Transcript énoncé

Lyc´
ee Thiers, MP 2014-2015
Colle 09 - Semaine du 24/11/2014 au
25/11/2014.
1. D´eterminer les valeurs propres et les vecteurs
propres de A.
2. D´eterminertoutes les matrices qui commutent avec
Banque CCP 2015 (exercice
67) :
3 0

la matrice
.
0 a c
0 −2


u a, b, c sont des
Soit la matrice M = b 0 c o`
En d´eduire que l’ensemble des matrices qui comb −a 0
mutent avec A est Vect (I2 , A).
r´eels.
Banque CCP 2015 (exercice 74) :
M est-elle diagonalisable dans M3 (R) ? M est-elle dia

1 0 2
gonalisable dans M3 (C) ?
1. On consid`ere la matrice A = 0 1 0.
Banque CCP 2015 (exercice
68) :

2 0 1
1 −1 1
Soit la matrice A = −1 1 −1 .
(a) Justifier sans calcul que A est diagonalisable.
1 −1 1
(b) D´eterminer les valeurs propres de A puis une
1. D´emontrer que A est diagonalisable de quatre
base de vecteurs propres associ´es.
 ′
mani`eres :
 x = x + 2z
y′ = y
2. On consid`ere le syst`eme diff´erentiel
(a) sans calcul,
 ′
z = 2x + z
(b) en calculant directement le d´eterminant
, x, y, z d´esignant trois fonctions de la variable t,
det(λI3 − A), o`
u I3 est la matrice identit´e
d´erivables sur R.
d’ordre 3, et en d´eterminant les sous-espaces
En utilisant la question 1. et en le justifiant, r´esoudre
propres,
ce syst`eme.
(c) en utilisant le rang de la matrice,
Banque CCP 2015 (exercice 75) : (d) en calculant A2 .
−1 −4
On consid`ere la matrice A =
.
1
3
2. On suppose que A est la matrice d’un endomorphisme u d’un espace euclidien dans une base ortho1. D´emontrer que A n’est pas diagonalisable.
norm´ee.
2. On note f l’endomorphisme de R2 canoniquement
associ´e `a A.
2
Trouver une base orthonorm´ee dans laquelle la maTrouver une base (v1 , v2 ) de
R dans
laquelle la matrice de u est diagonale.
a b
trice de f est de la forme
.
0 c
Banque CCP 2015 (exercice 
69) :

On donnera explicitement les valeurs de a, b et c.
0 a 1


On consid`ere la matrice A = a 0 1 o`
u a est un
3. En
′d´eduire la r´esolution du syst`eme diff´erentiel
a 1 0
x = −x − 4y
.
r´eel.
y ′ = x + 3y
1. D´eterminer le rang de A.
Exercice 1
2. Pour quelles valeurs de a, la matrice A est-elle diagonalisable ?
Banque CCP
70) :
 2015 (exercice

0 0 1
Soit A = 1 0 0 ∈ M3 (C) .
0 1 0
Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 et f ∈ L(E)
tel que f 2 6= 0 et f 3 = 0.
1. Montrer qu’il existe x ∈ E tel que (x, f (x), f 2 (x))
soit une base de E.
2. Montrer que la seule droite vectorielle de E stable
par f est Rf 2 (x).
3. Montrer que le seul plan vectoriel de E stable par f
est Rf (x) + Rf 2 (x).
[Source : CCP PC 2006]
1. D´eterminer les valeurs propres et les vecteurs
propres de A. A est-elle diagonalisable ?
2. Soit (a, b, c) ∈ C3 et B = aI3 + bA + cA2 , o`
u I3
d´esigne la matrice identit´e d’ordre 3.
D´eduire de la question 1. les ´el´ements propres de B.
Exercice 2
Banque CCP 2015 (exercice 72) :
Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de
dimension n, et soit e = (e1 , . . . , en ) une base de E.
On suppose que f (e1 ) = f (e2 ) = · · · = f (en ) = v, o`
u
v est un vecteur donn´e de E.
D´etrminer
suivant le param`etre θ ∈ R si la matrice
cos θ − sin θ
Rθ =
est diagonalisable sur R ou C ?
sinθ cos θ
Exercice 3
Soit A ∈ GL(K). Exprimer le polynˆ
ome caract´eristique de
A−1 en fonction de celui de A.
1. Donner le rang de f .
2. f est-il diagonalisable ? (discuter en fonction du vecteur v)
Banque CCP 2015
73) :
(exercice
2 1
On pose A =
.
4 −1
R´
eduction des endomorphismes
Exercice 4
Soit a1 et a
eels tels que (a1 , a2 ) 6= (0, 0) et
2 deux r´
0 a1
.
A=
a2 0
1
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(x, u(x), . . . , un−1 (x)) est une base de E.
Quelle est la forme de la matrice de u dans cette base ?
c) Montrer que cette matrice ne d´epend pas du choix de
x.
1. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour
que A soit diagonalisable sur R.
2. Idem sur C.
Exercice 5
Exercice 12
Soit n ∈ N∗ , E = Mn (R) et (a, b) ∈ R2 . Soit u ∈ L(E) qui,
a toute matrice M , associe u(M ) = aM + b t M .
`
Soit A ∈ M3 (R) v´erifiant A2 = 0 et A 6= 0.
Etablir que A est semblable `a la matrice


