Transcript Résultat du Placement des excédents de Trésorerie avec prise en

19 TD Sujet - Equilibrage
CPGE MP
Centrifugeuse humaine
On s’intéresse à une centrifugeuse humaine dont on donne une description structurelle ainsi que la
modélisation cinématique. Le système étudié est constitué de 4 éléments principaux :
 un massif-bâti en béton 0 sur lequel
Sous ensemble 1
est rigidement ancré un axe, assurant
le guidage en rotation du sous
Anneau 2
ensemble 1 autour d’un axe vertical,
 un sous ensemble 1 en rotation
autour de l’axe vertical qui est
composé d’un contrepoids c, d’une
virole v et d’un bras en treillis
Nacelle 3
tubulaire b,
 un anneau 2, interposé entre le bras
et la nacelle, autorisant les rotations
autour des 2 axes orthogonaux
(roulis et tangage),
 une nacelle instrumentée 3 équipée
du siège pour le pilote.
Aux 4 éléments précédents s’ajoutent
des équipements complémentaires
comme :




Massif bâti 0
un générateur de puissance hydraulique,
un réducteur pouvant transmettre une puissance de l’ordre de 1MW pour le mouvement de
rotation du sous ensemble 1 par rapport à 0,
une motorisation embarquée pour les mouvements de rotation de roulis et de tangage,
un système d’asservissement pour chaque actionneur.
Cette conception permet de lier de façon univoque, les profils de position (ou de vitesse relative)
engendrés au niveau de chaque liaison à l’évolution temporelle des 3 composantes d’accélération que
subit le pilote. Ainsi les consignes de position ou de vitesse à appliquer aux liaisons sont directement
déduites de l’accélération à reproduire. La vitesse de rotation du bras détermine l’intensité de
l’accélération imposée au pilote et l’orientation de la nacelle en roulis et tangage fixe la direction de
l’accélération imposée au pilote.
Modélisation cinématique et paramétrage
A l’arrêt les angles α et θ sont nuls
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



CPGE MP
  
le repère R o  O, x0 , y0 , z0  est lié au bâti 0, ce repère sera considéré comme galiléen. Le


champ de la pesanteur est définit par g   g z0 ,
  
le repère R 1  O, x1 , y1 , z0  est lié au sous ensemble 1 (composé du contrepoids c, de la virole
v et du bras en treillis tubulaire b). La liaison 1/0 est considérée comme une liaison pivot
 

parfaite d’axe O , z0  , sa position est paramétrée par l’angle ψ(t)  x0 , x1  ,
  
le repère R 2  C, x1 , y2 , z2  est lié à l’anneau 2. La liaison 2/1 est considérée comme une

 
liaison pivot parfaite d’axe C, x1  , sa position est paramétrée par l’angle θ(t)   y1 , y2  , θ est

appelé angle de roulis, la position du point C est définie par le vecteur OC   R y1 avec
R=7.62m,
  
le repère R 3  C, x3 , y2 , z3  est lié à la nacelle 3 dans laquelle prend place le pilote. La liaison

3/2 est considérée comme une liaison pivot parfaite d’axe C, y2  sa position est paramétrée par
 
l’angle α(t)  x2 , x3  .
Géométrie des masses
Les valeurs approchées des moments d’inertie suivants ne sont données qu’à titre indicatif.
 Sous ensemble (1) : composé de la virole v, du contrepoids c et du bras b
Contrepoids
Masse mc =5600 kg,

centre de gravité Gc tel que OG c  yc y1 avec y c =2m,
 Ac
Matrice d’inertie IO (c )   0
 0
Virole
0
Bc
0
0
0 
Cc 
(O, x1, y1, z0 )
Avec Ac =25625 kg.m², Bc =3000 kg.m² et C c =22775 kg.m²
Masse mv =8325 kg,

centre de gravité Gv tel que OG v  zv z0 avec z v =0.63m,
 Av
Matrice d’inertie IO (v )   0
 0
0
Av
0
0
0 
Cv 
(O, x1, y1, z0 )
Avec Av =20625 kg.m² et C v =17600 kg.m²
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Bras
CPGE MP
Masse mb =1980 kg,

centre de gravité Gb tel que OG b   yb y1 avec y b =3.45m,
 Ab
Matrice d’inertie IO (b)   0
 0
0
Bb
0
0
0 
Cb 
(O, x1, y1, z0 )
Avec Ab =31575 kg.m², Bb =6000 kg.m² et Cb =33775 kg.m²
 Anneau (2) :
Masse et inertie supposées négligeables dans cette approche
 Nacelle et pilote (3) :

