Transcript La conjecture de Waldhausen est démontrée!

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PETITS ECARTS
ENTRE NOMBRES PREMIERS ET POLYMATH
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[16] Y. Motohashi, J. Pintz, A smoothed GPY sieve, Bull. Lond. Math. Soc. 40 (2008), no 2,
298-310.
[17] A. de Polignac, Recherches nouvelles sur les nombres premiers, Comptes Rendus Acad. Sci.
Paris 29 (1849), 397-401, Rectification : ibid. pp.738-739.
[18] D.H.J. Polymath, New equidistribution estimates of Zhang type, and bounded gaps between
primes, http://arxiv.org/abs/1402.0811, (2014).
[19] T. S. Trudgian, A poor man’s improvement on Zhang’s result : there are infinitely many
prime gaps less than 60 million, pr´
epublication, voir http://arxiv.org/abs/1305.6369,
(2013).
[20] Y. Zhang, Bounded gaps between primes, `
a paraˆıtre dans Annals of Mathematics, (2013).
La conjecture de Waldhausen est d´
emontr´
ee !
Nicolas Bergeron1
1. L’´
enonc´
e de la conjecture de Waldhausen
Pour s’attaquer `a la classification des surfaces ferm´ees (compactes, sans bord et
orientables) `a hom´eomorphisme pr`es, une mani`ere de proc´eder est de les simplifier
progressivement en les d´ecoupant le long de courbes jusqu’`a obtenir des polygˆ
ones
comme sur la figure 1.
Fig. 1. D´ecoupage du tore
La sph`ere est la seule surface ferm´ee qui est simplement connexe. Sur une
surface S ferm´ee qui n’est pas hom´eomorphe `a la sph`ere, on peut donc trouver une
courbe plong´ee et incompressible, c’est-`a-dire qui repr´esente un ´el´ement non trivial
du groupe fondamental de la surface. D´ecouper S selon cette courbe lui enl`eve
une partie int´eressante de sa topologie et il est connu depuis plus de 100 ans que
l’on peut it´erer le processus jusqu’`a obtenir une collection finie de polygones. Au
final, la surface S est hom´eomorphe `a la surface d’une bou´ee `a g places. L’entier g
caract´erise compl`etement la surface S `a hom´eomorphisme pr`es ; on l’appelle le
genre de la surface.
1
Institut de Math´
ematiques de Jussieu, universit´
e Pierre et Marie Curie, Paris, France.
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Distinguer les vari´et´es de dimension 3 `a hom´eomorphisme pr`es est beaucoup
plus compliqu´e : une courbe sur une surface est toujours hom´eomorphe `a un cercle
alors qu’une vari´et´e de dimension 3 peut a priori ˆetre d´ecoup´ee selon des surfaces
de genres diff´erents. On commence naturellement par d´ecouper les vari´et´es de dimension 3 selon des sph`eres qui ne bordent par de boule. Si une telle sph`ere existe
la vari´et´e se d´ecompose en une somme connexe, c’est-`a-dire qu’elle est obtenue
en recollant selon leur bord deux vari´et´es `a bord, qui ne sont pas des boules mais
ont pour bord une sph`ere. A contrario si la vari´et´e ne peut pas ˆetre d´ecompos´ee
en somme connexe, elle est dite irr´eductible. La classification des vari´et´es de dimension 3 `a hom´eomorphisme pr`es se r´eduit en fait assez vite `a la classification de
celles d’entre elles qui sont irr´eductibles.
Au d´ebut des ann´ees 60 (du si`ecle pr´ec´edent) Wofgang Haken [7] a montr´e que
pour classifier les vari´et´es irr´eductibles on peut proc´eder par d´ecoupage, comme
dans le cas des surfaces, `a condition de pouvoir d´emarrer le processus. Cela motive
la d´efinition suivante.
D´
efinition 1.1. Soit V une vari´et´e de dimension 3, lisse, compacte, connexe,
orientable, sans bord et irr´eductible. La vari´et´e V est dite de Haken si elle contient
une surface plong´ee Σ de genre g > 1 telle que l’inclusion induise une injection au
niveau des groupes fondamentaux.
Une vari´et´e de Haken peut ainsi ˆetre d´ecoup´ee selon la surface Σ. On obtient une
vari´et´e de dimension 3 `a bord mais dont la « complexit´e topologique » a diminu´e.
