Transcript DM13

Exercice `
a r´
ediger


1 −3 3
Soit A = −1 −1 1 ∈ M3 (R).
2 −2 2
1. La matrice A est-elle inversible? Si oui, calculer son inverse.
2. Pour λ ∈ {−2, 0, 4}, trouver la matrice ´echelonn´ee en ligne, r´eduite ´equivalente `a M − λI3 et en d´eduire
que, dans chacun de ces cas, A − λI3 n’est pas inversible.
3. On pose λ1 = −2, λ2 = 0 et λ3 = 4.
 
x
Pour tout i de 1 `
a 3, r´esoudre le syst`eme (Si ) : AX = λi X o`
u X = y .
z
On montrera en particulier que les solutions de (Si ) sont de la forme kCi , k ∈ R o`
u Ci est une colonne
compos´ee uniquement de 0 et de 1.
4. On pose P = (C1 , C2 , C3 ) la matrice dont les colonnes sont les Ci trouv´es `a la question pr´ec´edente.
Montrer que P est inversible et calculer P −1 .
5. Calculer D = P −1 AP .
6. Pour tout n ∈ N, calculer Dn .
7. Montrer, sans expliciter aucune de ces matrices, que ∀n ∈ N∗ , An = P Dn P −1 .
8. Montrer qu’une matrice M commute avec A si et seulement si P −1 M P commute avec D.
9. Montrer que les matrices qui commutent avec D sont les matrices diagonales.
10. Montrer que, pour toute matrice diagonale ∆, il existe un unique triplet (a,b,c) ∈ R3 tel que
∆ = aD2 + bD + cI3 .
11. En d´eduire que les matrices qui commutent avec A sont les matrices aA2 + bA + cI3 , (a,b,c) ∈ R3 .
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