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Optimisation stochastique (OS)
2014–2015
Master Parisien de Recherche Op´erationnelle
(MPRO)
Michel De Lara (cermics-enpc)
28 novembre 2014
Pr´esentation. Dans un probl`eme d’optimisation d´eterministe, les valeurs de tous les param`etres sont suppos´ees connues. Que se passe-t-il quand ce n’est plus le cas (par exemple,
des coefficients de prix) ? Et quand certaines valeurs sont r´ev´el´ees au cours des ´etapes de
d´ecision (par exemple, des valeurs de temp´erature) ? Nous pr´esentons l’optimisation stochastique, `a la fois comme un cadre pour formuler des probl`emes sous incertitude, et comme des
m´ethodes pour les r´esoudre selon la formulation retenue. Plus pr´ecis´ement, nous pr´esentons
la programmation stochastique `a deux ´etapes (et la r´esolution sur arbre de sc´enarios ou par
sc´enarios) et le contrˆole stochastique `a temps discret (et la r´esolution par programmation
dynamique stochastique). Nous finissons par l’algorithme SDDP, largement utilis´e dans le
monde de l’´energie (gestion des r´eservoirs hydro-´electriques), qui mˆele programmation dynamique et algorithme de plans s´ecants. Nous illustrons ces approches sur des probl`emes
de gestion de stocks pour l’´energie. Des s´eances de travaux pratiques informatiques avec les
logiciels scientifiques Scicoslab et NSP [CCN10] compl`etent les s´eances de cours.
Pr´e-requis.
– Optimisation continue ´el´ementaire : programmation lin´eaire, convexit´e, conditions d’optimalit´e du premier ordre. [Ber96]
– Calcul des probabilit´es : espace de probabilit´e, probabilit´e, variable al´eatoire, esp´erance
math´ematique, ind´ependance. [Fel68, Bre93, Pit93]
Mat´eriel informatique. Ordinateur portable personnel aux s´eances de travaux pratiques.
Langue. Les transparents de cours et les travaux pratiques informatiques sont en anglais. Le
cours oral est assur´e en fran¸cais.
Validation. Notation des travaux pratiques. Examens.
Enseignant responsable. Michel De Lara (cermics-enpc)
Enseignants. Michel De Lara (cermics-enpc), Vincent Lecl`
ere (cermics-enpc)
Liens.
page web du cours http://cermics.enpc.fr/~ delara/ENSEIGNEMENT/MPRO/
page web du master MPRO http://uma.ensta-paristech.fr/mpro/
Programme
14h00–17h30, jeudi 25 septembre 2014 (Michel De Lara), salle 30.-1.05 (rue Cont´e)
Nous pr´esentons, sous forme d’exercices, des exemples de probl`emes de programmation
lin´eaire avec incertitudes.
– Lorsque des incertitudes apparaissent seulement dans le crit`ere d’optimisation, nous
illustrons comment formaliser les attitudes plus ou moins risqu´ees du d´ecideur par le
biais de mesures de risque : esp´erance, pire des cas, CVaR. Nous d´egageons la notion
de solution robuste, en boucle ouverte.
– Lorsque des incertitudes apparaissent dans les contraintes, nous illustrons en quel sens
entendre ces contraintes.
– Cas robuste : pour toutes les incertitudes, pour un sous-ensemble.
– Cas probabiliste : presque sˆ
urement, en esp´erance, en probabilit´e, a` la Markowitz
(moyenne-variance), mesures de risque.
– Lorsque des incertitudes apparaissent dans les contraintes et que les d´ecisions sont
prises `a diff´erentes ´etapes, nous pr´esentons les notions de variables de recours et de
solution en boucle ferm´ee.
14h45–17h30, jeudi 2 octobre 2014 (Michel De Lara), salle 17.2.15 (Rue Saint-Martin)
Programmation stochastique sur un arbre de sc´enarios. Contrainte de non-anticipativit´e le
long de sc´enarios. Programmation stochastique `a deux ´etapes. Dimensionnement de r´eserves
pour l’´equilibrage sur un march´e ´electrique. [SDR09, KW12]
14h00–17h30, jeudi 9 octobre 2014 (Michel De Lara), salle 30.-1.05 (rue Cont´e)
Exercice : allocation optimale entre croissance et reproduction. Contrˆole optimal stochastique de syst`emes dynamiques avec incertitudes. Programmation dynamique stochastique.
Exercices : probl`eme du sac `a dos, gestion de stock. [Bel57, Put94, Ber00, Whi82, DD08]
14h00–17h30, jeudi 16 octobre 2014 (Vincent Lecl`ere), salle 17.2.15 (Rue Saint-Martin)
Mal´ediction de la dimension. Contrˆole optimal stochastique avec coˆ
uts convexes et dynamique lin´eaire.
Exercices.
14h00–17h30, jeudi 23 octobre 2014 (Vincent Lecl`ere), salle 17.2.15 (Rue Saint-Martin)
Pr´esentation de l’algorithme Stochastic Dual Dynamic Programming (SDDP).
Travaux pratiques informatiques. Gestion optimale d’une chaˆıne de barrages avec apports
d’eau al´eatoires.
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14h00–17h30, jeudi 7 novembre 2014 (Vincent Lecl`ere), salle 17.2.15 (Rue Saint-Martin)
Examen.
Travaux pratiques informatiques. Gestion optimale d’une chaˆıne de barrages avec apports
d’eau al´eatoires.
9h00–11h00, jeudi 4 d´ecembre 2014 (Michel De Lara), salle 21.2.43 (Rue Saint-Martin)
9h00–10h00, examen de rattrapage
10h00–11h00, oraux de rattrapage
R´
ef´
erences
[Bel57]
R. E. Bellman. Dynamic Programming. Princeton University Press, Princeton,
N.J., 1957.
[Ber96]
D. P. Bertsekas. Constrained Optimization and Lagrange Multiplier Methods.
Athena Scientific, Belmont, Massachusets, 1996.
[Ber00]
D. P. Bertsekas. Dynamic Programming and Optimal Control. Athena Scientific,
Belmont, Massachusets, second edition, 2000. Volumes 1 and 2.
[Bre93]
L. Breiman. Probability. Classics in applied mathematics. siam, Philadelphia,
second edition, 1993.
[CCN10] Stephen Campbell, Jean-Philippe Chancelier, and Ramine Nikoukhah. Modeling
and Simulation in Scilab/Scicos with ScicosLab 4.4. Springer-Verlag, New York, 2
edition, 2010.
[DD08]
Michel De Lara and Luc Doyen. Sustainable Management of Natural Resources.
Mathematical Models and Methods. Springer-Verlag, Berlin, 2008.
[Fel68]
W. Feller. An Introduction to Probability Theory and its Applications, volume 1.
Wiley, New York, third edition, 1968.
[KW12] Alan J. King and Stein W. Wallace. Modeling with Stochastic Programming. Springer Series in Operations Research and Financial Engineering. Springer New York,
2012.
[Pit93]
J. Pitman. Probability. Springer-Verlag, New-York, 1993.
[Put94]
M. L. Puterman. Markov Decision Processes. Wiley, New York, 1994.
[SDR09] A. Shapiro, D. Dentcheva, and A. Ruszczynski. Lectures on stochastic programming : modeling and theory. The society for industrial and applied mathematics
and the mathematical programming society, Philadelphia, USA, 2009.
[Whi82] P. Whittle. Optimization over Time : Dynamic Programming and Stochastic
Control, volume 1 and 2. John Wiley & Sons, New York, 1982.
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