Et comme dans le cas des surfaces, Haken montre que l’on peut it´erer le processus
jusqu’`a obtenir une collection finie de poly`edres. On peut enfin reconstruire la
vari´et´e V en recollant ce qu’on a d´ecoup´e.
La morale de cette histoire est que les vari´et´es de Haken sont des vari´et´es que
l’on comprend bien. Friedhelm Waldhausen montre d’ailleurs que deux vari´et´es de
Haken sont hom´eomorphes si et seulement si leur groupes fondamentaux sont isomorphes. Reste que de nombreuses vari´et´es ne sont pas de Haken. Pour pouvoir se
ramener aux vari´et´es de Haken, Waldhausen [12] a n´eanmoins propos´e la conjecture
suivante.
Conjecture 1.2 (Conjecture de Waldhausen). Soit V une vari´et´e de dimension 3,
lisse, compacte, connexe, orientable, sans bord et irr´eductible. Si le groupe fondamental de V est infini, alors V poss`ede un revˆetement fini qui est une vari´et´e de
Haken.
Un revˆetement fini de V est une vari´et´e de dimension 3 compacte que l’on peut
« enrouler » autour de V un nombre fini de fois sans la d´echirer et sans faire de plis,
comme lorsque l’on enroule un cercle plusieurs fois autour d’un autre. Une autre
mani`ere d’´enoncer la conjecture consiste aussi `a dire que le groupe fondamental
de V contient un sous-groupe d’indice fini qui est isomorphe au groupe fondamental
d’une vari´et´e de Haken.
Depuis l’´enonc´e de cette conjecture, l’´etude de la topologie des vari´et´es de dimension 3 a connu de grands bouleversements : William Thurston [11] [5] a propos´e
de relier topologie et g´eom´etrie `a travers sa « conjecture de g´eom´etrisation ». En
2002 celle-ci est d´emontr´ee par Grigori Perelman : une vari´et´e de dimension 3
compacte peut ˆetre canoniquement d´ecoup´ee en un nombre fini de morceaux et
chacun de ces morceaux peut naturellement ˆetre munie d’une des « huit g´eom´etries
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de Thurston ». Trois de ces g´eom´etries sont particuli`erement importantes car localement homog`enes et isotropes. Ce sont les g´eom´etries `a courbure constante :
la g´eom´etrie euclidienne (ou plate), de courbure constante ´egale `a 0, qui nous est
famili`ere, et dont un mod`ele est l’espace euclidien R3 . Mais aussi la g´eom´etrie
sph´erique, version tri-dimensionnelle de la g´eom´etrie de notre plan`ete, qui est de
courbure constante ´egale `a +1 et dont un mod`ele est l’hypersph`ere S3 . Et enfin la g´eom´etrie hyperbolique, de courbure constante ´egale `a −1, la plus riche, la
plus belle mais aussi la plus myst´erieuse, dont un mod`ele est l’espace hyperbolique H3 [9]. La gravure 2 permet de se repr´esenter son analogue bi-dimensionnel,
le plan hyperbolique, tel qu’un observateur le verrait `a travers une lentille qui aurait
tendance `a ´ecraser de plus en plus les distances entre les objets proches du bord.
Dans le plan hyperbolique lui-mˆeme les anges, et les d´emons, font tous la mˆeme
taille.
Fig. 2. Anges et d´emons par Maurits Cornelis Escher
Une vari´et´e V de dimension 3 est dite euclidienne, sph´erique ou hyperbolique,
si V est localement model´ee sur R3 , S3 ou H3 . Autrement dit, si V est munie
d’une m´etrique riemannienne `a courbure constante ´egale `a 0, +1 ou −1.
Les cons´equences du th´eor`eme de Perelman sont bien sˆur nombreuses, avec en
premier lieu la d´emonstration de la conjecture de Poincar´e. Pourtant la conjecture
de Waldhausen restait ouverte pour les vari´et´es hyperboliques montrant bien que
la topologie de celles-ci restait tr`es myst´erieuse.
