Transcript Janvier 2014

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L G
Janvier 2014
MECA0003-1 - M E´ CANIQUE R ATIONNELLE
´
Prof. Eric
J.M.DELHEZ
Dur´ee de l’´epreuve : 4h.
R´epondez aux diff´erentes questions sur des feuilles s´epar´ees.
Indiquez sur chacune de vos feuilles vos nom, pr´enom et num´ero d’ordre.
Rendez le carton avec votre num´ero d’ordre en mˆeme temps que vos copies.
Question I
On consid`ere – en trois e´ tapes – le mouvement d’un syst`eme constitu´e d’un demi-disque homog`ene
de masse M et de rayon a et d’un point mat´eriel P de masse m.
Le solide repose sur un plan horizontal rugueux.
Le coefficient de frottement entre le demi-disque
et le plan vaut µ. Le point mat´eriel glisse sans
frottement sur la face plane du solide.
P
Le mouvement a lieu dans un plan vertical.
x
A
On rep`ere le mouvement du solide par la
coordonn´ee horizontale x du centre A du disque
C
correspondant et l’angle θ entre la verticale et l’axe
θ
AC passant par le centre d’inertie C du solide. On
suppose |θ| ≤ π/2. On note e´ galement kACk =
h et JC le moment d’inertie du solide pour la
rotation autour d’un axe perpendiculaire au plan du
mouvement passant par son centre d’inertie.
b
b
1. Dans un premier temps, on consid`ere uniquement le demi-disque, sans l’action du point mat´eriel. On
suppose que ce solide roule sans glisser sur le plan horizontal.
i. Relevez toutes les forces agissant sur le solide et citez-en les caract´eristiques principales
(point d’application, direction, force appliqu´ee ou force de liaison, force conservative).
ii. Montrez que le roulement sans glissement du solide sur le plan horizontal se traduit par
l’´egalit´e
x˙ + aθ˙ = 0
iii. D´eterminez une int´egrale premi`ere scalaire du mouvement du solide et pr´ecisez-en
l’interpr´etation physique.
iv. Montrez que les petites oscillations du solide autour de la position verticale inf´erieure (θ = 0)
sont caract´eris´ees par une pulsation
s
Mgh
ω0 =
M(a − h)2 + JC
v. Sous l’hypoth`ese de petites oscillations, d´eterminez l’amplitude limite des oscillations du
solide compatibles avec l’hypoth`ese de roulement sans glissement.
vi. Sachant que le tenseur central d’inertie d’un disque homog`ene de masse M et de rayon R est
donn´e par
1
JC = M R2 (I + ee)
4
o`u e d´esigne l’axe de sym´etrie de r´evolution du disque, calculez le moment d’inertie JC du
demi-disque en fonction de M, a et h.
2. Dans un deuxi`eme temps, on consid`ere le syst`eme total constitu´e du demi-disque et du point mat´eriel
mais on suppose que m ≪ M de sorte que le mouvement du solide n’est pas influenc´e par la
pr´esence du point mat´eriel. Dans ce cas, on e´ tudie le mouvement du point mat´eriel par rapport au
solide en supposant que le solide oscille selon
θ(t) = θ⋆ sin ω0t
et qu’il roule sans glisser sur le plan horizontal.
i. Relevez toutes les forces agissant sur le point mat´eriel et citez-en les caract´eristiques
principales (direction, force appliqu´ee ou force de liaison, force conservative).
ii. D´eterminez la loi de variation de x(t).
´
iii. Ecrivez
l’´equation diff´erentielle vectorielle du mouvement du point mat´eriel par rapport au
solide.
iv. D´eterminer la loi du mouvement du point P par rapport au solide sous l’hypoth`ese de petites
oscillations du solide (i.e. en lin´earisant les e´ quations par rapport a` θ⋆ ). On supposera que le
point mat´eriel est abandonn´e initialement en A sans vitesse relative par rapport au solide.