Masse m3 =1705 kg, le centre de gravité reste confondu avec le point C tel que OC   R y1 avec
R=7.62m,
 A3
Matrice d’inertie IC (3)   0
 0
0
B3
0
0
0 
A3 
(C, x3 , y 2, z3 )
 A3
  0
 0
0
B3
0
0
0 
A3 
(C, x1, y 2, z2 )
Avec A3 =135 kg.m² et B3 =1575 kg.m²
Étude des équilibrages statiques et dynamiques
La centrifugeuse comporte, en complément de l’ensemble des éléments précédemment décrits, deux
contrepoids mobiles par rapport au sous-ensemble 1 et repérés 4 et 5. Ces contrepoids placés
 
symétriquement par rapport au plan O, y1 , z0  sont modélisés par des cylindres de révolution.
Les liaisons contrepoids 4/virole 1 et contrepoids 5/virole 1 sont assimilées à des liaisons glissières

parfaites de direction z0 . Le schéma ci-dessous définit les implantations des ces deux contrepoids
  
mobiles dans le repère R 1  O, x1 , y1 , z0  ainsi que les notations complémentaires retenues pour la
géométrie des masses.
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Contrepoids
mobile i
i = 4 ou 5
CPGE MP
Masse mi ,



centre de gravité Gi tel que OGi  r ui  zi z0 et OGi. . y1  e avec e = 1.2m,
 Ai
Matrice d’inertie I G i (i )   0

 0
0
Ai
0
0
0 
  
Ci 
(Gi , x1 , y1 , z0 )
Q.1. Quelle est la condition nécessaire afin de réaliser l’équilibrage statique de l’ensemble

E=1+2+3+4+5 en liaison pivot autour de l’axe O , z0  avec le massif bâti 0 ? Exprimer les relations
traduisant cet équilibrage statique.
Q.2. En déduire l’expression des masses des deux contrepoids mobiles m4 et m5 en fonction des
données du problème. Faire l’application numérique.
Q.3. Exprimer la coordonnée zG du centre de gravité de l’ensemble E en fonction de z 4 et z5 .
Q.4. Exprimer de façon formelle les conditions qui traduisent l’équilibrage dynamique de l’ensemble

E=1+2+3+4+5 en liaison pivot autour de l’axe O , z0  avec le massif bâti 0 ? Quelles sont les
conséquences de l’équilibrage dynamique sur la matrice d’inertie exprimée en O de l’ensemble
E=1+2+3+4+5 ? Donner la forme de cette matrice.
Q.5. En tenant compte des données du problème que peut-on dire de la forme de la matrice d’inertie du
  
sous ensemble 1 exprimée en O dans la base ( x1 , y1 , z0 ) .
  
Q.6. Déterminer la matrice la matrice d’inertie du solide 4 exprimée en O dans la base ( x1 , y1 , z0 ) en
fonction de m4, xG4, yG4, zG4, A4 et C 4 .
  
Q.7. En déduire la matrice la matrice d’inertie du solide 5 exprimée en O dans la base ( x1 , y1 , z0 ) .
  
  
Q.8. Exprimer la matrice de passage notée [P] de la base x1 , y2 , z2  vers la base x1 , y1 , z0  et en
  
déduire la matrice d’inertie du solide 3 exprimée en C dans la base ( x1 , y1 , z0 ) .
Q.9. Déterminer les produits d’inertie de la matrice d’inertie du solide 3 exprimée en O dans la
  
base ( x1 , y1 , z0 )
Q.10. A partir des conditions d’équilibrage dynamique définies précédemment, déterminer les
coordonnées zG 4 et zG5 des centres de gravité des contrepoids 4 et 5 en fonction de A3 , B3 et θ.
Q.11. La conception de la centrifugeuse permet de lier les profils de position (ou de vitesse relative)
engendrés au niveau de chaque liaison à l’évolution temporelle des 3 composantes d’accélération que
subit le pilote. Ainsi comme la vitesse de rotation du bras détermine l’intensité de l’accélération
imposée au pilote, la consigne de position du roulis θ est liée à cette vitesse de rotation  du bras par
 R. 2 
 . Lorsque le taux de rotation est à  =4.39 rad/s le pilote subit une
la relation   arctan 
 g 
accélération simulée de la pesanteur de 15g. Déduire à partir des résultats de la question 10 les valeurs
numériques de zG 4 et zG5 lorsque le pilote subit cette accélération simulée de la pesanteur de 15g.
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