Suite aux travaux de (principalement) Jeremy Kahn, Vladimir Markovic, Dani
Wise et Ian Agol, la situation a radicalement chang´e ces cinq derni`eres ann´ees,
avec pour point culminant la d´emonstration par Agol [1] de la conjecture de Waldhausen :
Th´
eor`
eme 1.3 (Agol). Soit V une vari´et´e hyperbolique de dimension 3, compacte
et sans bord. Alors V poss`ede un revˆetement fini qui est une vari´et´e de Haken.
Un aspect surprenant de la d´emonstration d’Agol est qu’elle prouve bien plus :
son th´eor`eme g´en´eral r´epond en fait `a la plupart (toutes ?) des questions que l’on
se posait sur la structure des groupes fondamentaux des vari´et´es hyperboliques
de dimension 3. Dans la suite de ce texte on tˆache d’expliquer le contexte des
bouleversements qui ont conduit `a la d´emonstration de ce th´eor`eme, pour plus de
d´etails on pourra se reporter au texte [2] de mon r´ecent s´eminaire Bourbaki.
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2. Construire des surfaces
En 2009, le myst`ere autour de la conjecture de Waldhausen a commenc´e `a
s’´eclaircir avec la d´emonstration du th´eor`eme suivant.
Fig. 3. Une courbe incompressible mais immerg´ee
Th´
eor`
eme 2.1 (Kahn-Markovic [8]). Soit V une vari´et´e hyperbolique de dimension
3, compacte et sans bord. Alors V contient une surface immerg´ee Σ de genre g > 2
telle que l’inclusion induise une injection au niveau des groupes fondamentaux.
La figure 3 illustre le th´eor`eme (avec une dimension de moins !). La diff´erence
entre l’´enonc´e du th´eor`eme de Kahn et Markovic et celui de la conjecture de
Waldhausen semble bien minime : dans le th´eor`eme la surface est immerg´ee dans la
conjecture elle est plong´ee. Cette diff´erence est pourtant cruciale. Il existe d’ailleurs
beaucoup de vari´et´es hyperboliques de dimension 3 qui ne sont pas de Haken. On
peut toutefois esp´erer d´esingulariser la surface Σ en passant `a un revˆetement fini,
comme l’illustre la figure 4.
Fig. 4. Un revˆetement de degr´e 2 de la figure 3 o`u les deux
´el´evations de la courbe immerg´ee sont plong´ees
Grˆace aux travaux de Peter Scott, on dispose d’ailleurs d’un crit`ere alg´ebrique
sur le groupe fondamental de V qui assure qu’une surface obtenue par le th´eor`eme
de Kahn et Markovic peut ˆetre « d´esingularis´ee » dans un revˆetement fini. Cette
propri´et´e porte le nom barbare de QFERF. En particulier, si V est une vari´et´e
hyperbolique de dimension 3, compacte et sans bord dont le groupe fondamental
est QFERF, la vari´et´e V v´erifie la conjecture de Waldhausen.
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Depuis une quinzaine d’ann´ees Dani Wise ´etudie syst´ematiquement ce probl`eme
de « d´esingularisation » dans un revˆetement fini. Il a ´et´e naturellement amen´e `a
d´eplacer le probl`eme dans le contexte plus rigide des complexes cubiques.
3. Complexes cubiques
D´
efinition 3.1. Un complexe cubique est un complexe cellulaire obtenu en recollant des cubes [−1, 1]n le long de leurs faces par des isom´etries.
Fig. 5. Un complexe cubique CAT(0) avec un de ses hyperplans
Les complexes cubiques sont tr`es commodes, on dispose par exemple d’une notion combinatoire de « courbure n´egative » : l’espace m´etrique obtenu en munissant
chaque cube de sa distance euclidienne est dit `a courbure n´egative ou nulle si « d`es
que l’on voit un coin de cube (par exemple trois carr´es adjacents partageant un
sommet) alors le cube tout entier est pr´esent ». Enfin, on appelle complexe cubique
CAT(0) tout revˆetement universel d’un complexe cubique `a courbure n´egative ou
nulle.
Il faut penser aux complexes cubiques CAT(0) comme `a des g´en´eralisations
des arbres : couper une arˆete en son milieu s´epare un arbre en deux composantes
distinctes. Les complexes cubiques CAT(0) v´erifient la mˆeme propri´et´e `a condition
de remplacer les milieux d’arˆetes par les hyperplans.