3. Dans un troisi`eme temps, on consid`ere le probl`eme complet en e´ tudiant simultan´ement le mouvement
du solide et celui du point mat´eriel ainsi que leur interaction. On suppose que le demi-disque roule
sans glisser sur le plan horizontal.
i. Relevez toutes les forces agissant sur le solide et sur le point mat´eriel et citez-en les
caract´eristiques principales (point d’application, direction, force appliqu´ee ou force de
liaison, force conservative).
ii. D´eterminez une int´egrale premi`ere scalaire et donnez-en l’interpr´etation physique.
´
iii. Ecrivez
des e´ quations diff´erentielles scalaires permettant d’´etudier le mouvement du syst`eme.
Justifiez que celles-ci sont en nombre n´ecessaire et suffisant pour d´eterminer compl`etement
le mouvement du demi-disque et du point.
Question II
i. D´emontrez la relation
HO = mc ∧ c˙ + HC
pour un syst`eme de points mat´eriels en pr´ecisant la signification des diff´erentes grandeurs.
ii. D´emontrez en justifiant chacune des e´ tapes que, si on rapporte le moment cin´etique HC et l’´energie
cin´etique TC d’un solide a` un syst`eme d’axes centr´e au centre d’inertie et constitu´e d’axes parall`eles
a` des axes inertiaux, alors
˙ C = T˙C
ω·H
iii. D´efinissez bri`evement mais aussi compl`etement que possible (avec texte et, si n´ecessaire,
expressions math´ematiques et/ou dessin)
(a) les axes principaux d’inertie et les moments principaux d’inertie d’un solide ;
(b) les angles d’Euler ;
(c) la pr´ecession gyroscopique ;
(d) l’´equilibrage statique et dynamique d’un syst`eme tournant.
2
S OLUTION
Question I
1.
Ey
eθ
x
Ez
b
A
Ex
b
O
b
C
R
θ
b
Q
Mg
b
K
er
i. Les forces agissant sur le solide sont
• Mg : la force de pesanteur, force appliqu´ee conservative agissant au centre d’inertie C du solide
et dirig´ee verticalement vers le bas ;
• R = NEy + T Ex : la force de liaison exerc´ee par le plan horizontal sur le solide au point de
contact K (voir dessin).
ii. Le roulement sans glissement du solide sur le plan se traduit par l’´egalit´e de leurs vitesses au
niveau du point de contact K, soit
s˙K = 0
Consid´erons un point Q situ´e sur le pourtour du solide (voir dessin). On peut e´ crire
sQ = xEx + AQ
˙ z,
et, en prenant en compte le vecteur de Poisson du solide, θE
˙ z ∧ AQ
s˙Q = xE
˙ x + θE
Donc,
˙ z ∧ AK = xE
˙ z ∧ (−aEy ) = xE
˙ x
s˙K = xE
˙ x + θE
˙ x + θE
˙ x + aθE
et la condition de roulement sans glissement s’´ecrit
x˙ + aθ˙ = 0
(1)
iii. Le th´eor`eme de l’´energie cin´etique pour le solide, rapport´e a` des axes inertiaux centr´es en O, s’´ecrit
dVMg
dTO
= P O = Mg · s˙C + R · s˙ K = −
dt
dt
vu le caract`ere conservatif de la force de pesanteur et la condition de roulement sans glissement.