0 0 0
B= 1 0 0 
0 0 0
1. D´emontrer que u est diagonalisable.
2. D´eterminer Tr(u) et det(u).
[Source : TPE MP 2007]
Exercice 6
Exercice 13
Soit Jn la matrice r´eelle d’ordre n, o`
u n ≥ 2, dont tous les
coefficients sont ´egaux `
a 1.
Calculer le rang, le polynˆ
ome caract´eristique de Jn et montrer que Jn est diagonalisable. On donnera ses ´elements
propres.
[Source : CCP PSI 2006]
Soit A ∈ Mn (K) une matrice non nulle telle que A2 = 0.
Montrer que A est semblable `a
0 Ir
B=
0 0
avec r = rgA.
Exercice 7
Exercice 14
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et u ∈ L(E).
On consid`ere deux polynˆ
omes P et Q de K[X] premiers
entre eux.
Montrer que rg(P (u))+rg(Q(u)) ≥ n et caract´eriser le cas
d’´egalit´e.
Soit A ∈ Mn (K) une matrice de rang 1.
a) Montrer que A est semblable `a une matrice dont les
n − 1 premi`eres colonnes sont nulles.
b) En d´eduire
A2 = tr(A).A et det(In + A) = 1 + trA
Exercice 8
Soit A ∈ Mn (K) une matrice de rang 1.
Exercice 15
1. Montrer que A est annul´ee par un polnˆ
ome de degr´e Soient A et B dans Mn (R) semblables sur C. Montrer que
A et B sont semblables sur R.
inf´erieur ou ´egal `
a deux.
2. En d´eduire que si Tr(A) 6= 0, alors A est diagonalisable. Que dire si Tr(A) = 0 ?
Exercice 16
Soit A ∈ Mn (C). On consid`ere l’endomorphisme T de
3. Application : Montrer que la matrice A = Mn (C) d´efini par
(i/j)1≤i,j≤n est diagonalisable et trouver ses
T (M ) = AM − M A
´el´ements propres.
a) On suppose que la matrice A est nilpotente.
Montrer que l’endomorphisme T est aussi nilpotent.
b) R´eciproque ?
Exercice 9
Soit M ∈ GL(K). Montrer que M
M.
−1
est un polynˆ
ome en
Exercice 17
Exercice 10
Soient E = CN et f : E → E l’application qui transforme
une suite u = (un ) en v = (vn ) d´efinie par
Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie et u un
endomorphisme de E v´erifiant
v0 = u0 et ∀n ∈ N⋆ , vn =
u3 + u = 0
D´eterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de
f.
a) Montrer que l’espace Imu est stable par u.
b) Pour x ∈ Imu, calculer u2 (x)
c) Soit v l’endomorphisme induit par u sur Imu.
Montrer que v est un isomorphisme.
d) En d´eduire que le rang de l’endomorphisme u est un
entier pair.
Exercice 18
Soient E l’espace des suites r´eelles convergeant vers 0 et
∆ : E → E l’endomorphisme d´efini par
∆(u)(n) = u(n + 1) − u(n)
Exercice 11
[Endomorphisme cyclique]
Soient u endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie n > 2.
On suppose que E est le seul sous-espace vectoriel non nul
stable par u.
a) L’endomorphisme u poss`ede-t-il des valeurs propres ?
b) Montrer que pour tout x ∈ E\ {0E }, la famille
R´
eduction des endomorphismes
un + un−1
2
D´eterminer les valeurs propres de ∆.
Exercice 19
D´eterminer valeurs propres et vecteurs propres de l’endomorphisme ϕ de Rn [X] d´efini par
ϕ : P 7→ (X 2 − 1)P ′ − nXP
2
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Exercice 20
|λ| 6 1.
c) Observer que si λ ∈ C est valeur propre de A et v´erifie
|λ| = 1 alors λ = 1.
Soient A, B ∈ Mn (C). On d´esire ´etablir l’´egalit´e des polynˆ
omes caract´eristiques
χAB = χBA
Exercice 23
Soient A1 ∈ Mp (K), A2 ∈ Mq (K) et A ∈ Mp+q (K)
d´efinie par
A1 O
A=
O A2
a) Etablir l’´egalit´e quand A ∈ GLn (C).
b) Pour A ∈
/ GLn (C), justifier que pour p ∈ N assez grand
A + p1 In ∈ GLn (C).
En d´eduire que l’´egalit´e est encore vraie pour A non inversible.
Montrer que A est diagonalisable si, et seulement si, A1 et
A2 le sont.
Exercice 21
Soient

0

 1
An = 


0
Exercice 24
1
..
.
..
..
..
.
Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel de dimension finie E.


suppose que
 ∈ Mn (C) et Pn (x) = det(xIn −AOn
n)

1 
Im(u − IdE ) ∩ Im(u + IdE ) = {0E }
0
0
.
.
1

Montrer que u est diagonalisable.
a) Montrer
Exercice 25
Pn (x) = xPn−1 (x) − Pn−2 (x)
Soient E un espace vectoriel de dimension finie, un projecteur fix´e de E et F : L(E) → L(E) d´efinie par
Calculer P1 (x) et P2 (x).
b) Pour tout x ∈ ]−2, 2[, on pose x = 2 cos α avec
α ∈ ]0, π[. Montrer que
Pn (x) =
F : f 7→
sin((n + 1)α)
sin α
1
(f ◦ p + p ◦ f )
2
c) En d´eduire que Pn (x) admet n racines puis que An est
diagonalisable.
a) F est-elle lin´eaire ?
b) F est-elle diagonalisable ?
c) Quelle est la dimension des sous-espaces propres associ´es ?
Exercice 22
Exercice 26
Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (R) v´erifiant pour tout i, j ∈
n
P
ai,j = 1.
{1, . . . , n} ai,j > 0 et pour tout i ∈ {1, . . . , n},
Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel.
On suppose qu’il existe un polynˆ
ome annulateur de u dont
0 est racine simple. Montrer
j=1
a) Montrer que 1 ∈ Sp(A).
b) Justifier que si λ ∈ C est valeur propre de A alors
R´
eduction des endomorphismes
ker u = ker u2
3
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