Transcript Devoir Surveillé n°3 Lycée Brizeux Physique

Devoir Surveillé n°3
Lycée Brizeux
Physique
PCSI A
Samedi 22 novembre 2014 8h-12h
Problème I) Résistance équivalente
On cherche à trouver la résistance équivalente Req du réseau de résistances identiques R suivant entre les points A et B.
C
R
R
A
B
R
R
R
D
Pour cela on connecte les nœuds A et B à une source idéale de tension E connue et on calcule le courant I débité grâce à
un ampèremètre, on aura alors Req=E/I
En temps qu’instrument de mesure parfait sa présence ne perturbe pas le circuit, la tension aux bornes de l’ampèremètre
est nulle il se comporte comme un fil
C
R
Req
R
A
B
R
R
R
D
I
I
A
A
E
E
On est donc amené à écrire les N-1 lois de nœuds indépendantes et les b-(N-1) lois de mailles complémentaires
nécessaires
Une branche est définie comme une partie du circuit entre deux nœuds,
il y a ici 6 branches et les 6 inconnues fondamentales correspondantes les courants de branche sont : I, I1,I2,I3,I4,I5
1) Ecrire les équations de nœuds en A, B et C
2) Ecrire les 3 équations de maille complémentaires nécessaires, les mailles sont imposées sur la figure, elles ne laissent
de coté aucune branche
C I4
I1
I3
R
A
M1
I2
R
R
B
M2
R
R
I5
D
M3
I
A
E
3) Proposer en reproduisant le schéma suivant sur votre copie un autre choix de maille pertinent qui conservera M1 et
M2 et changera M3 et montrer qu’il est équivalent au choix précédent c’est à dire que les équations qu’il sous-tend sont
toutes des combinaisons linéaires des équations de maille M1 M2 et M3 C
R
R
A
B
R
R
R
D
I
A
E
4) Résoudre le système de 6 équations à 6 inconnues obtenu aux questions 1 et 2
5) En déduire la résistance équivalente du réseau dipolaire AB
6) On rappelle que par exemple les tensions sont en fait des différences de potentiel par exemple UAB =VA-VB
Compte tenu de la symétrie du réseau et des courants qui le parcourent, montrer que les potentiels des nœuds C et D
sont identiques
7) En déduire que la branche CD peut être retirée sans que le fonctionnement du circuit ne soit affectée
8) En déduire sans calcul par simples associations de résistances la résistance équivalente Req du réseau dipolaire AB
Problème II) Point de fonctionnement d’une diode
La diode suivante est une diode au silicium sa tension de seuil à partir de la quelle elle conduit est de 0.6V
Sa résistance dynamique dans sa partie passante , quand i>0 ( soit U>US) est définie par
= dU/dI et a pour valeur 1
est donc l’inverse de la pente de la caractéristique dans la partie passante
Dans la partie bloquée U<US i est identiquement nulle la diode se comporte comme un interrupteur ouvert
I
U
I
0.6V
1) Avec quelle convention ce dipôle est-il repéré ?
U
2) Quelle est la tension qui règne entre les deux pôles (bornes) du dipôle quand I=1A
3) Quelle est l’équation affine I=aU+b de la diode dans sa partie active . On demande donc de déterminer a et b en
fonction de et de US
4) Inverser cette équation pour obtenir l’équation toujours affine U = a’ I + b’ fonction de I
5) Montrer qu’un modèle équivalent à la diode qui fonctionne en mode passant et qui est repérée en convention
récepteur peut être construit en associant en série une résistance Rint et une source de courant délivrant une tension e
selon le schéma suivant ; on donnera la valeur de la résistance Rint ainsi que celle de la tension e de la source en fonction
de Useuil et de
Rint
On le constate la source du modèle équivalent est polarisée dans le sens
I de U .
I
e
U
passante
U
6) La diode est polarisée (chargée) en sens direct par une source réelle de tension de tension à vide E=5V et de résistance
interne Rg =10
La source de tension est repérée en convention générateur
Tracer la caractéristique de la source en convention générateur seule , la droite dite droite de charge intersecte l’axe des
tensions en la tension à vide dont on précisera la valeur et l’axe des courants en le courant de court circuit dont on
précisera aussi la valeur
I
U
E
Rg
7) Superposer graphiquement les caractéristiques de la diode et du générateur et donner les coordonnées numériques
du point de fonctionnement
8) grâce à la question 5 représenter le schéma équivalent du fonctionnement du circuit et en écrivant l’équation de
maille donner l’expression littérale ou analytique du courant qui circule
9) Le courant maximal admissible par le diode est de 10mA. Que va-t-il se passer.
10) On pourrait remédier à ce problème en insérant dans le circuit une résistance RP dit résistance de protection
Quel serait alors le courant qui parcourrait le circuit
11) Quelle devrait-être la valeur minimale de la résistance de protection ?
Problème III) Charge et décharge d’un circuit RC série
1) Existe-t-il du point de vue de l’évolution de la tension condensateur uC une différence entre les deux circuits suivants
pour lesquels à t=0 la charge du condensateur q est nulle q(t=0)=0 et pour lesquels on ferme l’interrupteur à cette date ?
uC=u
uC=u
i
R
i
q
C
q
R
C
E
Pour répondre on devra montrer l’équivalence entre les deux modèles de générateurs source de tension en série avec la
résistance R et source de courant en parallèle avec la résistance R ; on devra en particulier donner le lien nécessaire entre
E, et R
2) Il n’est pas précisé si la valeur initiale de la charge est prise à t=0 - ou a t=0+ . Pourquoi ?