On obtient donc l’int´egrale premi`ere de conservation de l’´energie
TO +VMg = E
3
o`u E est l’´energie totale du solide et o`u
VMg = −Mgh cos θ
et
1
TO = Mk˙sC k2 + TC
2
avec
sC = xEx + her ,
et
TC =
˙ θ
s˙C = xE
˙ x + hθe
1
1 ˙
1 ˙2
˙
ω · JC · ω = θE
θ JC
z · JC · θEz =
2
2
2
Finalement, l’int´egrale premi`ere s’´ecrit
1
1
M(x˙2 + h2 θ˙ 2 + 2hx˙θ˙ cos θ) + JC θ˙ 2 − Mgh cos θ = E
2
2
iv. En tenant compte de (1), cette int´egrale premi`ere se transforme en
1 ˙2 2
JC
2
M θ a + h − 2ah cos θ +
− Mgh cos θ = E
2
M
(2)
En d´erivant par rapport au temps (2), on obtient
JC
M
2
2
¨
M θ a + h − 2ah cos θ +
+ θ˙ 2 (2ah sin θ) + Mgh sin θ = 0
M
2
La lin´earisation de cette e´ quation autour de la position verticale inf´erieure θ = 0 donne
JC
2
2
¨
M θ a + h − 2ah +
+ Mghθ = 0
M
soit
θ¨ + ω02 θ = 0
o`u
ω0 =
s
(3)
Mgh
M(a − h)2 + JC
La solution s’´ecrit alors
θ(t) = C1 cos ω0t +C2 sin ω0t
o`u C1 et C2 sont des constantes. Il s’agit bien d’oscillations de pulsation ω0 .
v. Le th´eor`eme de la quantit´e de mouvement e´ crit au point O donne
˙ O = G = Mg + R
N
o`u
˙ θ)
NO = M s˙C = M(xE
˙ x + hθe
D`es lors,le th´eor`eme s’´ecrit
¨ θ − hθ˙ 2 er ) = −MgEy + NEy + T Ex
M(xE
¨ x + hθe
Sous l’hypoth`ese des petites oscillations, le terme en θ˙ 2 peut eˆ tre n´eglig´e et on a, en tenant compte
de (1) et de (3),
θ¨ = −ω02 θ et x¨ = −aθ¨ = aω02 θ
On a donc
M(aω02 θEx − hω02 θ eθ ) = −MgEy + NEy + T Ex
soit, en projetant selon Ex et Ey ,
T = M(aω02 θ − hω02 θ cos θ) ∼ M(a − h)ω02 θ,
4
(θ → 0)
et
N = Mg − Mhω02θ sin θ ∼ Mg − Mhω02θ2 ∼ Mg,
(θ → 0)
Le roulement sans glissement est possible si |T |/|N| ≤ µ, c’est-`a-dire si
M(a − h)ω02 |θ|
≤µ
Mg
ou encore si
|θ| ≤ θmax =
µg
(a − h)ω02
qui constitue donc l’amplitude limite des oscillations du solide compatibles avec l’hypoth`ese de
roulement sans glissement.
vi. Le tenseur d’inertie du demi-disque de masse M par rapport au point A vaut la moiti´e de celui du
disque complet de masse 2M par rapport a` son centre d’inertie A, soit
1 1
1
2
JA =
(2M)a (I + ee) = Ma2 (I + ee)
2 4
4
Le moment d’inertie du demi-disque pour la rotation autour d’un axe perpendiculaire au plan du
mouvement passant par le point A est donc JA = Ma2 /2.
Le th´eor`eme de transport permet alors d’´ecrire
JC = JA − Mh2 = M
2.
a2 − 2h2
2
Ey
NP
eθ
r
x
Ez
b
P
A
Ex
b
O
b
C
θ
mg
er
i. Les forces agissant sur le point P sont
• mg : la force de pesanteur, force appliqu´ee conservative dirig´ee verticalement vers le bas ;
• NP = −NP er : la force de liaison exerc´ee par le solide sur le point dans la direction normale au
solide vu l’absence de frottement.
ii. Puisque le solide oscille selon
θ(t) = θ⋆ sin ω0t
et qu’il roule sans glisser sur le plan horizontal en v´erifiant (1), on a
x = −aθ + Ce = −aθ⋆ sin ω0t + Ce
o`u Ce est une constante qui d´epend des conditions initiales et du choix de la position du point O.
