 0 alors
P prend la valeur U
sinon
P prend la valeur D × U
4
5
6
7
8
9
I
10
si I 2 − 10 × I − 22 = P alors
Afficher I
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3. En ex´ecutant le programme ´etudi´e, on constate que la calculatrice renvoie l’entier 12. On peut, dans un
premier temps, v´erifier la validit´e de ce r´esultat. En effet, on a :
F (12) = 2 et le produit des chiffres de 12 est aussi ´egal a` 2.
Mieux que de nous donner une solution, le programme nous assure que 12 est le seul entier de [ 1 ; 99 ]
dont l’image par F est ´egale au produit de ses chiffres.
Prouvons ce r´esultat.
Consid´erons le trinˆome F : x ∈ R 7→ x2 − 10x − 22.
´
• Etude
des ´
eventuelles racines de F . Le discriminant de F est donn´e par ∆ = 102 + 4 × 22 =
Ä √ ä2
2 47 > 0. C’est donc que F admet deux racines r´eelles, `a savoir :
√
√
α = 5 − 47 ≈ −1, 86 et β = 5 + 47 ≈ 11, 9.
b
= 5. Le cœfficient du terme de degr´e 2 de F ´etant
2a
positif, on sait alors que F est strictement d´ecroissante sur ] −∞ ; 5 ] et strictement croissante sur
[ 5 ; +∞ [.
Regroupons les r´esultats pr´ec´edents dans un tableau de variation. On obtient :
´
• Etude
des variations de F .
On a −
Raisonnons par disjonction de cas.
֒→ Puisque F est strictement d´ecroissante sur ] −∞ ; 5 ], on a :
0 6 x 6 5 ⇒ F (0) > F (x) > F (5)
⇒ −47 6 F (x) 6 −22
Ainsi, l’image par F d’un r´eel de [ 0 ; 5 ] est n´egative. Puisque le produit des chiffres d’un entier
non nul est positif, le probl`eme ne peut avoir de solution situ´ee dans [ 0 ; 5 ]. En d’autres termes,
les nombres 1 ; 2 ; 3 ; 4 et 5 ne sont pas solutions du probl`eme.
֒→ Puisque F est strictement croissante sur [ 5 ; +∞ [, on a :
5 6 x 6 β ⇒ F (5) 6 F (x) 6 F (β)
⇒ −47 6 F (x) 6 0
Ainsi, l’image par F d’un r´eel de [ 5 ; β ] est n´egative. Puisque le produit des chiffres d’un entier
non nul est positif, le probl`eme ne peut avoir de solution situ´ee dans [ 5 ; β ]. En d’autres termes,
les nombres entiers situ´es dans [ 5 ; 11 ] ne sont pas solutions du probl`eme.
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֒→ Dressons alors un tableau de valeurs de F (obtenu `a l’aide de la calculatrice) pour x allant de 12
a` 17 (avec un pas ´egal `a 1). On obtient :
x = du
12
13
14
15
16
17
F (x)
2
17
34
53
74
97
d×u
2
3
4
5
6
7
Ce tableau nous apprend que 12 est la seule solution au probl`eme situ´ee dans l’intervalle [ 12 ; 17 ].
֒→ Enfin, expliquons que le probl`eme n’a aucune solution situ´ee dans ] 17 ; +∞ [.
Puisque F est strictement croissante sur [ 5 ; +∞ [, on a :
17 < x ⇒ F (17) < F (x)
⇒ 97 < F (x)
Ainsi, l’image par F d’un r´eel de ] 17 ; +∞ [ est sup´erieure `a 97. Puisque le produit des chiffres
d’un entier situ´e dans [ 1 ; 99 ] est inf´erieur ou ´egal `a 9 × 9 = 81, le probl`eme ne peut avoir de
solution situ´ee dans ] 17 ; +∞ [. En d’autres termes, les nombres entiers situ´es dans ] 17 ; +∞ [ ne
sont pas solutions du probl`eme.
Conclusion. Finalement, apr`es cette ´etude men´ee par disjonction de cas, on peut conclure que 12 est
la seule solution au probl`eme pos´e.
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