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ANALYSE CEPSTRALE
Définitions et applications
notes de cours Analyse Cepstrale
ANALYSE CEPSTRALE
contenu
• Annulation d ’écho
• Définitions
– cepstre de puissance
– cepstre complexe
– propriétés
• Quelques applications
– mesures de fonction de transfert et de coefficient de réflexion
– annulation d ’échos
– analyse des vibrations d ’engrenages
notes de cours Analyse Cepstrale
ANALYSE CEPSTRALE
le problème de l ’annulation d ’échos
• x(t)= s(t) + sr(t)
– s(t) son direct , sr(t) son réfléchi
• le problème de l ’annulation d ’échos
– comment extraire s(t) de x(t), i.e, supprimer l ’écho ?
notes de cours Analyse Cepstrale
Signal + Echo
formulation du problème
• Hypothèses simplificatrices
– la réflexion ne génère qu ’un retard et une atténuation
• sr(t)= a0.s(t-t0)
• x(t)=s(t)+a0.s(t-t0)
• Dans le domaine fréquentiel
X(f)S(f)[1a0.e2jft0 ]
X(f)  S(f).[1a0 2.a0.cos(2ft0)]
2
2
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Signal + Echo
illustration
• Domaine temporel
s(t)
t0
a0s(t-t0)
• Domaine fréquentiel
[X(f)]2
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Signal + Echo
propriétés de la phase
X(f)  S(f).[1a0.e2..j.f.t0 ]
Imag
1
Réel
2.pi.f.t0
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Signal + Echo
Effet du logarithme
• On prend le « Log » pour rendre additif l ’effet de l ’écho
Log X(f)  Ln S(f)  Ln[1a0 2.a0.cos(2ft0)]
2
2
• On en prend la Transformée de Fourier (inverse)
Cx(t)Cs(t)TF
Ln[1a
1
0
2

2.a0.cos(2ft0)]
Cs (t)TF 1[Ln(S(f)]
f
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t
Le cepstre
Plusieurs définitions
• Cepstre de puissance:
1
Cx () TFLn(S xx(f)
2
Cx () TF
2
Ln(Sxx(f)
1
2
• Cepstre complexe:
Cx () TF 1Ln(X(f)
Ln(X(f)) Ln X(f)  j.(f) avec X(f)  X(f) .e j.(f)
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Cepstre de puissance
Propriétés
• Cx() = [TF-1(Ln(Sxx(f))]2
– fréquence  temps
– relation avec la fonction d ’autocorrélation
• R()=TF-1 (Sxx(f))
– Sxx(f) est réel et pair
–  le CEPSTRE DE PUISSANCE EST REEL, PAIR
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Cepstre complexe
Propriétés
• Cx() = TF-1[Ln(X(f)]
– X(f)=XRéel(f) + j.XImag(f)=[X(f)].ej(f)
– Ln(X(f))=Log[X(f)] + j. (f)
• x(t) est réel  Xréel pair et Ximag impair
•
 (f) est impair
• [X(f)] est pair  Ln [X(f)] est pair
– le CEPSTRE COMPLEXE EST REEL ET CAUSAL
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Cepstres de puissance et complexe
Cas de signaux à minimum de phase
• Soit x(t) , X(f) = TF(x(t)) = [X(f)].ej(f)
• x(t) à minimum de phase  H{ln[X(f)]}= (f)
– Cx() = TF-1 { Ln (X(f))} = Ln[X(f)] + j. (f)
• Cx() est réel et causal (>0)
• c ’est la somme d’une partie paire et d ’une partie impaire
2
– TF-1{Ln[X(f)2]} est la partie paire,
• ie, le cepstre de puissance
– TF-1{(f)} est la partie impaire,
• ie, le cepstre de phase
1
1
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Cepstre complexe
Redéploiement de la phase
• Cx() = TF-1 { Ln (X(f)) } = Ln[X(f)] + j. (f)
– pour évaluer (f), on obtient une fonction variant entre - et +  , qu ’il est
nécessaire de « redéployer » (Unwrapping)
f
– (f) doit être une fonction continue en f. Il existe des algorithmes dédiés
(algorithmze de Triboulet 1977)
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Cepstre
Propriétés, application à la déconvolution
• Système linéaire
x(t)
• temps :
• fréquence :
• cepstre :
y(t)
h(t)
y(t)=h(t)*x(t)
Y(f)=H(f).X(f)
Cy() = Ch() + Cx()
produit de convolution
produit
somme (du fait du Log!)
• d ’où les applications de déconvolution pour séparer x (t) (l ’entrée)
de h(t) (le milieu)
– annulation d ’échos,
– identification des sources (sismique, etc..)
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Déconvolution via le cepstre
Exemple de l ’annulation d ’échos
• x(t)=s(t)+a0.s(t-t0), X(f)=S(f)[1+a0.e-2jft0]
• cx(t) = cs(t) +TF-1{Ln(1+a02+2a0.cos(2 ft0)}
t
• on « liftre »  cs(t)
t
• S(f)= TF{exp(cs(t))} et s(t)=TF-1{S(f)}
• remarque:
– le processus de reconstruction suppose les signaux à minimum de phase
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Cepstre complexe
Exemple d ’annulation d ’échos
plot of input
plot of log of energy spectrum
1
1
10
0.8
0.6
0
10
0.4
0.2
-1
10
0
-0.2
-0.4
-2
10
-0.6
-0.8
-3
-1
10
0
500
1000
1500
2000
2500
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
power cepstrum
0.4
0.6
0.2
0.4
0
-0.2
0.2
-0.4
-0.6
0
0
500
1000
1500
2000
2500
-0.2
complex cepstrum
1
-0.4
0.5
-0.6
0
-0.8
-0.5
-1
0
500
1000
1500
2000
2500
-1
0
500
1000
1500
Original time history
1
0.5
0
-0.5
-1
0
500
1000
1500
2000
2500
2000
2500
Inverse cepstrum after liftering
1
0.5
0
-0.5
-1
0
500
1000
1500
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2000
2500
Cepstre
Vocabulaire
• vocabulaire (Bogert 1963):
•
•
•
•
•
•
•
Spectre
Fréquence
Filtrage
Harmonique
Période
Phase
Amplitude
Cepstre
Quéfrence
Liftrage
Rahmonique
Répiode
Saphe
Gamnitude
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Cepstre
ANNEXES
• A: Propriétés de symétrie et de parité par Transformées de Fourier
Directe et inverse
• B: Systèmes à minimum de phase
• C: caractérisation de matériaux (acoustique)
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Annexe A:
Propriétés de la Transformée de Fourier (1/3)