5
iii. L’´equation de Newton pour le point P s’´ecrit
m¨sP = mg + NP
o`u, si on introduit la coordonn´ee g´en´eralis´ee r mesurant la position de P par rapport a` A sur le
solide (voir dessin),
sP = xEx + reθ
˙ r
˙ x + r˙eθ − rθe
s˙P = xE
˙ r − r˙θe
˙ r − rθe
¨ r − rθ˙ 2 eθ
¨ x + r¨eθ − r˙θe
s¨P = xE
On a alors
¨ r ] = mg + NP
m[xE
¨ x + (¨r − rθ˙ 2 )eθ − (2˙rθ˙ + rθ)e
o`u
(4)


θ˙ = ω0 θ⋆ cos ω0t



θ¨ = −ω02 θ⋆ sin ω0t




x¨ = aω02 θ⋆ sin ω0t
soit
m[(¨r −rω02 θ2⋆ cos2 ω0t)eθ −(2˙rω0 θ⋆ cos ω0t −rω02 θ⋆ sin ω0t)er ] = mg+NP −maω02 θ⋆ sin ω0tEx (5)
iv. Projetant (5) sur eθ afin d’´eliminer la force de liaison inconnue, on obtient
m(¨r − rω02 θ2⋆ cos2 ω0t) = −mg sin θ − maω02 θ⋆ sin ω0t cos θ
Sous l’hypoth`ese de petites oscillations du solide, on peut n´egliger le terme en θ2⋆ et on a
cos θ = cos(θ⋆ sin ω0t) ∼ 1,
(θ⋆ → 0)
sin θ = sin(θ⋆ sin ω0t) ∼ θ⋆ sin ω0t,
(θ⋆ → 0)
D`es lors,
m¨r = −mgθ⋆ sin ω0t − maω02 θ⋆ sin ω0t
ou encore
r¨ = −(g + aω02 )θ⋆ sin ω0t
Tenant compte des conditions initiales r(0) = 0 (P en A) et r˙(0) = 0 (pas de mouvement relatif
de P par rapport au solide), on peut e´ crire la loi du mouvement relatif de P par rapport au solide
suivant
(g + aω02 )
(g + aω02 )
r(t) =
θ
sin
ω
t
−
θ⋆ t
⋆
0
ω0
ω02
Cette expression reste valable tant que r(t) ≤ a.
3.
Ey
NP
eθ
r
x
Ez
b
P
A
Ex
−NP
R
b
O
b
θ
C
mg
Mg
b
K
er
6
i. Les forces agissant sur le demi-disque et le point P sont
• Mg : la force de pesanteur, force appliqu´ee conservative agissant au centre d’inertie C du solide
et dirig´ee verticalement vers le bas ;
• R = NEy + T Ex : la force de liaison exerc´ee par le plan horizontal sur le solide au point de
contact K (voir dessin) ;
• mg : la force de pesanteur, force appliqu´ee conservative agissant sur le point P et dirig´ee
verticalement vers le bas ;
• NP = −NP er : la force de liaison interne exerc´ee par le solide sur le point dans la direction
normale au solide vu l’absence de frottement ;
• −NP = NP er : la force de liaison interne exerc´ee en P par le point sur le solide, dans la direction
normale au solide vu l’absence de frottement.
ii. Le th´eor`eme de l’´energie cin´etique pour le syst`eme total, rapport´e a` des axes inertiaux centr´es en
O, s’´ecrit
dTO
= P O = Mg · s˙ C + mg · s˙P + R · s˙ K + NP · s˙P − NP · s˙sol
P
dt
dVMg dVmg
=−
−
+ NP · (˙sP − s˙sol
P )
dt
dt
vu le caract`ere conservatif de la force de pesanteur et la condition de roulement sans glissement.
On a aussi
˙ r
s˙P = xE
˙ x + r˙eθ − rθe
et, en faisant le mˆeme raisonnement que lors de l’´etablissement de la condition de roulement sans
glissement au point 1.ii,
˙ z ∧ AP = xE
˙ z ∧ (reθ ) = xE
˙ r
˙ x + θE
˙ x + θE
˙ x − rθe
s˙sol
P = xE
ce qui permet d’´ecrire
dVMg dVmg
dVMg dVmg
dTO
=−
−
+ NP · (˙reθ ) = −
−
dt
dt
dt
dt
dt
puisque le point glisse sans frottement sur le solide (NP = −NP er ).
