Mines Maths 1 PC 2014 — Énoncé ÉCOLE DES PONTS PARISTECH.

SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière MP).

ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2014

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l’épreuve : trois heures) L’usage d’ordinateur ou de calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

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Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PC L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initia tives qu’il est amené à prendre.

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Mines Maths 1 PC 2014 — Énoncé

Somme de projecteurs

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Notations

On note des matrices

N

l’ensemble des entiers naturels,

R

n

×

n

à coefficients réels.

l’ensemble des réels et M

n

l’ensemble

Dans tout le problème, corps des réels et

T

X

est un espace vectoriel de dimension un endomorphisme non nul de

X

.

n

≥ 2

sur le

Soit B une base de

X

, on note T B la matrice représentant T dans cette base.

On note

N

( T ) le noyau de T et

R

( T ) l’image de T.

P 2 On dit que T est une homothétie si c’est un multiple scalaire de l’identité.

On appelle projecteur un endomorphisme P de = P.

X

idempotent, c’est-à-dire tel que On note I l’endomorphisme identité de matrice nulle.

X

, I

n

la matrice identité de M

n

et O la

1 Traces et projecteurs

Si A ∈M

n

, on appelle trace de A le nombre réel suivant : tr A =

n

X

a ii

.

i

= 1

Question 1 Question 2

base

B .

Soient

A

et

B ∈M

n

,

montrer que

tr AB = tr BA .

Montrer que la trace de la matrice

T B

associée à

T

est indépendante de la

On appelle trace de T, notée tr T, la valeur commune des traces des matrices repré sentant T. On dit que la trace est un invariant de similitude.

Soit P un projecteur de

X

.

Question 3

Démontrer que X

=

R

( P ) ⊕

N

( P ) .

Question 4

En déduire que

rg P = tr P

.

On pose P ′ = I − P.

Question 5

Montrer que R

P ′ =

N

( P )

et que R

( P ) =

N

P ′ .

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Mines Maths 1 PC 2014 — Énoncé 3

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Question 6

Démontrer que la dimension de la somme de deux sous-espaces F et G de X est inférieure ou égale à la somme de leurs dimensions.

i

Question 7

= 1, . . . ,

m

,

Montrer que si l’endomorphisme alors

tr S ∈

N

et

tr S ≥ rg S.

S

est une somme finie de projecteurs

P

i

,

2 Projecteurs de rang

1

On suppose dans cette partie que le rang du projecteur

P

est égal à

1.

Question 8

Démontrer qu’il existe µ

∈

R

tel que

PTP =

µ

P.

Soit C =

f

1 ,

f

2 , . . . ,

f n

une base de

X

adaptée à la décomposition

X

=

R

( P ) ⊕

N

( P ) .

Question 9

Montrer que dans la base

C

la matrice représentant

T

s’écrit

 T C = 

µ

× × × × B   , (1)

où µ est le nombre réel dont l’existence découle de la question

8

, et

B ∈M

n

− 1 .

Question 10

Montrer que si

P ′ TP ′

n’est pas proportionnel à n’est pas la matrice d’une homothétie. On rappelle que

P ′ = I − P P.

′ ,

alors

B ,

défini en

(1)

,

3 Endomorphismes différents d’une homothétie

On suppose dans cette partie que l’endomorphisme

T

n’est pas une homothétie.

Question 11

Démontrer qu’il existe un vecteur x (c’est-à-dire ne soient pas colinéaires).

∈

X tel que x et

T

x ne soient pas liés

Question 12

T B

Montrer qu’il existe une base est de la forme suivante :

B =

e

1 ,

e

2 , . . . ,

e n dans laquelle la matrice

T B =       0 1 0

.

..

0 × × A · · · ×      

où

A ∈M

n

− 1 .

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Question 13

de

T B ′

En déduire que si est nulle.

tr T = 0,

il existe une base

B ′

dans laquelle la diagonale

Soit

t i

,

i

= 1, . . . ,

n

une suite de

n

nombres réels vérifiant

tr T = P

n i

= 1

t i

.

Question 14

En dimension n

= 2,

ait pour éléments diagonaux les t i

,

démontrer qu’il existe une base i

= 1, 2.

B ′′

dans laquelle

T B ′′ Soit

t

∈

R

, on admettra qu’en dimension rang 1, tel que d’une part LTL =

n

≥ 3, il existe un projecteur L de

t

L et d’autre part L ′ TL ′

X

de ne soit pas proportionnel à L ′ = I − L.

Question 15

une base

C

En dimension n

≥ 3,

à l’aide des questions dans laquelle la matrice représentant

T

s’écrit

9

et

10

démontrer qu’il existe

  T C = 

t

1 × × × B × 

où

B

n’est pas une homothétie.

Question 16

dans laquelle En dimension n

T B ′′ ≥ 3,

démontrer par récurrence qu’il existe une base ait pour éléments diagonaux les t i

,

i

= 1, . . . ,

n

.

B ′′

4 Décomposition en somme de projecteurs

On suppose désormais que T est un endomorphisme de

X

rg T. On pose

ρ

= rg T et

θ

= tr T.

vérifiant tr T ∈

N

et tr T ≥

Question 17

Montrer qu’il existe une base

B

dans laquelle

T B

est de la forme suivante :

T 1 T 2 O O ,

où

T 1

est une matrice de taille ρ

×

ρ

.

Supposons tout d’abord que

T 1

ne soit pas la matrice d’une homothétie Question 18

A l’aide de la question

16

montrer qu’il existe une base

B ′

dans laquelle



t

1 T B ′ =         ×

.

..

.

..

.

..

× × · · ·

... ...

... t ρ ...

· · · · · · O O         

où les t i

,

i

= 1,

ρ sont des entiers non nuls.

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Question 19

En déduire que

T

est la somme d’un nombre fini de projecteurs.

On suppose maintenant que

T 1

est la matrice d’une homothétie.

Question 20

Démontrer que là encore,

T

est la somme d’un nombre fini de projecteurs.

Fin de l’épreuve

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