X ( f )   x (t ).e
 2jf (  t )


x (t )   X ( f ).e
dt   x (t ).e  2jf (  t ) dt

 2jft

F


df   X ( f ).e  2jt (  f ) df

F
F
F
– ie, x(t)  X(f)  x(-t)  X(-f)  x(t)
– TF directe sur x(t) = TF inverse sur x(-t)
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Annexe A:
Propriétés de la Transformée de Fourier (2/3)
• x(t) réel
•
•
• x(t) réel pair
•
• x(t) réel impair
•
X(f) = X*(-f)
Re(X(f)) = Re(X(-f))
Im(X(f) = - Im(X(-f))
x(t) = x(-t)X(f)=X(-f)
Im(X(f)) = 0
x(t) = -x(-t)
Re (X(f)) = 0
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Annexe A:
Propriétés de la Transformée de Fourier (3/3)
• Signal temporel
Spectre
•
•
•
•
réel, pair
réel, impair
imag, pair
imag, impair
réel, pair
imag, impair
imag, pair
réel, impair
•
•
réel
complexe conjugué pair
complexe conjugué pair
réel
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Annexe B:
Systèmes à minimum de phase (1/2)
• Plusieurs définitions :
– x(n) est à minimum de phase ssi
• ln[X(w)] et Arg(X(w)) forment une paire de Hilbert
– H{Ln[X(w)]} = Arg(X(w))
– un système linéaire de fonction de transfert H(w) est dit à
minimum de phase ssi H(w) est stable et d ’inverse stable, ie,
• ses pôles et ses zéros sont à l ’intérieur du cercle unité
(système discret),
• ou à gauche de l ’axe jw (système continu)
•
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Annexe B:
Systèmes à minimum de phase (2/2)
x2(n)
x1(n)
•
X1(f) = TF(x1(t))
•
(1)
 X1(f)  =  X2(f) 
•
(2)
Arg(X1(f))>Arg (X2(f))
•
Si x1(t) est tel que (1) et (2) sont vérifiées quelque soit x2(t) vérifiant (2), alors x1 est
dit à phase minimum.( en réalité maximum)
X2(f) = TF(x2(t))
Arg(X(f)
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Annexe C:
Caractérisation de matériaux (1/3)
• Caractérisation acoustique d’un matériau:
Haut parleur
•
x(t)= p(t) + (r1 /r2).p(t)*h(t-t0)
•
•
micro
r1, r2 coefficients de réflexion
t0=(r2-r1)/c
– X(f)=P(f){1+(r1/r2).H(f).e-2fto}
– on veut estimer h(t) la réponse impulsionnelle de la surface
réfléchissante
– ou on veut estimer r1, r2
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Annexe C:
Caractérisation de matériaux (2/3)
• Expression du cepstre de puissance
– [X(f)]2=[P(f)]2.{1+(r1/r2).H(f). e-2fto} .{1+(r1/r2).H*(f). E+2fto}
• on utilise le développement
– Ln(1+z)=z-z2/2+ z3/3,…. Pour [z]<1
– d ’où: 2.Ln [X(f)] = 2.Ln(P(f)] + {(r1/r2).H(f). E+2fto 1/2.(r1/r2)2.(H(f). E+2fto)2 + 1/3.(r1/r2)3 .H*(f). E+2fto +…...}
• le cepstre est de la forme:
– Cx (t) = Cp(t) + (r1/r2).Ch(t-t0)-1/2.(r1/r2)2.Ch(t-t0)* Ch(t-t0)…+...
– X (t) = P(t) + (r1/r2).h(t-t0) -1/2.(r1/r2)2.h(t-t0)* h(t-t0)…+...
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Annexe C:
Caractérisation de matériaux (3/3)
• Illustration du cepstre de puissance
P(t)
a1.h(t-t0)
a2.h(t-t0)* h(t-t0)
t0
2t0
– on peut retrouver h(t) si le cepstre de p(t) est « séparable »
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