On obtient donc l’int´egrale premi`ere de conservation de l’´energie
TO +VMg +Vmg = E
o`u
VMg = −Mgh cos θ
et
Vmg = mgr sin θ
et o`u
TO = TOsol + TOP
avec
1
1
TOP = mk˙sP k2 = m(x˙2 + r˙2 + r2 θ˙ 2 + 2x˙
˙r cos θ − 2xr
˙ θ˙ sin θ)
2
2
et, comme calcul´e en 1.,
1
1
TOsol = M(x˙2 + h2 θ˙ 2 + 2hx˙θ˙ cos θ) + JC θ˙ 2
2
2
Finalement, l’int´egrale premi`ere s’´ecrit
1
1
M(x˙2 + h2 θ˙ 2 + 2hx˙θ˙ cos θ) + JC θ˙ 2
2
2
1
+ m(x˙2 + r˙2 + r2 θ˙ 2 + 2x˙
˙r cos θ − 2xr
˙ θ˙ sin θ) − Mgh cos θ + mgr sin θ = E (6)
2
7
iii. Le mouvement du syst`eme est enti`erement d´ecrit pas les 3 coordonn´ees g´en´eralis´ees introduites
jusqu’ici : x, θ et r. Pour d´eterminer ce mouvement, il faut donc e´ crire 3 e´ quations scalaires
ne faisant pas intervenir les forces de liaison. La premi`ere de ces e´ quations est la condition de
roulement sans glissement (1), la deuxi`eme est l’int´egrale premi`ere de conservation de l’´energie
(6). Pour obtenir une troisi`eme e´ quation, nous pouvons proc´eder comme en 2., en e´ crivant
l’´equation de Newton (4) pour le point P et en la projetant selon eθ :
m(¨r − rθ˙ 2 ) = −mg sin θ − mx¨ cos θ
(7)
Les e´ quations (1), (4) et (7) constituent des e´ quations diff´erentielles scalaires en nombre n´ecessaire
et suffisant pour d´eterminer compl`etement le mouvement du demi-disque et du point.
Question II
i. Consid´erons un syst`eme mat´eriel constitu´e de N points mat´eriel et notons
• mi les masses des diff´erents points ;
• si les vecteurs positions des points par rapport a` un rep`ere absolu de centre O ;
N
• m = ∑ mi la masse totale du syst`eme ;
i=1
• c le vecteur position du centre d’inertie ;
• ri les vecteurs positions des points par rapport au center d’inertie.
On a
i ∈ {1, 2, . . . , N}
si = c + ri ,
Par d´efinition du centre d’inertie, on a
N
N
∑ miri = 0
et
i=1
∑ mir˙ i = 0
i=1
Le moment cin´etique HO rapport´e au rep`ere absolu de centre O s’´ecrit
N
N
HO = ∑ [mi si ∧ s˙ i ] = ∑ [mi (c + ri ) ∧ (˙c + r˙ i )]
i=1
N
=
∑ mi
i=1
!
i=1
N
c ∧ c˙ + c ∧ ∑ mi r˙ i +
i=1
N
∑ miri
i=1
!
N
∧ c˙ + ∑ [mi ri ∧ r˙ i ]
i=1
= mc ∧ c˙ + HC
o`u on a not´e
N
HC = ∑ mi ri ∧ r˙ i
i=1
Cette expression fait apparaˆıtre le moment de la quantit´e de mouvement des points mat´eriels par
rapport a` un rep`ere plac´e au centre d’inertie et dont les axes sont parall`eles a` ceux du rep`ere absolu
(rep`ere de Kœnig). HC est donc le moment d’inertie du syst`eme de points par rapport a` ce rep`ere.