3) Etablir l’évolution de uc(t) et la représenter graphiquement
4) L’oscillogramme suivant a été obtenu pour une charge suivie d’une décharge d’un circuit RC. La tension sur la voie 2
représente la tension aux bornes du condensateur, tandis que la tension aux bornes de la voie 1 représente la tension aux
bornes de la résistance
En exploitant la figure, déterminer la valeur numérique de la tension de charge E
5) Pourquoi les tensions conducteur ohmique et condensateur sont-elles complémentaires ?
6) En exploitant l’oscillogramme de la tension aux bornes de la résistance, Déterminer de deux manières le temps
caractéristique. L’une des façons fera intervenir la mesure de la tension à une date particulière. L’autre utilisera la
tangente à l’origine de la courbe
7) Cet oscillogramme nous permet-il d’accéder aux valeurs de R et de C ? De quel instrument supplémentaire devrait-on
disposer pour cela ?
8) Définir la puissance instantanée reçue le condensateur. (Les tensions et courants utilisés sont bien sur toujours ceux de
la convention récepteur). Par quelle opération passe-t-on à l’énergie emmagasinée dans le condensateur ?
Poser le calcul et déterminer l’énergie emmagasinée dans le condensateur en fin de charge. Est-il nécessaire pour cela de
connaitre l’évolution temporelle complète du courant et de la tension condensateur ?
Problème IV) CELLULE DE FILTRAGE, Étude des régimes transitoires successifs
De nombreux circuits électroniques sont alimentés avec une tension continue de 5 V. Une “ alimentation à découpage
” transforme, en plusieurs étapes, la tension alternative sinusoïdale du réseau électrique en une tension continue. La
dernière étape consiste à filtrer une tension rectangulaire représentée figure 1 par le filtre passif
“ L, R ” de la figure 2 dans lequel la résistance R symbolise l'ensemble des circuits que l'on souhaite alimenter sous une
L
tension presque parfaitement continue. On se propose dans ce problème d’évaluer les performances du filtre.
i(t)
ug(t)
ug(t)
figure1
uL(t)
R
uR(t)
figure 2
Le filtre de la figure 2 est alimenté par la tension rectangulaire ug(t) périodique de fréquence = 1/T représentée à la
figure 1. On appelle = Tf /T le rapport cyclique variable (0 < a < 1) de la tension ug(t)
La valeur basse de cette tension est 0, sa valeur haute est E.
En régime stationnaire, toutes les tensions et tous les courants présents dans le circuit sont périodiques de période T.
1. Pour 0 < t < T, écrire l'équation différentielle vérifiée par i(t) et résoudre cette équation différentielle sachant que
à t = 0, i(0) = Imin . Calculer i(t=
T) que l’on note IMax
2. Pour aT < t < T, écrire l'équation différentielle vérifiée par i(t) et résoudre cette équation différentielle sachant que
àt=
T, i( T) = IMax . Calculer i(t=T)
3. Comme cette dernière valeur doit être égale à Imin pour que le régime stationnaire soit atteint
En déduire les valeurs de Imin et Imax
4. Calculer l'ondulation I du courant i (t) :
I = IM - Im
5. Calculer les valeurs moyennes des quantités électriques du problème
i(t ) est une fonction périodique elle admet donc un développement en série de Fourier
a) dont le premier terme est sa valeur moyenne
i(t) = I +
A n cos(n t ) Bn sin(n t )
n=1
dériver ce développement par rapport au temps et en déduire que la tension bobine est nulle en moyenne
b) Calculer la valeur moyenne de la tension générateur
c) En déduire la valeur I
d) A quelle condition Imax et Imin calculés à la question précédente tendent-ils vers I ?
Problème V) Mécanique Quantique
On considère un atome d’hydrogène sphérique de taille caractéristique a.
On a pour l’énergie de l’électron dans l’atome somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle d’interaction
électrostatique E = Ec +Ep
2
E
2ma²
e²
4
0a
avec e 1.610
19
SI
1.05 10
34
SI
1
4
9 109 SI
m
9.1 10
31
SI
0
1) Si on considère que l’électron est bloqué dans un puits de potentiel unidimensionnel infini de taille a montrer que son
2
énergie cinétique en temps que particule confinée est au minimum de
2ma ²
. On devra utiliser l’inégalité d’Heisenberg et
considérer que la quantité de mouvement moyenne est nulle.
Certes l’atome est tridimensionnel mais on garde cette estimation de l’énergie cinétique.
2) Montrer que le deuxième terme
e²
4
0
a
est bien l’énergie potentielle associée aux forces d’interaction
électrostatiques
3) Calculer la valeur de a qui provoque le minimum de la fonction E(a) ainsi que la valeur de E correspondante que l’on
considèrera être l’énergie de l’état fondamental de l’atome
4) Application numérique sur cette valeur de a en nm et sur l’énergie du fondamental en J puis en eV