D´
efinition 3.2. Soit C un complexe cubique CAT(0). On appelle hyperplan de C
un sous-espace connexe de C dont l’intersection avec chaque cube de C consiste
soit en un unique cube m´edian, c’est-`a-dire un sous-espace de [−1, 1]n obtenu en
fixant l’une des coordonn´ees ´egale `a 0, soit en l’ensemble vide.
On appelle plus g´en´eralement hyperplan d’un complexe cubique `a courbure
n´egative ou nulle la projection d’un hyperplan de son revˆetement universel.
Contrairement `a ce qui se passe avec les vari´et´es hyperboliques, dans un complexe cubique on a gratuitement des « hypersurfaces » : les hyperplans. On peut
donc se concentrer sur la mani`ere dont ceux-ci s’(auto-)intersectent.
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Lorsque certaines pathologies d’hyperplans sont ´evit´ees Fr´ed´eric Haglund et Dani
Wise [6] d´emontrent que l’on peut « d´esingulariser » tout sous-complexe localement convexe. Ils montrent en fait que le groupe fondamental G du complexe
cubique a la propri´et´e QFERF ´evoqu´ee plus haut. Mieux, ils d´emontrent que le
groupe G a une liste impressionnante d’autres propri´et´es. Ainsi G est lin´eaire sur
Z, poss`ede un sous-groupe d’indice fini qui est ordonnable,... Par la suite Dani Wise
est progressivement parvenu `a r´eduire la liste des pathologies d’hyperplans `a ´eviter.
Lorsque le groupe fondamental du complexe cubique est suppos´e « hyperbolique »,
au sens de Gromov, ce qui est par exemple le cas des groupes fondamentaux de
vari´et´es hyperboliques compactes, Wise d´emontre le th´eor`eme suivant.
Th´
eor`
eme 3.3 (Wise [13]). Soit X un complexe cubique compact `a courbure
n´egative ou nulle dont tous les hyperplans sont plong´es. Supposons que le groupe
fondamental G de X est un groupe hyperbolique au sens de Gromov. Alors le groupe
G a la propri´et´e QFERF, est lin´eaire sur Z, poss`ede un sous-groupe d’indice fini
qui est ordonnable,...
On peut maintenant ´enoncer le th´eor`eme g´en´eral d’Agol.
Th´
eor`
eme 3.4 (Agol [1]). Soit X un complexe cubique compact `a courbure
n´egative ou nulle. Si le groupe fondamental G de X est un groupe hyperbolique
au sens de Gromov, alors X poss`ede un revˆetement fini dont tous les hyperplans
sont plong´es.
Ce r´esultat ´etait conjectur´e par Wise. La d´emonstration d’Agol fait d’ailleurs un
usage essentiel de r´esultats partiels profonds de Wise.
On notera l’analogie avec la conjecture de Waldhausen. Le cadre des complexes
cubiques et des hyperplans est toutefois bien pratique. En effet, les hyperplans sont
tr`es rigides. Il n’y a par exemple qu’un moyen de continuer un hyperplan apr`es qu’il
a p´en´etr´e un cube.
4. Vers les vari´
et´
es hyperboliques... et au-del`
a?
Le lien entre le th´eor`eme d’Agol et la conjecture de Waldhausen est fourni par
une construction g´en´erale de Michah Sageev [10]. Dans le cas qui nous occupe,
cette construction nous a permis avec Wise [3], et ind´ependamment Guillaume
Dufour [4], de d´eduire du th´eor`eme de Kahn et Markovic le th´eor`eme suivant.
Th´
eor`
eme 4.1. Soit V une vari´et´e hyperbolique de dimension 3, compacte et sans
bord. Alors le groupe fondamental de V est isomorphe au groupe fondamental d’un
complexe cubique compact `a courbure n´egative ou nulle.
Il d´ecoule donc des th´eor`emes d’Agol et Wise que le groupe fondamental de V
a la propri´et´e QFERF (mais aussi qu’il est lin´eaire sur Z, poss`ede un sous-groupe
d’indice fini qui est ordonnable,...). En particulier, la conjecture de Waldhausen est
d´emontr´ee !
Pour conclure notons que de mani`ere surprenante le th´eor`eme d’Agol a pour
corollaire le th´eor`eme suivant qui r´epond positivement `a une question de Thurston.