8
δ
dans les axes li´es au solide,on a successivement
δt
h
i
dHC
δHC
ω·
= ω·
+ ω ∧ HC
Formule de Poisson
dt
δt
h
i
δHC
ω · (ω ∧ HC) = 0
= ω·
δt
h
i
δ = ω·
JC · ω
HC = JC · ω pour un solide
δt
i
h
δω
= ω · JC ·
JC constant dans les axes li´es au solide
δt
h
i
1
δω δω
+
· JC · ω
=
ω · JC ·
JC est sym´etrique
2
δt
δt
h
i
δ 1
ω · JC · ω
JC constant dans les axes li´es au solide
=
δt 2
h
i
δ
1
= TC
TC = ω · JC · ω pour un solide
δt
2
hd
i
d
δ
=
pour un scalaire
= TC
dt
dt
δt
ii. En introduisant la d´eriv´ee relative
iii.
(a) Les axes principaux d’inertie en un point B sont ceux dans lesquels le tenseur d’inertie JB
est repr´esent´e par une matrice diagonale. Les e´ l´ements de cette matrice, i.e. les moments
d’inertie pour la rotation autour des axes principaux d’inertie, sont les moments principaux
d’inertie.
Les axes principaux d’inertie co¨ıncident avec les e´ l´ements de sym´etrie mat´erielle du solide.
(b) Les angles d’Euler permettent de d´ecrire le mouvement de rotation d’un solide autour de
son centre d’inertie ou autour d’un point fixe par la donn´ee de trois angles qui d´efinissent
compl`etement l’orientation du solide dans l’espace.
On consid`ere les vecteurs ex , ey et ez formant un rep`ere d’orientation fixe et un vecteur
e correspondant a` un axe de r´ef´erence du solide, g´en´eralement un axe de sym´etrie de
r´evolution.
ψ
ez
e
θ
ϕ
ey
ex
On introduit alors
i. l’angle de nutation θ, mesurant l’inclinaison de l’axe de r´ef´erence e par rapport a` la
verticale ez ;
ii. l’angle de pr´ecession ϕ mesurant l’angle entre le plan form´e par e et ez et le plan form´e
par ex et ez ;
iii. l’angle de rotation propre ψ mesurant la rotation du solide autour de l’axe de r´ef´erence e.
(c) On appelle pr´ecession gyroscopique le mouvement de pr´ecession qu’acquiert un gyroscope
tournant a` vitesse angulaire e´ lev´ee autour de son axe de sym´etrie de r´evolution lorsque celuici est soumis a` un couple ext´erieur.
9
Si la grandeur du couple ext´erieur est ind´ependante de la vitesse de rotation du gyroscope,
celui-ci ne bascule pas dans la direction de la sollicitation appliqu´ee mais r´eagit par un
mouvement de pr´ecession qui tend a` aligner l’axe de rotation avec le couple ext´erieur
appliqu´e. En premi`ere approximation, la vitesse de pr´ecession ϕ˙ et le couple appliqu´e C
sont tels que
˙ z ∧ ψe
˙
C ≈ Γϕe
o`u Γ d´esigne le moment d’inertie du gyroscope par rapport a` son axe de sym´etrie de vecteur
˙ est la vitesse angulaire de rotation du gyroscope autour de celui-ci et ez est le
unitaire e, ψ
vecteur unitaire port´e par l’axe autour duquel s’effectue la pr´ecession.
(d) L’´equilibrage statique d’un syst`eme tournant consiste a` veiller a` ce que le centre d’inertie du
syst`eme soit situ´e sur l’axe de rotation.
L’´equilibrage dynamique, quant a` lui, consiste a` veiller a` ce que l’axe de rotation e
corresponde a` un axe principal d’inertie du syst`eme.
Pour r´ealiser l’´equilibrage statique et dynamique, on peut ajouter de petits balourds sur
le syst`eme (ou enlever de la mati`ere en effectuant quelques perforations). Pour un syst`eme
en rotation autour d’un axe fixe unique, deux balourds sont suffisants pour r´ealiser cette
op´eration.
Si un syst`eme non e´ quilibr´e est mis en rotation, des r´eactions parasites sont induites au
niveau des appuis, lesquelles engendrent des sollicitations m´ecaniques parasites qui peuvent
endommager le syst`eme ou son support.
10