Transcript Electrocinétique - DM 5 - Physique PSI Moreggia Sylvain

PSI 14/15
DS 1 -- Systèmes linéaires (dont élec PCSI) - ALI (13/09/2014 – 4h)
Extrait des Instructions générales des concours
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal
présentées seront pénalisées.
Si les résultats ne sont pas soulignés ou encadrés, il sera retiré 1 point /20 à la note finale.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Toute réponse non justifiée ne donnera pas lieu à l’attribution de points.
Toute application numérique ne comportant pas d’unité ne donnera pas lieu à l’attribution de points.
Les différents exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l’ordre choisi par le candidat. Il
prendra toutefois soin de bien numéroter les questions.
Vous numéroterez toutes vos pages. Si vous rendez 5 pages, vous devez numéroter 1/5, 2/5, 3/5, etc.
Aucune sortie n’est autorisée avant 12h
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Problème 1 : Adaptation d’impédance et stabilité (extrait CCP > 2010)
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Problème 2 : Filtre en électronique (extrait anciennes Mines de sup)
Le but de ce problème est d’étudier un exemple simple de circuit électronique permettant de filtrer certains
signaux et d’en éliminer d’autres.
On considère le circuit électronique suivant :
2C
R
ve

+
R
vs
A
C
L’amplificateur opérationnel est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire.
Étude en régime permanent sinusoïdal
La tension d’entrée est fournie par un générateur basse fréquence et s’écrit v e  Emcost où Em est la valeur
maximale et  la pulsation de la tension d’entrée.
La tension de sortie sera notée vs  Vmcos(t+) où Vm désigne la valeur maximale de la tension de sortie et
 le déphasage de celle-ci par rapport à la tension d’entrée.
L’étude mathématique du filtre sera effectuée en utilisant la notation complexe ve et vs pour ces deux
tensions :
ve  E e
m
jt
vs  V e
m
et
j(t  )
(avec j2= -1)
1. Déterminer par des considérations physiques simples, avec peu de calculs, la nature probable du circuit
électronique proposé.
On admet que la fonction de transfert de ce circuit peut s’exprimer sous la forme :
H( j) 
vs
1

v e 1  2 jRC  2( RC) 2  2
2. Déterminer, en fonction de R, C et  :
 le gain du filtre, noté G()
 le déphasage , dont on précisera l’intervalle de variation.
3. On souhaite écrire la fonction de transfert sous forme normalisée :
H(j) 
vs

ve
1
2
 
 
1  2j
  
 0  0 
Exprimer les constantes  (coefficient d’amortissement du filtre) et 0 en fonction de R et de C. Déterminer
simplement la nature du filtre à l’aide de l’expression de la fonction de transfert.
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4. Donner, en fonction de G() la définition du gain exprimé en décibels (dB), noté dans la suite G dB.
Déterminer le comportement asymptotique du gain en décibels G dB, c’est-à-dire l’expression simplifiée de
GdB pour <<0 et >>0.
Dans la suite, on considérera que  <<0 si <0/10 et que >>0 si >100.
5. Définir, puis déterminer la bande passante du filtre. On fera aussi l’application numérique.
On donne pour cela C  1µF  10-6F et R  100 .
Analyse de Fourier
La tension d’entrée est désormais une tension triangulaire (voir figure ci-dessous) de pulsation 0 (définie à
la question 3) et de période T0  2/0, dont la décomposition en série de Fourier s’écrit :
v e (t) 
8E m 
1
1

cos 0 t  2 cos(3 0 t) 2 cos(5 0 t)  ...
2

 
3
5
ve(t)
+Em
-T0
0
T0/2
T0
t
-Em
Em, valeur maximale de ve, vaut ici Em  1 V.
On constate expérimentalement que la tension de sortie vs est une fonction sinusoïdale du temps.
6. Définir les termes : fondamental et harmonique de rang n.
7. Déterminer la pulsation  de la tension de sortie.
8. Calculer numériquement la valeur maximale de la tension de sortie.
Etude du circuit en régime transitoire
vs (V)
La tension d’entrée ve est désormais quelconque.
9. Déterminer, en utilisant l’expression de la fonction de
transfert donnée à la question 2, l’équation différentielle
du second ordre qui relie les deux tensions ve et vs.
On suppose que la tension d’entrée est un échelon de
tension, c’est-à-dire que ve(t)  0 pour t < 0 et
ve(t)  E pour t  0, où E est une tension constante.
La figure ci-contre, obtenue avec un logiciel de calculs
formels, donne la variation de la tension de sortie vs en
fonction du temps. Les données numériques sont les mêmes que celles de la question 5.
10. Quelle est la valeur numérique de la tension E ?
11. Quelle est la nature du régime transitoire observé ? Pourquoi ?
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t (s)
Problème 3 : Transitoires électriques (extrait anciennes Mines de sup)
Un dipôle comporte entre ses bornes un résistor de résistance R et un condensateur de capacité C placés en série.
On le place aux bornes d’un générateur de force électromotrice E et de résistance interne Rg en série avec un
interrupteur K.
Initialement, le circuit est ouvert et le condensateur déchargé. Soit uc la tension aux bornes du condensateur. A
l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur K.
 
 
1. Déterminer, sans calcul et en le justifiant u c 0  . Déterminer alors i 0  .
2. Etablir l’équation différentielle à laquelle obéit uc(t).
3. Déterminer la constante de temps  du circuit, et donner son interprétation physique (i.e. quelle information
nous donne cette constante ?).
4. Etablir l’expression de uc(t) en fonction du temps.
5. Déterminer l’instant t1 pour lequel la tension du condensateur vaut uc = 0,9 E.
6. Lorsque le régime permanent est atteint (théoriquement pour un temps infini), quelle est l’énergie emmagasinée
dans le condensateur ?
7. Au cours de la charge du condensateur, quelle est l’énergie fournie par le générateur ? Faire un bilan de
puissance, puis un bilan énergétique, et en déduire l’énergie totale dissipée par effet Joule dans le circuit.
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Dans l’étude expérimentale du circuit RC, on observe l’oscillogramme ci-dessous en utilisant un générateur
délivrant un signal créneau [0,E]. Les sensibilités sont : 1V / carreau vertical ; 0,1 ms / carreau horizontal.
8. Identifier les courbes (1) et (2) aux voies A et B en justifiant votre choix.
9. Doit-on régler l’oscilloscope en mode AC ou DC ?
10. Préciser l’expression de la tension au point P. Sachant que R = 100 , déterminer Rg à partir de
l’oscillogramme.
11. A partir de l’oscillogramme, estimer une valeur minimale de la période du signal créneau utilisé. En déduire
une majoration de la fréquence du signal carré utilisé.
12. Comment pourrait-on observer l’intensité ? Faire un schéma du circuit avec le branchement des voies A et B
de l’oscilloscope.
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Résolution de problème 4 : à propos du dessin animé Là-Haut de Pixar
La première image est extraite du dessin animé « Là-Haut » de Pixar. On peut y voir une maison transportée dans
les airs par des ballons gonflés à l’Hélium.
La deuxième image est une vraie photo de ce que l’on appelle le « Ballooning » : le vol en ballons. Le dispositif
représenté est censé pouvoir transporter une personne adulte.
Questions :
- Vérifier que le nombre de ballons de la 2e photo est suffisant pour transporter une personne.
- Le nombre de ballons représentés dans le dessin animé de Pixar est-il suffisant ?
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Fin de l’énoncé
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