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Alexandre Marino
Lycée Joffre MPSI
Feuille d’exercices 1
Quantificateurs, Logique, stratégies de démonstration
Logique et quantificateurs
Exercice 1 : Ecrire avec les quantificateurs et connecteurs appropriés les assertions suivantes :
1. La fonction f : R → R est bornée sur R.
2. On peut trouver un rationnel compris entre
√
3 et
√
5.
3. Il n’existe pas d’entier naturel supérieur à tous les autres.
Exercice 2 : Donner la signification des assertions suivantes (sont-elles vraies ?) :
1. ∀x > 0 , ∃N ∈ N , N > x
2. ∃N ∈ N , ∀x > 0, N > x
Exercice 3 : Donner les implications entre les assertions suivantes :
1. Première série
2. Deuxième série
(a) ∃x ∈ R , P (x)
(a) ∃x ∈ R , ∃y ∈ R , P (x, y)
(b) ∀x ∈ R , P (x)
(b) ∀x ∈ R , ∀y ∈ R , P (x, y)
(c) ∃x ∈ C , P (x)
(c) ∃x ∈ R , ∀y ∈ R , P (x, y)
(d) ∀x ∈ C , P (x)
(d) ∀x ∈ R , ∃y ∈ R , P (x, y)
(e) ∃y ∈ R , ∃x ∈ R , P (x, y)
(f) ∀y ∈ R , ∀x ∈ R , P (x, y)
(g) ∃y ∈ R , ∀x ∈ R , P (x, y)
(h) ∀y ∈ R , ∃x ∈ R , P (x, y)
Exercice 4 : Donner la négation des assertions de l’exercice précédent.
Exercice 5 : Les assertions suivantes sont-elles vraies ? sinon, donner leur négation.
√
1. ∃A ∈ R , ∀n ∈ N , n ≤ A.
2. ∀x ∈ R , ∃n ∈ N\{0} ,
3. ∀x > 0 , ∃n ∈ N\{0} ,
1
n
1
n
< x.
< x.
Exercice 6 : Soit f une application de R dans R. Exprimer en langage courant, le plus simplement possible, les
propositions suivantes.
1. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, f (x) = y.
2. ∀y ∈ R, ∃x ∈ R, f (x) = y.
3. ∃y ∈ R, ∀x ∈ R, f (x) = y.
4. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, f (x) = y.
Exercice 7 : Soient A,B,C,D quatre propositions. On suppose que A et les propositions suivantes sont vraies :
1. P1 : C ⇒ (non(A) et non(B))
2. P2 : non(D) ⇒ non(C)
3. P3 : D ⇔ B
4. P4 : non[A et non(B) et non(C) et non(D)]
Quelles sont les assertions vraies ?
Exercice 8 : Que pensez-vous de l’implication : ∀x ∈ R [x < 0 ⇒ x < x2 ] ? Enoncez sa négation, sa contraposée.
Exercice 9 : Montrer que
1. (A ⇒ (B ⇒ C)) ⇔ ((A et B) ⇒ C)
2. ((A ⇒ B) ⇒ B) ⇔ (A ou B)
Exercice 10 : Soient f, g des fonctions de R dans R. Ecrire les énoncés suivants à l’aide des quantificateurs et des
connecteurs logiques
1. f est croissante sur R.
1
2.
3.
4.
5.
6.
7.
f atteint un minimum en x0 ∈ R.
f est bornée sur R.
f et g sont égales sur R.
f ne s’annule pas sur R.
f est non nulle.
Donner les négations des énoncés précédents.
Exercice 11 : Soit u = (un )n∈N une suite réelle traduire les assertions suivantes en utilisant les quantificateurs.
Donner également les négations.
5. (un )n∈N ne s’annule pas.
1. (un )n∈N est nulle.
6. (un )n∈N ne s’annule pas à partir d’un certain rang.
2. (un )n∈N est nulle à partir d’un certain rang.
7. (un )n∈N est non nulle une infinité de fois.
3. (un )n∈N est nulle une infinité de fois.
8. (un )n∈N est non nulle au moins une fois.
4. (un )n∈N est nulle au moins une fois.
Exemples et applications
Exercice 12 : Soient a, b ∈ R deux nombres réels, montrer par contraposée que :
∀ > 0, a < b + ⇒ a ≤ b
Exercice 13 : Montrer par contraposée que pour tout entier m ∈ N :
Si m2 est pair alors m est pair.
Si m2 est impair alors m est impair.
Exercice 14 : Racines et irrationnels : soient n, N des entiers non nuls et p un nombre premier.
√
1. Montrer par l’absurde que p est irrationnel.
√
2. Montrer que n p est irrationnel.
√
√
/ N) alors N est un irrationel.
3. Montrer que si N n’est pas un carré parfait (i.e. N ∈
Analyse et synthèse
Exercice 15 : Déterminer l’ensemble des applications f : R → R telles que :
∀(x, y) ∈ R2 , f (x)f (y) − f (xy) = x + y
Exercice 16 : Déterminer l’ensemble des applications f : R → R telles que :
∀(x, y) ∈ R2 , f (x)f (y) = f (x) + f (y)
Récurrence
Exercice 17 :
1. Montrer que pour tout entier n non nul, 9 divise 10n − 1.
n
2. Soit a une entier impair. Montrer que pour tout entier n non nul 2n+2 divise a2 − 1.
Exercice 18 :
1. Montrer que si u ≥ −1, alors pour tout n ∈ N, (1 + u)n ≥ 1 + nu.
2. En déduire la limite en +∞ de exp.
Exercice 19 : Démontrer par récurrence que ∀n ∈ N ∗ ,
2n
X
(−1)k+1
k=1
k
Exercice 20 : Démontrer par récurrence que ∀n ≥ 2,
=
n
X
k=1
n
P
k=1
1
k
1
n+k
est le quotient d’un nombre impair par un nombre pair.