Th´
eor`
eme 4.2 (Agol). Soit V une vari´et´e hyperbolique de dimension 3, compacte
et sans bord. Alors V poss`ede un revˆetement fini qui fibre sur le cercle.
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Autrement dit, la vari´et´e V poss`ede un revˆetement fini qui est diff´eomorphe au
quotient d’un produit Σ × [0, 1], o`u Σ est une surface ferm´ee de genre g > 2, par
la relation d’´equivalence
(x, 0) ∼ (f (x), 1) (x ∈ Σ),
o`
u f est un diff´eomorphisme de Σ. Le th´eor`eme d’Agol r´eduit donc essentiellement2
l’´etude des vari´et´es hyperboliques de dimension 3 `a un probl`eme de dynamique en
dimension 2, `a savoir l’´etude des diff´eomorphismes de surfaces.
Pour magnifique que soit ce r´esultat on prendra toutefois garde au fait qu’en
pratique c’est le th´eor`eme 3.4 qui a de nombreuses cons´equences.3 En d´evoilant
une structure interne cach´ee des vari´et´es de dimension 3, le th´eor`eme 3.4 a en
effet permis de r´esoudre toutes les questions qui restaient ouvertes dans la liste
propos´ee par Thurston [11] et qui guide depuis plus de 30 ans les recherches des
topologues en dimension 3. C’est la fin d’une `ere mais aussi le d´ebut d’un nouvel
axe de recherche. Il s’agit maintenant de mettre en ´evidence une structure cubique
similaire parmi d’autres espaces et d’en r´ecolter les fruits. Le nouveau mot d’ordre
est donc :
CUBULER !
5. R´
ef´
erences
[1] Ian Agol, The virtual Haken conjecture, Doc. Math. 18 (2013), 1045-1087, With an appendix
by Agol, Daniel Groves, and Jason Manning. MR 3104553
[2] Nicolas Bergeron, Toute vari´
et´
e de dimension 3 compacte et asph´
erique est virtuellement de
Haken (d’apr`
es Ian Agol et Daniel T. Wise), S´
eminaire Bourbaki. 66`
eme ann´
ee, 2013-2014,
Exp. No 1078.
[3] Nicolas Bergeron and Daniel T. Wise, A boundary criterion for cubulation, Amer. J. Math.
134 (2012), no 3, 843-859. MR 2931226
[4] Guillaume Dufour, Cubulations de vari´
et´
es hyperboliques compactes, (2012), Th`
ese de l’Universit´
e Paris Sud.
´
[5] Etienne
Ghys « G´
eom´
etriser l’espace de Gauss `
a Perelman », Images des maths, http:
//images.math.cnrs.fr/Geometriser-l-espace-de-Gauss-a.html
[6] Fr´
ed´
eric Haglund and Daniel T. Wise, Special cube complexes, Geom. Funct. Anal. 17
(2008), no 5, 1551-1620. MR 2377497 (2009a :20061)
¨
[7] Wolfgang Haken, Uber
das Hom¨
oomorphieproblem der 3-Mannigfaltigkeiten. I, Math. Z. 80
(1962), 89-120. MR 0160196 (28 #3410)
[8] Jeremy Kahn and Vladimir Markovic, Immersing almost geodesic surfaces in a closed hyperbolic three manifold, Ann. of Math. (2) 175 (2012), no 3, 1127-1190. MR 2912704
[9] Jos Leys « Une chambre hyperbolique », Images des maths, http://images.math.cnrs.
fr/Une-chambre-hyperbolique.html
[10] Michah Sageev, Ends of group pairs and non-positively curved cube complexes, Proc. London
Math. Soc. (3) 71 (1995), no 3, 585-617. MR 1347406 (97a :20062)
[11] William P. Thurston, Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry,
Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 6 (1982), no 3, 357-381. MR 648524 (83h :57019)
[12] Friedhelm Waldhausen, On irreducible 3-manifolds which are sufficiently large, Ann. of Math.
(2) 87 (1968), 56-88. MR 0224099 (36 #7146)
[13] Daniel T. Wise, The structure of groups with a quasiconvex hierarchy, 1-200, Preprint 2009.
2
3
Plus pr´
ecis´
ement, `
a un revˆ
etement fini pr`
es.
Cela n’est peut-ˆ
etre pas si surprenant : la dynamique en dimension 2 peut ˆ
etre tr`
es compliqu´
ee !
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